مسألة فانيانو: مثلث أقدام الارتفاعات يعطي أقل محيط

الخلاصة السريعة

حل مسألة فانيانو في مثلث حاد الزوايا هو المثلث الذي تصل رؤوسه أقدام الارتفاعات الثلاثة؛ فهو أقل محيطًا بين المثلثات ذات رأس واحد على كل ضلع. [1] شرط الأضلاع الثلاثة أساسي، والمحيط هو مجموع الأطوال، لا مجموع مربعاتها.

• في المثال A=(0,0)، B=(8,0)، C=(4,6)، الزوايا الثلاث حادة. نضع D على AB و E على BC و F على CA، وكل نقطة قدم عمود من الرأس المقابل؛ لا نختار نقاطًا حرة داخل الشكل.
• الأقدام هي D=(4,0)، E=(72/13,48/13)، F=(32/13,48/13). يقع E و F فوق منتصف الارتفاع بقليل، ولا يساويان منتصَفي الضلعين المائلين.
• الأطوال DE=4 و EF=40/13 و FD=4، فيكون المحيط 144/13. أما مثلث المنتصفات فمحيطه 4+2√13، وهو أكبر رغم أن الفرق بين القيمتين صغير.
• نعكس نقطة R على BC حول AB وحول AC. يتحول محيط أي مثلث منافس إلى طول مسار مكسّر بين R′ و R″، فلا يقل عن المسافة المستقيمة بينهما. في المثال يكون الحد الأدنى 144/13، وتحققه الأقدام.
• يجب أن تقل كل زاوية عن 90 درجة. في مثال قائم عند A، تتطابق قدمان عند A فينعدم مثلث الأقدام؛ وفي مثال منفرج عند C، تقع قدمان على امتدادي ضلعين، فلا تحققان شرط المسألة.
• السماح بوضع الرؤوس الثلاثة في أي موضع داخل الشكل يجعل المحيط يقترب من الصفر، وهي مسألة أخرى. التكبير بعامل 2 يضاعف المحيط الأدنى إلى 288/13، بينما النقل والدوران يحفظانه.

ما الذي نسمح بتغييره؟

المثلث الأصلي ثابت. نختار نقطة على AB، وأخرى على BC، وثالثة على CA، ثم نصل النقاط الثلاث. المطلوب تصغير مجموع أطوال الوصلات الثلاث مع المحافظة على شرط نقطة من كل ضلع. كلمة داخل لا تعني حرية وضع الرؤوس جميعها بالقرب من بعضها في وسط المثلث.

لنختبر A=(0,0)، B=(8,0)، C=(4,6). عند A، الضلعان يحددان المتجهين (8,0) و (4,6)، وضربهما الداخلي 32 موجب. وعند B نحصل على 32 أيضًا، وعند C نحصل على 20. إذن الزوايا الثلاث حادة؛ لا يعتمد هذا الحكم على شكل الرسم وحده.

نسمي قدم العمود من C إلى AB بالنقطة D، ومن A إلى BC بالنقطة E، ومن B إلى CA بالنقطة F. المثلث DEF يسمى مثلث أقدام الارتفاعات. الرأس هو نقطة بداية الارتفاع، أما القدم فهي نقطة التقاء العمود بالضلع المقابل.

تقرر نتيجة فانيانو أن هذا الاختيار يحقق أقل محيط لكل مثلث حاد الزوايا، ولا يحتاج أن يكون المثلث الأصلي متساوي الساقين. [1] سنقدم حسابًا وبرهانًا لجميع الاختيارات المنافسة في المثال المحدد، دون الاكتفاء بمقارنة رسمين.

احسب أقدام الأعمدة بدل اختيار المنتصفات

الضلع AB أفقي و C=(4,6)، لذلك D=(4,0). للوصول إلى E، اكتب نقطة الضلع BC على صورة (8−4t,6t). شرط تعامد AE على BC هو (8−4t,6t)·(−4,6)=0، ومنه −32+52t=0، أي t=8/13.

بالتعويض نجد E=(72/13,48/13). ومعامل 8/13 بين 0 و 1، فتقع القدم على القطعة BC نفسها، لا على امتدادها. وعلى AC نكتب النقطة (4s,6s)، ويعطي شرط تعامد BF على AC المعامل s=8/13، فنحصل على F=(32/13,48/13).

للفحص، المتجه AE=(72/13,48/13) وضربه الداخلي في (−4,6) يساوي صفرًا. وكذلك BF=(−72/13,48/13)، وضربه الداخلي في (4,6) يساوي صفرًا. هذا يثبت أن E و F قدما عمودين، وليس مجرد نقطتين تبدوان مناسبتين بصريًا.

منتصف BC هو (6,3)، ومنتصف CA هو (2,3). هاتان النقطتان تختلفان عن E و F. صحيح أن D هو منتصف AB في مثالنا، بسبب تساوي الساقين، لكن ذلك لا يجعل الأقدام الثلاثة منتصفات الأضلاع.

اجمع الأطوال وقارن مع مثلث المنتصفات

فرق الإحداثيين من D إلى E هو (20/13,48/13). مربع المسافة يساوي (20²+48²)/13²=16، ولذلك DE=4. وبالتماثل FD=4. أما EF فهو أفقي وطوله 40/13، لأن 72/13−32/13=40/13.

إذن محيط DEF يساوي 4+40/13+4=144/13، أي نحو 11.08 وحدة طول. الجدول يميز بين مربع الطول والطول نفسه، لأن جمع المربعات 16 و 1600/169 و 16 لا يعطي المحيط.

مثلث المنتصفات رؤوسه U=(4,0)، V=(6,3)، W=(2,3). أطواله UV=√13 و VW=4 و WU=√13، فيكون محيطه 4+2√13، أي نحو 11.21. القيمة أكبر من 144/13؛ وللمقارنة الدقيقة يكفي أن 169×13=2197 أكبر من 46²=2116.

وجود منافس أكبر لا يثبت أن DEF أصغر من جميع المنافسين. قد يوجد اختيار ثالث أفضل من الاثنين لو اكتفينا بالتجربة. لذلك نحتاج حدًا أدنى ينطبق على كل نقطة من كل ضلع، ثم نثبت أن DEF يصل إليه.

افرد المسار لتثبت الحد الأدنى

اختر أي R على BC، وأي X على AB، وأي Y على AC. اعكس R حول AB إلى R′، وحول AC إلى R″. لأن X و Y على محوري الانعكاس، فإن XR=XR′ و YR=YR″. محيط XRY يساوي طول المسار R′ ثم X ثم Y ثم R″.

المسافة المستقيمة بين الطرفين لا تزيد على طول المسار المكسّر. لذلك محيط XRY لا يقل عن R′R″ مهما تغير X و Y. الانعكاس هنا وسيلة حساب هندسية؛ لا نفترض تجربة ضوئية أو قياسًا فعليًا.

في مثالنا، إذا كانت R=(x,y)، فإن R′=(x,−y). وانعكاسها حول AC يعطي R″=((−5x+12y)/13,(12x+5y)/13). بحساب مربعي فرق الإحداثيين نجد R′R″²=(36/13)AR²؛ أي R′R″=(6/√13)AR.

أقصر مسافة من A إلى الضلع BC هي AE، لأن AE عمودي عليه. ولأي R على BC، تعطي فيثاغورس AR²=AE²+ER². عند E، نجد AE²=576/13، وبالتالي AE=24/√13. إذن كل محيط منافس لا يقل عن (6/√13)(24/√13)=144/13.

وللتأكد من تحقق الحد، اعكس E نفسها: E′=(72/13,−48/13)، E″=(216/169,1104/169). تقع النقاط E′ ثم D ثم F ثم E″ بهذا الترتيب على مستقيم واحد. طول المسار 4+4+40/13 يساوي 144/13، وهو محيط DEF بعد طي الانعكاسين.

أثبتنا أمرين مختلفين: لا يستطيع أي منافس النزول عن 144/13، ويوجد مثلث صالح يبلغ 144/13 فعلًا. شرط المساواة يفرض R=E، ثم يفرض أن يكون المسار مستقيمًا، فيحدد D و F؛ لذلك ليس مثلث المنتصفات حلًا مساويًا في هذا المثال.

لماذا يشترط أن تكون الزوايا الثلاث حادة؟

المثلث الحاد هو الذي تقل كل زاوية فيه عن 90 درجة، لا الذي يحتوي زاويتين حادتين فقط. القائم له زاوية تساوي 90، والمنفرج له زاوية تتجاوز 90. نحتاج هذا التمييز قبل اختيار الأقدام.

في الحالة الحادة، تقع أقدام الارتفاعات على الأضلاع، ويكون مثلث الأقدام صالحًا للمنافسة في مسألة فانيانو. [1] لا تمد النتيجة تلقائيًا إلى مثلث قائم أو منفرج مع تجاهل مواضع الأقدام.

مثال قائم: A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6). قدم العمود من C إلى AB هي A، وقدم العمود من B إلى AC هي A أيضًا. تتطابق نقطتان من مثلث الأقدام، فلا يبقى مثلث ذو مساحة موجبة، حتى لو كتبنا أطوالًا لمسار منحل.

مثال منفرج: A=(0,0)، B=(8,0)، C=(4,2). الضرب الداخلي عند C يساوي −12، فتكون زاويته منفرجة. قدما العمودين من A ومن B هما (8/5,16/5) و (32/5,16/5)، ومعامل كل منهما على ضلعه 8/5، أكبر من 1؛ كلاهما على امتداد الضلع خارج القطعة.

هذه الأمثلة تبين سبب توقف شروط الحل المستخدم هنا. لا نقدمها باعتبارها حلًا بديلًا لمسألة أقل المحيط في المثلث القائم أو المنفرج؛ فذلك يحتاج تحديد ما إذا كانت الرؤوس الطرفية والأشكال المنحلة مسموحة.

احفظ القيود والوحدات عند تغيير الرسم

لو سمحنا برؤوس حرة داخل المثلث، لاستطعنا رسم مثلث صغير جدًا قرب نقطة داخلية، ثم تصغيره أكثر. يقترب محيطه من الصفر ولا يمثل حل فانيانو. لذلك يجب أن تبقى نقطة على كل واحد من الأضلاع الثلاثة المختلفة.

المطلوب أقل محيط، لا أكبر مساحة ولا أقل مجموع لمربعات الأطوال. كما أن تقاطع الارتفاعات ليس أحد رؤوس المثلث المطلوب؛ الرؤوس هي الأقدام على الأضلاع. لا تصل رؤوس المثلث الأصلي بمركزه وتعد المسار الناتج منافسًا.

عند ضرب جميع الإحداثيات بعامل 2، تصبح أطوال مثلث الأقدام 8 و 80/13 و 8، ومحيطه 288/13. تتضاعف الأطوال، بينما تتضاعف مربعاتها أربع مرات. وإذا كانت إحداثيات الأصل بالسنتيمتر، فالمحيط أيضًا بالسنتيمتر، لا بالسنتيمتر المربع.

أما إزاحة جميع النقاط بمقدار (1,−2)، أو دورانها جميعًا بزاوية قائمة، فتحفظ أطوال الوصلات ومحيط 144/13. اتجاه المثلث على الشاشة أو موقعه لا يغير الحل؛ تغيير شكل زواياه أو إسقاط شرط نقطة لكل ضلع يغير المسألة.

للعمل على مسألة مشابهة، تحقق أولًا من أن الزوايا الثلاث حادة، ثم أسقط الأعمدة الثلاثة وحدد الأقدام داخل القطع. احسب الأطوال واجمعها، واحتفظ بالكسور الدقيقة قبل التقريب. استخدم الانعكاس لشرح سبب الحد الأدنى، لا مجرد صغر الشكل في الرسم.