منحنى الجهد والشحنة: أين يظهر نصف طاقة المكثف؟

حدد الرموز قبل رسم الخط

يمثل مقدار الشحنة هنا مقدار شحنة أحد اللوحين؛ يحمل الآخر المقدار المعاكس في النموذج المتعادل كله. فرق الجهد بين اللوحين يرتبط بالشحنة والسعة بالعلاقة شحنة تساوي سعة في فرق الجهد. الفاراد كولوم لكل فولت. [2]

نسمي السعة خمسة ميكروفاراد ثابتة في كل الجدول، ونستعمل مقادير شحنة غير سالبة وجهدًا موافقًا للوح الذي اخترناه. لا يمثل الرمز مقدار الشحنة الصافية بجمع شحنتي اللوحين، وإلا صار صفرًا في هذه الحالة وفقد الجدول معناه. كذلك لا يعني الاسم خمسة ميكروفاراد أن كل نقطة تحمل الشحنة نفسها؛ السعة ثابتة، بينما نختار قيمًا مختلفة للشحنة والجهد على الخط.

تقرأ خانات الحالة معًا: عند الشحنة عشرين يكون الجهد أربعة، وعند الأربعين ثمانية، وعند الستين اثني عشر. لا نضع جهد الحالة الأخيرة إلى جوار شحنة الأولى ثم نزعم أن حاصل ضربهما يصف تلك الحالة. وللمراجعة نضرب كل جهد في الخمسة، فتعود الشحنة الموافقة بوحدة الميكروكولوم. هذه الخطوة تفحص نقل القيم بين الأعمدة قبل أن نبدأ حساب أي مساحة.

C = 5 μF; V(q) = q/C; (q, V) = (0,0), (20 μC,4 V), (40 μC,8 V), (60 μC,12 V)

لماذا نجمع مساحات صغيرة؟

إضافة مقدار صغير من الشحنة إلى مكثف جهده عند تلك الحالة يقتضي شغلًا يساوي الجهد في الزيادة الصغيرة للشحنة. مع السعة الثابتة نكتب الجهد بدلالة الشحنة، ثم نجمع هذه الأشغال بالتكامل للحصول على الطاقة المخزنة في المجال. [1]

في جدولنا يزيد الجهد مع الشحنة على خط مستقيم من الأصل. يمكن فهم المساحة هندسيًا دون تنفيذ تجربة: نرسم ارتفاع كل حالة على محور الجهد، ونضع مقدار الشحنة على المحور الأفقي. قطعة قريبة من الصفر تحمل ارتفاعًا صغيرًا، وقطعة قريبة من الستين تحمل ارتفاعًا أكبر. لذلك لا يجوز أن نعطي كل أجزاء القاعدة ارتفاع اثني عشر فولت لمجرد أنه ارتفاع النقطة التي انتهينا عندها.

المستطيلات الضيقة توضح فكرة الجمع، لكن الرسم الخطي يسمح لنا بمساحة دقيقة مباشرة. من الصفر إلى الستين يكون الشكل مثلثًا تحت الخط، قاعدته مقدار الشحنة النهائي وارتفاعه فرق الجهد النهائي. تتوقف صحة هذا الشكل على كون الخط مارًا بالأصل ومستقيمًا في النموذج الذي اخترناه. لن نحول أي منحنى أو أي فترة تبدأ بعد الصفر إلى مثلث له القاعدة والارتفاع اللذان اختبرناهما هنا.

dU = V(q) dq; U(Q) = ∫₀^Q V(q) dq = Q²/(2C)

مساحة المثلث تعيد ثلاثمئة وستين

طول القاعدة في المثال ستين ميكروكولوم والارتفاع اثنا عشر فولت. حاصل ضربهما سبعمئة وعشرون ميكروجول، ومساحة المثلث نصفه، أي ثلاثمئة وستون. الخط الصاعد يقسم المستطيل إلى مثلثين متساويي المساحة؛ المثلث الواقع تحت الخط هو ما حسبناه للمجال من الصفر إلى الستين. المثلث الآخر ليس جزءًا إضافيًا نضمه إلى طاقة المكثف في هذه القراءة.

نراجع العدد بصيغة السعة والجهد: نصف الخمسة في مربع الاثني عشر، أي نصف الخمسة في مئة وأربعة وأربعين، يساوي ثلاثمئة وستين. ثم نراجعه بصيغة الشحنة والسعة: مربع الستين على ضعفي الخمسة، أي ثلاثة آلاف وستمئة على عشرة، يعطي العدد نفسه. بقيت الوحدات متوافقة مع استعمال الميكروفاراد والميكروكولوم في هذا المثال؛ سنعيد الحساب بالجول لاحقًا كي يظهر سبب التحويل.

الأشكال الثلاثة تعطي القيمة نفسها عندما تخص الشحنة والجهد والسعة حالة واحدة. وإذا جاءت نتائج مختلفة، فافحص تربيع الجهد أو الشحنة، وعامل الاثنين، والبادئة ميكرو. لا نحتاج تعديل قيمة السعة كي نجعل المعادلات تتوافق؛ هي مرتبطة بالجدول الذي حددناه. كذلك لا نضرب شحنة الستين في جهد الثمانية الخاص بحالة الأربعين، لأن هذا التعويض يخلط نقطتين بدل مراجعة نقطة واحدة.

U = ½ QV = ½ CV² = Q²/(2C) = 360 μJ

ثلاث دفعات متساوية في الشحنة

نقسم المجال إلى ثلاث دفعات مقدار كل منها عشرون ميكروكولوم. الدفعة الأولى تمتد من صفر إلى عشرين، ويرتفع الجهد فيها من صفر إلى أربعة. متوسط ارتفاع الخط على هذه القاعدة اثنان فولت، فتكون المساحة عشرين في اثنين، أي أربعين ميكروجول. ويمكن حسابها أيضًا مثلثًا نصف قاعدته العشرين في ارتفاعه الأربعة؛ النتيجة لا تتغير بتبديل الطريقتين الهندسيتين.

الدفعة الثانية تمتد من عشرين إلى أربعين، والجهدان عند الطرفين أربعة وثمانية. المساحة هنا شبه منحرف ارتفاعاه أربعة وثمانية وقاعدته عرض شحنة مقداره عشرون. متوسط الارتفاع ستة، فتضيف الدفعة مئة وعشرين ميكروجول. أما الثالثة فطرفاها في الجهد ثمانية واثنا عشر، ومتوسطهما عشرة، فتضيف عشرين في عشرة، أي مئتي ميكروجول. تساوى عرض القواعد ولم تتساو الارتفاعات.

نجمع أربعين ومئة وعشرين ومئتين فنعود إلى ثلاثمئة وستين. نسبة أشغال الدفعات واحد إلى ثلاثة إلى خمسة، بينما نسبة مقادير الشحنة المضافة واحد إلى واحد إلى واحد. هذه المقارنة تبين لماذا لا يجوز توزيع الطاقة الكلية إلى ثلاثة أجزاء متساوية لمجرد أن الجدول قسم الشحنة إلى ثلاث دفعات. الرسم الأول يكتب حدود كل دفعة ومتوسط جهدها وطاقتها، فلا يحتاج القارئ إلى تخمين ارتفاع من لون بطاقة فقط.

ΔU₁ = 20×2 = 40 μJ; ΔU₂ = 20×6 = 120 μJ; ΔU₃ = 20×10 = 200 μJ

متوسط الجهد هنا متوسط على الشحنة

عندما نقول إن متوسط الجهد في المجال كله ستة فولت، نربطه بقاعدة الشحنة التي جمعت المساحة. قسمنا مساحة الثلاثمئة والستين على قاعدة الشحنة الستين، فظهر ستة. وبصياغة أوضح: جهد ثابت مقداره ستة على قاعدة مقدارها ستون ميكروكولوم يرسم مستطيلًا له مساحة مساوية للمثلث تحت الخط الصاعد. لم نقل إن جهد المكثف الفعلي كان ستة في كل حالة من الحالات الأربع التي سجلناها.

ويمكن استخراج الستة من متوسط القيم اثنين وستة وعشرة، لأن عرض كل دفعة متساوٍ في الشحنة. لو اخترنا دفعات بعروض مختلفة لاحتجنا إلى وزن متوسط جهد كل دفعة بعرضها قبل قسمة مجموع المساحات على العرض الكلي. لا نعطي كل صف وزنًا واحدًا لمجرد أنه ظهر سطرًا في الجدول. الذي يحدد جمع المساحة هو طول قاعدة الصف على محور الشحنة، وليس عدد الصفوف التي استخدمناها للتوثيق.

لم نضع أزمنة لهذه الدفعات؛ لذلك لا نستنتج من الستة أنه متوسط زمني للجهد أثناء رحلة شحن فعلية. قد تتغير سرعة مرور الحالة على الخط بحسب نموذج آخر، وعندئذ يحتاج المتوسط على الزمن معلومات عن تلك المدد. أبقِ اسم المحور في قراءة كلمة متوسط؛ الفولت الذي ضربناه في الميكروكولوم هنا يعيد شغلًا، ولا يكشف وحده زمن الشحن أو تيارًا ثابتًا خلاله.

ابدأ من عشرين بدل البدء من الصفر

نغير الآن حدود الفترة الحسابية دون تغيير الخط أو السعة. البداية عند عشرين ميكروكولوم، وفي هذه الحالة الطاقة أربعون ميكروجول كما حسبنا في الدفعة الأولى. النهاية عند الستين، وطاقتها ثلاثمئة وستون. زيادة الطاقة خلال الفترة الجديدة هي النهائي ناقص الابتدائي، أي ثلاثمئة وعشرون ميكروجول. إن سؤال الزيادة لا يطلب الطاقة النهائية كلها، لذلك نكتب النتيجتين باسمين مختلفين بدل حذف الأربعين من جدول البداية.

هندسيًا تقع المساحة المطلوبة بين الشحنتين عشرين وستين. عرض القاعدة أربعون ميكروكولوم، والجهدان عند طرفيها أربعة واثنا عشر فولت. متوسط الارتفاع ثمانية، ومساحة شبه المنحرف أربعون في ثمانية، أي ثلاثمئة وعشرون ميكروجول. يمكن أيضًا جمع مساحتي الدفعتين الثانية والثالثة: مئة وعشرون زائد مئتين. الطرق الثلاث توافق بعضها، لأنها تصف الجزء نفسه من الخط وبحدي الشحنة نفسيهما.

أما نصف حاصل ضرب فرق الشحنة في فرق الجهد فيعطي نصف الأربعين في الثمانية، أي مئة وستين فقط. هذه مساحة المثلث فوق مستوى البداية ذي الجهد أربعة، وتنسى مستطيلًا ارتفاعه أربعة وعرضه أربعون، ومساحته مئة وستون أخرى. ارفع نظرك إلى المحور الرأسي: البداية ليست جهدًا صفرًا. اجمع المستطيل والمثلث أو احسب شبه المنحرف مباشرة، حتى لا تسمي جزءًا من المساحة الزيادة كلها.

ΔU = 360−40 = 320 μJ = (60−20)×(4+12)/2; ½ Δq ΔV = 160 μJ

اختبر الزيادة من مربعي الشحنتين

نستطيع مراجعة الفترة التي تبدأ من عشرين بصيغة مربعي الشحنتين. الطاقة النهائية مربع الستين على عشرة، والابتدائية مربع العشرين على عشرة. بطرح البسطين نحصل على ثلاثة آلاف وستمئة ناقص أربعمئة، أي ثلاثة آلاف ومئتين، ثم نقسم على عشرة فتظهر الثلاثمئة والعشرون. حافظنا على المقام المشترك لأن السعة ثابتة في البداية والنهاية، لا لأن كل تغيير في مكثف آخر سيحافظ عليه.

لاحظ أن الفرق بين مربعي الشحنتين لا يساوي مربع الفرق بينهما. مربع الأربعين ألف وستمئة، وهو نصف البسط الذي احتجناه هنا. تحليل الفرق إلى حاصل ضرب مجموع الشحنتين في فرقهما يعيد البسط نفسه: المجموع ثمانون، والفرق أربعون، وحاصل ضربهما ثلاثة آلاف ومئتان. النتيجة الصحيحة توافق طرح المربعين؛ يتيح هذا السطر للقارئ كشف تبديل جمع بطرح في التعويض.

وبصيغة الجهد أيضًا نطرح نصف السعة في مربع الأربعة من نصف السعة في مربع الاثني عشر. مربعا الطرفين ستة عشر ومئة وأربعة وأربعون، والفرق مئة وثمانية وعشرون. ضربه في نصف الخمسة يعطي ثلاثمئة وعشرين. لا نأخذ مربع فرق الجهد ثم نصف السعة فنحصل على مئة وستين ونعتبره جوابًا آخر صالحًا؛ إنه يكرر الخطأ الهندسي الذي ترك مستطيل مستوى البداية خارج الحساب.

ΔU = (Q_f²−Q_i²)/(2C) = (Q_f−Q_i)(Q_f+Q_i)/(2C) = ½ C(V_f²−V_i²)

تحويل الوحدات يثبت أن المساحة طاقة

في النظام الدولي نكتب السعة خمسة أجزاء من مليون فاراد، والشحنة النهائية ستين جزءًا من مليون كولوم، والجهد اثني عشر فولت. نصف حاصل ضرب الشحنة والجهد يساوي ثلاثمئة وستين جزءًا من مليون جول، أي ثلاثمئة وستين ميكروجول. وتساوي الطاقة ستة وثلاثين جزءًا من مئة ألف جول. نعرض القيمة العشرية في السطر الحسابي، ونقارنها بالناتج الذي استعمل وحدة الميكروجول من البداية؛ اتفاقهما يفحص تحويل البادئة دون تغيير الحالة التي نحسبها.

يمكن التعبير عن الطاقة نفسها بستة وثلاثين جزءًا من مئة مليجول، لأن المليجول يساوي ألف ميكروجول. اختر وحدة واحدة عند جمع طاقات الدفعات الأربعين والمئة والعشرين والمئتين، ثم حول المجموع إلى الجول. ولا تغير الميكروكولوم إلى كولوم وتبقي رقم الستين دون عامل المليون؛ هذا يضخم مساحة الرسم بدل تحويلها. البادئة جزء من قيمة المحور، لا زينة ملحقة بالاسم.

وحدة مساحة الجهد على الشحنة فولت في كولوم، وهي جول في هذه العلاقة. إذا أردنا قدرة متوسطة احتجنا طاقة مقسومة على زمن، والزمن لم يعط في هذه الورقة. كما أن مساحة الشكل المرسوم على شاشة لا تكفي وحدها: يجب أن يعرف القارئ تدريج كل محور ووحدته كي يحول عرضًا وارتفاعًا إلى قيمتين. تكبير الصورة بصريًا لا يضاعف الطاقة في الجدول ما دامت الأرقام والشروط ثابتة.

C = 5×10⁻⁶ F; Q = 60×10⁻⁶ C; U = 360×10⁻⁶ J = 0.00036 J = 0.36 mJ

افصل المخزون عن طاقة مصدر خارجي

حسابنا يحدد الطاقة المخزنة في المكثف عند كل حالة، أو مقدار زيادتها بين حالتين على النموذج نفسه. لهذا نربط كل إضافة صغيرة بجهد المكثف الموافق لشحنتها. لا يحمل الرسم تلقائيًا معلومات عن طاقة بطارية أو حرارة مقاومة أو طاقة جهاز يتلقى التفريغ. هذه مسائل تحتاج تحديد بقية النظام؛ إبقاء اسم المخزون في عنوان العمود يمنع تحويل مساحة محسوبة لمكوّن إلى ميزان كامل لأجزاء لم نمثلها.

كذلك لا نستنتج أن رقم السبعمئة والعشرين خطأ حسابي في عملية الضرب نفسها. حاصل ضرب الستين في الاثني عشر صحيح، لكنه مساحة مستطيل يضع جهد النهاية على كامل قاعدة الشحنة. أما خط مكثفنا فيبدأ عند جهد صفر، ويصعد تدريجيًا إلى الاثني عشر. لا يساوي المستطيل المساحة تحت هذا الخط، فلا نسميه المخزون النهائي هنا. يجب أن يوافق تفسير العملية الكمية التي سأل عنها القارئ، لا صحة ضرب عددين فقط.

وعندما نحسب الفترة من عشرين إلى ستين لا نصف الثلاثمئة والعشرين بأنها كل الطاقة الموجودة في النهاية. إنها الزيادة فوق الأربعين الموجودة في البداية. جمع القيمتين يعيد المخزون النهائي ثلاثمئة وستين، ثم يمكن لسؤال آخر أن يختار نظامًا أوسع إن قدم معطياته. لا نضيف حالات وصل مكثفين أو تغيير مادة العازل إلى هذا الجدول، لأننا تعمدنا تثبيت سعة مكثف واحد كي يبقى سبب عامل النصف واضحًا.

الرسوم تميز القاعدة والارتفاع وحدود الفترة

يوضح الرسم الأول الدفعات الثلاث في بطاقات منفصلة. تحت حد الشحنة نكتب جهدي البداية والنهاية ومتوسطهما، ثم شغل الدفعة. لا تمثل البطاقات ثلاث مكثفات مختلفة، بل ثلاثة أجزاء من مجال شحنة المكثف نفسه. تغير الرقم في خانة الشغل من أربعين إلى مئة وعشرين إلى مئتين مع بقاء مقدار الشحنة المضافة عشرين. هذا التنظيم يصلح لمراجعة كل صف قبل مقارنة مجموع الطاقة بقراءة الشكل الآخر.

أما الرسم الثاني فيضع الشحنة أفقيًا والجهد رأسيًا. لوحة البدء من الصفر تظلل مثلث المجال كله وتحيط بمستطيل النهاية بخط متقطع. وفي لوحة البدء من عشرين نترك المثلث الأول بلون هادئ، ونظلل شبه منحرف الفترة المطلوبة وحده. يقرأ القارئ في الحالتين الخط نفسه والنقاط نفسها؛ اختلاف التظليل يمثل تغيير حدود الجمع، لا تغيير السعة أو اكتشاف منحنى جديد للمكوّن.

إضافة المحاور والنقاط العددية ضرورية حتى لا يبدو اللون برهانًا وحده. عند نهاية ستين ميكروكولوم يظهر الجهد اثني عشر، وعند بداية عشرين يظهر أربعة. وتكتب تعليقات الرسم طبيعة المثال الحسابية، فلا تتحول النقط إلى ادعاء رصد تجريبي. احتفظ بهذه الخانات عندما ترسم نموذجًا آخر، وراجع هل يبدأ المجال من الأصل أم من حالة لها مخزون سابق قبل اختيار مساحة مثلث أو شبه منحرف.

راجع ورقة الحل بأربع مساويات

ابدأ بمساواة تربط شحنة كل حالة بالسعة والجهد، ثم بمساواة تعطي طاقتها من الشحنة والجهد نفسيهما. بعد ذلك اجمع أشغال الدفعات المحددة، وقارن المجموع بفرق طاقتي النهاية والبداية. في المجال الكامل يكون فرق الطاقتين ثلاثمئة وستين ناقص صفر، وفي المجال الذي بدأ من عشرين يكون ثلاثمئة وستين ناقص أربعين. توافق هذه الطرق يكشف خطأ حدود الفترة أو موضع البادئة قبل الحاجة إلى تفاصيل دائرة.

واختبر أن عرض كل صف على محور الشحنة يساوي الفرق بين حديه، وأن متوسط الارتفاع يوافق الخط المستقيم المفترض. عند تقسيم الدفعة إلى جزأين ينبغي أن تبقى مساحة مجموعهما مساوية لمساحة الصف القديم. لا تتغير الطاقة لمجرد إضافة سطر أو تكبير لوحة الرسم. وإذا غاب شرط ثبات السعة والخطية، فلا ننقل الصيغ الهندسية المستخدمة هنا إلى منحنى آخر قبل معرفة علاقته بين الجهد والشحنة.

بهذه المراجعة يعود عامل النصف إلى مكانه: هو مساحة مثلث في مجال يبدأ من صفر تحت خط صاعد، ويظهر أيضًا في متوسط ارتفاعي شبه المنحرف عندما تبدأ الفترة بعد الصفر. وفي مثالنا الثلاثمئة والستون مخزون نهائي، والثلاثمئة والعشرون زيادة من الحالة ذات الأربعين. الدفعات المتساوية في الشحنة لم تحمل شغلًا متساويًا، لأن ارتفاع الخط اختلف؛ هذا هو المعنى الذي تحفظه المساحة وراء معادلة الطاقة المختصرة.