نصف كرة: هل المركز نفسه للمصمت والقشرة؟

مركز كتلة نصف الكرة المصمتة والقشرة يختلف. [1]

الخلاصة السريعة

لا؛ توزيع الكتلة يغير المركز. [1]

نصف كرة علوي، نصف قطره المنتهي R>0 سم، وقاعدته z=0. المصمت كثافته الحجمية ثابتة ρ>0 غ/سم³؛ القشرة المثالية بلا سماكة كثافتها السطحية ثابتة σ>0 غ/سم². بالتماثل x̄=ȳ=0. [1]
للمصمت، مساحة المقطع π(R²−z²)؛ V=2πR³/3، والعزم الحجمي الأول Q=∫_[0,R]zπ(R²−z²)dz=πR⁴/4. لذلك z̄=Q/V=3R/8؛ الكثافة الثابتة تلغى. [4]
للقشرة المفتوحة، الكتلة على السطح المنحني وحده. مساحة حزام ارتفاعه dz هي dS=2πR dz؛ S=2πR² وعزمه ∫z dS=πR³. إذن z̄=R/2. [3]
لقشرة مغلقة بقرص قاعدتها بالكثافة السطحية نفسها، كتلة المنحني 2σπR² ومركزه R/2؛ كتلة القرص σπR² عند z=0. متوسطهما الكتلي يعطي z̄=R/3. [1]
مثالنا R=16 سم: ارتفاع المركز للمصمت 6 سم، وللمفتوحة 8 سم، وللمغلقة 16/3 سم. دائمًا R/3<3R/8<R/2. كلها فوق مركز الكرة الأصلي عند القاعدة. [2][3]
الكثافة المتغيرة والجدار السميك يحتاجان حسابًا جديدًا. مركز القشرة في الفراغ؛ المقاطع المحورية لمجسمات، لا صفائح نصف دائرية. [1]

حدد أين توجد الكتلة

نصف كرة علوي، نصف قطره المنتهي R>0 سم، وقاعدته z=0. المصمت كثافته الحجمية ثابتة ρ>0 غ/سم³؛ القشرة المثالية بلا سماكة كثافتها السطحية ثابتة σ>0 غ/سم². بالتماثل x̄=ȳ=0. [1]

نقيس الارتفاع من القاعدة. [1]

كامل شرائح المصمت

للمصمت، مساحة المقطع π(R²−z²)؛ V=2πR³/3، والعزم الحجمي الأول Q=∫_[0,R]zπ(R²−z²)dz=πR⁴/4. لذلك z̄=Q/V=3R/8؛ الكثافة الثابتة تلغى. [4]

تكامل π(R²−z²) يعطي الحجم؛ تكامل الموضع في مساحة الشريحة يعطي Q. وحدته سم⁴، وليست كتلة؛ ضربه في ρ يعطي العزم الكتلي. [4]

زن أحزمة القشرة المفتوحة

للقشرة المفتوحة، الكتلة على السطح المنحني وحده. مساحة حزام ارتفاعه dz هي dS=2πR dz؛ S=2πR² وعزمه ∫z dS=πR³. إذن z̄=R/2. [3]

نحسب مساحة الحزام الكروي، لا مساحة قرص داخلي. بالبارامتر الكروي، عنصر السطح R²sinφ dφ dθ، وz=Rcosφ؛ ينتج الحزام المذكور. [3]

أضف كتلة قرص القاعدة

لقشرة مغلقة بقرص قاعدتها بالكثافة السطحية نفسها، كتلة المنحني 2σπR² ومركزه R/2؛ كتلة القرص σπR² عند z=0. متوسطهما الكتلي يعطي z̄=R/3. [1]

القرص يضيف كتلة عند ارتفاع صفر؛ يظل عزم الارتفاع نفسه. [1]

قارن ثلاثة ارتفاعات

مثالنا R=16 سم: ارتفاع المركز للمصمت 6 سم، وللمفتوحة 8 سم، وللمغلقة 16/3 سم. دائمًا R/3<3R/8<R/2. كلها فوق مركز الكرة الأصلي عند القاعدة. [2][3]

النسب ثابتة؛ تغيير نصف القطر يغير الارتفاعات خطيًا. الحسابات مؤلفة، بلا تجربة أو قياس. [2][3]

كتلة القشرة والقرص — الكثافة السطحية واحدة. [1][3]

احفظ شروط المقارنة

الكثافة المتغيرة والجدار السميك يحتاجان حسابًا جديدًا. مركز القشرة في الفراغ؛ المقاطع المحورية لمجسمات، لا صفائح نصف دائرية. [1]

مركز الكتلة قد يقع حيث لا مادة. [1]

المراجع

راجع حجم الكرة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.