نقطة ليموان: انعكاس المتوسطات ونسب مربعات الأضلاع

الخلاصة السريعة

نقطة ليموان، أو نقطة السيميديان، هي اجتماع الخطوط الناتجة من انعكاس متوسطات المثلث حول منصفات الزوايا الداخلية عند رؤوسها. [1] نعكس خط كل متوسط حول منصف زاوية رأسه؛ لا نعكس نقاط نهايات المتوسطات على الأضلاع ثم نصل صورها.

• المتوسط من A يصل منتصف BC. صورته حول منصف الزاوية الداخلية A تسمى السيميديان؛ تتبادل زاويتا الخط مع AB و AC. انعكاس الخط لا يلزم أن ينقل منتصف BC إلى نقطة على BC.
• إذا قطع السيميديان من A الضلع BC عند D، فإن BD/DC=AB²/AC². نشتق النسبة من مساحتي مثلثين ومن تبادل زاويتي المتوسط؛ وفي مثالنا BD/DC=64/45.
• التقاطعات D=(552/109,384/109)، E=(192/125,384/125)، F=(180/53,0) تقع داخل الأضلاع. النسب الدورية 64/45 و 61/64 و 45/61 حاصل ضربها 1.
• الأوزان a² و b² و c²، حيث a=BC و b=CA و c=AB، تعطي K=(a²A+b²B+c²C)/(a²+b²+c²). نثبت اجتماع الخطوط بهذه الأوزان الموجبة، ونحصل هنا على K=(276/85,192/85).
• معادلات الوصلات 16x−23y=0، 48x+101y=384، 106x+7y=360. تتحقق الثلاث عند K. أما G=(11/3,2) فيعطي الباقي 38/3 في المعادلة الأولى، فلا يمثل نقطة ليموان في المثال.
• نعكس اتجاه المتوسط من A إلى (23,16)/√5 باستعمال ((x+2y)/√5,(2x−y)/√5). يتساوى الطول قبل الانعكاس وبعده. في المثلث متساوي الساقين يتطابق المتوسط والسيميديان من رأس الساقين.

انعكاس الخط حول منصف زاوية رأسه

السيميديان هو صورة خط متوسط المثلث بالانعكاس حول منصف زاوية الرأس الذي يخرج منه. وتتلاقى السيميديات الثلاثة عند نقطة ليموان. [1] سنسميها K، ونسمي نقطة التقاء المتوسطات G، حتى لا نعطي الإنشاءين الاسم نفسه.

ليكن MA منتصف BC. المتوسط هو AMA. إذا صنعت هذه الوصلة مع AB زاويةθ، ومع AC زاويةφ، فإن صورتها حول منصف A تصنع مع AB الزاويةφ، ومع AC الزاويةθ. مجموع الزاويتين هو زاوية A في الحالتين.

المنصف نفسه يبقى ثابتًا تحت الانعكاس، لكنه ليس صورة أي خط داخل الزاوية إلى خط آخر موازٍ له عمومًا. نعكس اتجاه المتوسط، ثم نمد الخط الناتج من A حتى يلتقي BC. نقطة التقاطع D قد تختلف عن MA.

صورة MA بوصفها نقطة قد لا تقع على BC أصلًا؛ انعكاس نقطة لا يحافظ على خط الضلع المقابل عادةً. لذلك لا نعرّف D بأنها صورة MA. تعريف D هو تقاطع خط المتوسط المنعكس مع BC، وهذه خطوة بناء مستقلة.

لماذا تظهر مربعات الضلعين المجاورين؟

ضع b=AC و c=AB. لنسمِّ زاويتي المتوسطθ عند جهة AB وφ عند جهة AC. للمثلثين ABMA و ACMA الارتفاع نفسه عن BC، وقاعدتاهما متساويتان، فتتساوى مساحتاهما.

باستعمال ضلعين والزاوية بينهما تكون نسبة المساحتين c·sinθ/(b·sinφ)=1؛ طول المتوسط والعامل 1/2 يلغيان من الطرفين. إذن sinθ/sinφ=b/c. الزاويتان بين 0 و 180 درجة، وجيباهما موجبان لأن المتوسط داخل زاوية مثلث غير منعدم.

بعد الانعكاس تتبادلθ وφ. نسبة مساحتي ABD و ACD تصبح c·sinφ/(b·sinθ). ولأن القاعدتين BD و DC لهما الارتفاع نفسه من A، فإن BD/DC=(c/b)(sinφ/sinθ)=c²/b². هذا يفسر التربيع دون افتراض أن D منتصف BC.

بالتبديل الدوري نحصل على CE/EA=a²/c²، و AF/FB=b²/a²، حيث a=BC. حاصل ضرب النسب الثلاث 1. لكنها ليست النسب العادية لمنصف الزاوية؛ المنصف من A يعطي c/b، بينما الصورة المنعكسة للمتوسط تعطي c²/b².

النسبة الموجبة مع مجموع ثابت تحدد نقطة داخلية واحدة. لذلك إن أنشأنا نقطة على BC بنسبة c²/b²، كانت هي نهاية خط المتوسط المنعكس نفسها. لا نحتاج العثور على صورة MA بالإحداثيات حتى نحدد هذه النهاية.

احسب التقاطعات في مثال كسري دقيق

من A=(0,0)، B=(8,0)، C=(3,6)، نحسب a²=(3−8)²+6²=61، و b²=3²+6²=45، و c²=8²=64. لا نحتاج تقريب√61 أو√45 كي نحسب نسب مربعات الأطوال.

على BC، نحتاج BD/DC=64/45. معامل الحركة من B إلى C هو 64/109، فتكون D=(45B+64C)/109. الإحداثيان 552/109 و 384/109 يعطيان D=(552/109,384/109). المعامل بين 0 و 1، ولذلك تقع D داخل BC.

على CA، النسبة CE/EA=61/64 تعطي E=(64C+61A)/125=(192/125,384/125). وعلى AB، النسبة AF/FB=45/61 تعطي F=(61A+45B)/106=(180/53,0). حافظ على ترتيب الطرفين عند تحويل النسبة إلى أوزان.

مثلًا، لا نكتب D=(64B+45C)/109؛ هذه الصيغة تقلب BD/DC إلى 45/64. وزن B في متوسط نقطتي B و C يصف القرب من B، في حين أن معامل C يحدد المسافة المقطوعة من B إلى D.

منتصفات الأضلاع هي MA=(11/2,3)، MB=(3/2,3)، MC=(4,0). تختلف عن D و E و F، ولا يستلزم تلاقي الخطوط الجديدة استعمال المنتصفات القديمة نفسها كنهايات. الجدول يثبت اقتران كل وصلة بنسبتها الصحيحة.

برهان الاجتماع بأوزان موجبة

عرّف W=a²+b²+c²، ثم K=(a²A+b²B+c²C)/W. جميع الأوزان موجبة في مثلث غير منعدم. وعلى BC تكون D=(b²B+c²C)/(b²+c²)، وفق النسبة التي أثبتناها.

بجمع حدي B و C في بسط K نجد K=(a²A+(b²+c²)D)/W. بعد القسمة على W، مجموع الوزنين 1 وكلاهما موجب. لذلك K داخل AD. وبالتبديل الدوري تقع K داخل BE و CF أيضًا؛ فتجتمع الخطوط الثلاثة عند النقطة نفسها.

في المثال، W=61+45+64=170. الإحداثي الأفقي (45×8+64×3)/170=276/85، والرأسي 64×6/170=192/85. النتيجة K=(276/85,192/85). الأوزان تخص مربعات الأضلاع المقابلة للرؤوس، لا مربع طول كل وصلة.

خط AD هو 16x−23y=0. وخط BE هو 48x+101y=384، وخط CF هو 106x+7y=360. عند K تعطي المعادلات 0 و 384 و 360 على الترتيب. ويمكن حل أول خطين لإيجاد K ثم فحص الثالث بصورة مستقلة.

هذا برهان عام للاجتماع بعد اشتقاق نسب الصور المنعكسة، وليس مجرد استدلال من تقارب خطوط الرسم. الأوزان الموجبة تضمن وجود K داخل المثلث؛ لا نحتاج دائرة محيطة أو شرط أن تكون الزوايا كلها حادة.

افحص انعكاسًا واحدًا ثم اختبر مركز الثقل

في زاوية A، اتجاه AB هو (1,0)، واتجاه AC بعد توحيد الطول هو (1/√5,2/√5). الانعكاس حول المنصف الداخلي يحول (x,y) إلى ((x+2y)/√5,(2x−y)/√5). فهو يبادل اتجاهي الضلعين ذوي الطول الواحد.

اتجاه المتوسط AMA يمكن كتابته (11,6). صورته (23,16)/√5، ولذلك خط الصورة 16x−23y=0. مجموع مربعي مركبتي الاتجاه الأصلي 157، وبعد الانعكاس (23²+16²)/5=157 أيضًا. إذن الانعكاس يحفظ الطول، وليس مجرد تعديل الميل.

الرسم الداخلي يعرض اتجاهات متساوية الطول حول أصل جديد. طرف الشعاع الوردي ليس D ولا صورة MA بإحداثيات المثلث الأصلي؛ إنه يمثل اتجاه السيميديان فقط. الخط الأزرق المتقطع هو منصف الزاوية، والرمادي اتجاه المتوسط.

المتوسطات تجتمع عند G=(A+B+C)/3=(11/3,2). لو استعملنا الأوزان المتساوية بدل 61 و 45 و 64 لرجعنا إلى G. عند G، قيمة 16x−23y تساوي 176/3−46=38/3، فلا تقع G على السيميديان من A في المثال.

ولا تستعمل الأطوال√61 و√45 و 8 بدل مربعاتها إذا أردت هذه النقطة. النسب التي برهناها تعتمد على مربعات ضلعين، وتبديل الأوزان يبدل نقطة الاجتماع. ابدأ بتحديد نوع الخط ثم اختر الأوزان المطابقة له.

متى يتطابق المتوسط وصورته؟

إذا كان AB=AC، فإن c²/b²=1، فتكون D منتصف BC. المتوسط من A هو منصف زاوية A نفسه، ولذلك يبقى ثابتًا عند الانعكاس. هذا يخص الرأس المشترك للساقين؛ لا يعني أن كل السيميديات والمتوسطات في المثلث متساوي الساقين تتطابق.

في المثلث متساوي الأضلاع تكون a²=b²=c²، فتصير صيغة K هي (A+B+C)/3، وتتطابق K و G. أما في المثال المختلف الأضلاع فقد فحصنا اختلافهما بباقٍ غير صفري، لا بمجرد النظر إلى نقطتين متقاربتين.

التكبير والإزاحة والدوران يحفظان هذا البناء. عند التكبير بعامل 2، تتضاعف الإحداثيات والأطوال، وتضرب الأوزان الثلاثة في 4؛ هذا العامل المشترك يلغى من الصيغة. يصبح K=(552/85,384/85).

اختبرنا حساب الأوزان والتقاطعات في 99 مثلثًا من أسرة ذات قاعدة ثابتة ورأس ثالث أعلى القاعدة. الفحص العددي يراجع تنفيذ الصيغة في تلك الحالات؛ البرهان العام هو حجة المساحات والأوزان السابقة، وليس عدد الحالات المجربة.

نستبعد الرؤوس المستقيمة والمثلث المنعدم، لأن بناء الزوايا الداخلية ونسب المساحات يحتاج مساحة موجبة. احتفظ بالكسور، وميّز منصف الزاوية من المتوسط وصورته، وافحص أن كل نقطة تقاطع على الضلع الذي تقصده قبل إعلان اجتماع الخطوط.