مستطيل داخل قطع ناقص: هل الأكبر مساحة مربع؟

نقارن أفضل مستطيل بأفضل مربع داخل قطع ناقص. [3]

الخلاصة السريعة

المستطيل الأمثل مربع فقط إذا كان القطع دائرة. [3]

نثبت المنطقة x²/a²+y²/b²≤1، حيث a≥b>0 منتهيان بالسنتيمتر؛ هما نصفا المحورين. نسمح بالتماس، ونشمل المستطيلات المائلة وخارج المركز. [1]
التحويل T(x,y)=(x/a,y/b) يعطي قرص وحدة. لمركزه m ومتجهي نصفَي قطريه p,q، المساحة A=2ab|det(p,q)|≤2ab(1−|m|²)≤2ab سم². [1][4]
يبلغ الحد مستطيل مركزه الأصل ورؤوسه (±a/√2,±b/√2)؛ ضلعاه √2a,√2b سم، ومساحته 2ab سم². [2][3]
لكل مربع محتوى، بما فيه المائل: A_square≤4a²b²/(a²+b²) سم². يبلغ الحد مربع في المركز موازٍ للمحورين. [4]
في مثالنا a=11,b=5 سم: المستطيل 110 سم²، والمربع 6050/73≈82.876712 سم²؛ نسبة المساحتين 55/73. [2][3]
فرق الحدين 2ab(a−b)²/(a²+b²) سم²؛ موجب عند a>b وصفر للدائرة a=b. لا نفترض محيطًا ثابتًا أو شكلًا بيضاويًا مجهول الحد. [3]

ثبت القطع الناقص

طولا المحورين الكاملين 2a,2b. نتعامل مع قطع ناقص هندسي ثابت. الاحتواء يعني بقاء المستطيل كله داخله؛ تكفي الرؤوس لأن المنطقة محدبة. [1]

برهان يشمل الميل وتغيير المركز

بعد التحويل، الرؤوس m±p,m±q. نرمز بـ|p|² لمجموع مربعي مركبتيه، وبـdet(p,q)=p_xq_y−p_yq_x للمحدد. متوسط مربعات أبعاد الرؤوس يعطي |p|²+|q|²≤2−2|m|². وكوشي يعطي 2|det(p,q)|≤|p|²+|q|²؛ المساحة ضعف مقدار محدد نصفي القطرين، ثم نعيد عامل المساحة ab. التحويل قد يجعل المستطيل متوازي أضلاع، فلا نفترض بقاء الزوايا قائمة. [4]

مستطيل يبلغ الحد

عند الرؤوس المذكورة، x²/a²+y²/b²=1/2+1/2=1. الضلعان متعامدان، ومساحتهما √2a×√2b=2ab؛ الحد قابل للبلوغ. [2][3]

لماذا لا يفوز مربع مائل؟

ليكن نصف ضلع المربع L سم، مهما كان اتجاهه. متوسط مربعات أبعاد رؤوسه المحولة يساوي |m|²+L²(1/a²+1/b²)≤1؛ تختفي الزاوية لأن cos²θ+sin²θ=1. لذلك 4L²≤4a²b²/(a²+b²). المربع المركزي الموازي للمحورين يحقق المساواة؛ الميل أو الإزاحة لا يعطي مساحة أكبر. [4]

قارن مثالًا بأطوال محددة

ضلعَا المستطيل 11√2,5√2 سم. مساحة المربع 4×(3025/146)=6050/73 سم². الفرق 1980/73 سم²؛ حسبنا الكسور قبل التقريب. [2][3]

القطع الناقص وقرص الوحدة — مقياسان مختلفان؛ عامل المساحة محفوظ. [1][4]

متى يصبح الأمثل مربعًا؟

طرح الحدين يعطي الفرق في الخلاصة. عند a>b لا يبلغ أي مربع حد المستطيل. عند a=b يصبح الشكل دائرة والمستطيل الأمثل مربعًا. [3]

المراجع

راجع خصائص المستطيل

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.