نقل الأقواس في الطرح: تدريب يبين متى يتغير الناتج

ما الذي نغيّره في هذه الورقة؟

يفرق دليل Math Is Fun بين تغيير ترتيب الأعداد وتغيير طريقة تجميعها، ويعرض خاصية التجميع للجمع والضرب، مع مثال يبين أنها لا تنطبق على الطرح. سنقارن في الورقة نفسها ترتيبًا ثابتًا من ثلاثة أعداد، ونغيّر موضع الأقواس فقط. ^[1]

نسمي الصيغة الأولى (a-b)-c، والثانية a-(b-c). في كلتيهما تظهر الرموز بالترتيب نفسه: a ثم b ثم c. المختلف هو الجزء الذي نحسبه داخل القوس أولًا. لا نقارن هنا (a-b)-c بتعبير يبدأ بالعدد c، لأن ذلك سيغير الترتيب أيضًا ويخلط سؤالين في محاولة واحدة.

الرموز في ورقتنا تمثل أعدادًا حقيقية عادية، ويمكن اختيار أعداد صحيحة أو عشرية للتدريب. ليست الأقواس أجزاء نحذفها لتقليل الكتابة قبل فحص العملية. اكتب كل صيغة في سطر مستقل، وحدد قيمة القوس في ذلك السطر، ثم أكمل الجزء الذي بقي خارج القوس دون نقل علامة طرح إلى مكان جديد.

حسابان للطرح بالأعداد نفسها

ابدأ بالأعداد ثمانية عشر وسبعة وأربعة. الصيغة الأولى هي (18-7)-4. نحسب 18-7=11 داخل القوس، ثم نطرح أربعة من أحد عشر فنحصل على سبعة. اكتب السطر الوسيط 11-4=7؛ يساعدك هذا على رؤية العدد الذي دخل عملية الطرح الأخيرة بدل حفظ الناتج فقط.

الصيغة الثانية هي 18-(7-4). نحسب القوس 7-4=3، ثم نطرح ثلاثة من ثمانية عشر فنحصل على خمسة عشر. لم نطرح سبعة ثم أربعة في هذه النسخة؛ طرحنا نتيجة الفرق بينهما. لذلك لا نكتب 18-7-4 بعد فتح القوس كما لو أن موضعه لم يحدد خطوة مختلفة.

التعبيران إذن يعطيان سبعة وخمسة عشر. هذا مثال مضاد للقول إن نقل الأقواس لا يغير أي عملية طرح. يكفي وجود مثال يخالف العبارة المطلقة لنرفضها، لكن لا نستنتج بعد أن كل اختيار للأعداد سيعطي ناتجين مختلفين. سنختبر هذا الجزء لاحقًا باختيار الصفر للعدد الثالث.

مقارنة مع الجمع دون تبديل الأعداد

استخدم الأعداد نفسها، واستبدل علامتي الطرح بعلامتي جمع في مثال جديد: (18+7)+4. يعطي القوس خمسًا وعشرين، ثم إضافة أربعة تعطي تسعة وعشرين. وفي 18+(7+4) يعطي القوس أحد عشر، ثم إضافته إلى ثمانية عشر تعطي تسعة وعشرين أيضًا. سجل الحسابين قبل كتابة علامة المساواة بين الناتجين.

إذا كتبت 7+(18+4)، فقد غيرت ترتيب العددين الأولين بالإضافة إلى القوس. قد تحصل على الناتج نفسه في الجمع، لكن هذا السطر لا يعزل أثر تغيير التجميع الذي نختبره. نبقي ترتيب المعطيات ثابتًا كي تكون المقارنة واضحة. لا نضيف تغييرات أخرى ثم ننسب كل ما حدث إلى الأقواس وحدها.

في هذه المقارنة اخترنا عمليتين مختلفتين على الأعداد ذاتها. لا يعني نجاح المثال الثاني أن الطرح يحسب بطريقة الجمع، ولا يعني اختلاف الطرح أن نتيجة الجمع كانت مصادفة نحتاج تصحيحها. نستخدم الحسابات لفهم المثال، ونرجع إلى المبدأ الموثق في بداية الورقة عند الحديث عن خاصية العملية عمومًا.

اشتقاق فرق الناتجين واتجاهه

لنعد إلى الرموز ونسم ناتج الصيغة الأولى P، وناتج الثانية Q. الأولى تطرح b من a ثم تطرح c، فتكتب P=a-b-c. أما الثانية فتطرح الفرق b-c من a، فتكتب Q=a-b+c. يمكن فحص هذا الفتح بالأعداد السابقة: الأولى سبعة والثانية خمسة عشر، كما حسبنا دون رموز.

نحسب الآن Q-P، أي الثانية ناقص الأولى، ونحتفظ بقوس حول التعبير كله الذي سنطرحه: Q-P=(a-b+c)-(a-b-c). فتح القوس الأخير يعطي a-b+c-a+b+c. يتلاشى a مع معكوسه، وكذلك b، ويبقى c+c=2c. حصلنا على الفرق من الصيغتين، لا من تخمين بين السبعة والخمسة عشر.

في مثالنا c=4، فالفرق ثمانية: 15-7=8. إذا أردت حساب P-Q بدلًا من Q-P فسيكون الفرق سالب ثمانية. لا تسمّ أحد الرقمين خطأ لمجرد أنه سالب؛ اسأل أولًا أي الناتجين طرحت من الآخر. اتجاه المقارنة جزء من تعريف الفرق الذي كتبناه في السطر الأول.

هذا الاشتقاق يحدد أيضًا متى تتساوى الصيغتان في حسابنا: نحتاج إلى Q-P=0، أي 2c=0، ومنها c=0. الكلام عن الصيغتين المحددتين وعلى الأعداد الحقيقية؛ لا نعرض قانونًا لكل تعبير يحتوي أقواسًا، ولا نناقش أنظمة حساب مختلفة أو نتائج مقربة داخل آلة.

اختبار الصفر والعدد الثالث السالب

اجعل العدد الثالث صفرًا مع إبقاء الأولين ثمانية عشر وسبعة. الصيغة الأولى (18-7)-0 تعطي أحد عشر، والثانية 18-(7-0) تعطي أحد عشر أيضًا. المساواة هنا توافق الشرط الذي اشتققناه. لكنها لا تجعل الطرح تجميعيًا عمومًا؛ المثال السابق عند أربعة ما زال يعطي ناتجين مختلفين.

والآن اختر c=-4. الصيغة الأولى (18-7)-(-4) تعطي 11+4=15. والثانية 18-(7-(-4)) تعطي 18-11=7. حافظ على قوسي العدد السالب لكي يظهر أن العلامة الثانية جزء من العدد الذي نطرحه. إذا حذفتهما دون مراجعة، فقد تكتب عملية مختلفة عن المسألة التي اخترناها.

ناتج الثانية ناقص الأولى الآن 7-15=-8، وهو 2×(-4). لم يعد الناتج الثاني أكبر من الأول؛ إشارة العدد الثالث تغير اتجاه الفرق. لذلك لا نلخص المثال الموجب بعبارة «نقل القوس يزيد الجواب دائمًا». لاحظ ما حسبته فعلًا، ثم اكتب شرطه قبل أن تستخدمه في أعداد أخرى.

تمارين تصحيح وتعليل

تمرين أول: قارن (25-9)-6 مع 25-(9-6). الأولى 16-6=10، والثانية 25-3=22؛ الفرق، الثانية ناقص الأولى، اثنا عشر. لا تستخدم قانون الفرق وحده بدل الحسابين في أول محاولة؛ احسب كل نسخة ثم قارنه بما تتوقعه من العدد الثالث.

تمرين ثان: قارن (12-5)-0 مع 12-(5-0). الناتجان سبعة، والفرق صفر. وتمرين ثالث: قارن (9-2)-(-3) مع 9-(2-(-3)). الأولى عشرة، والثانية أربعة، والفرق سالب ستة. هذه الأمثلة تفحص حالات مختلفة، ولا تكتفي بإعادة مثال العدد الثالث الموجب.

صحح العبارة الآتية: «تساوى الناتجان عند الصفر، إذن يجوز نقل الأقواس في كل طرح». تصحيح مناسب: تساويا في الحالة التي اختبرناها، بينما مثال الأربعة نقض التعميم. قبل إنهاء الورقة راجع ترتيب الأعداد، وإشاراتها، وقيمة كل قوس، واتجاه الفرق، ثم اشرح لماذا تقبل العبارة المصححة ولا تقبل الأصلية. اختبر مثالًا من تأليفك، واكتب الحسابين كاملين قبل الاستعانة بصيغة الفرق للمراجعة في النهاية.