قد يكون معامل المدخل في تركيب قاعدتين متساويًا بالترتيبين، بينما يختلف الناتج بسبب الثابت المضاف. سنختار قواعد أفينية عددية دقيقة، ونشتق شرط التبادل، ثم نفسره بنقطة ثابتة مشتركة عندما يسمح المعاملان بذلك. وسنراجع انتقالين يتبادلان دون نقطة ثابتة حتى لا نحذف شرط هذا التفسير.
الخلاصة السريعة
للقاعدتين الحقيقيتينf(x)=ax+b وg(x)=cx+d على المجال الحقيقي كله، يتبادل التركيب إذا وفقط إذا(a−1)d=(c−1)b. كلا الترتيبين له معاملac، لكن الثابتينad+b وcb+d قد يختلفان.
- نحسب الداخل أولًا: f(g(x)) يبدأ بـg، وg(f(x)) يبدأ بـf. فيf=2x+3 وg=3x+4 نحصل على6x+11 و6x+13، وعندx=1 تكون النتيجتان17 و19.
- بتغييرg إلى3x+6 يتساوى التركيبان6x+15، وعندx=1 يساويان21. وجود ثابتين غير صفريين لا يمنع التبادل إذا تحققت العلاقة بين المعاملات.
- إذاa≠1 وc≠1، يكافئ التبادل تساوي النقطتين الثابتتينb/(1−a) وd/(1−c). في الزوج2x+3 و3x+6 تشترك القاعدتان فيp=−3.
- الانتقالانx+2 وx−5 يتبادلان ويعطيانx−3، لكن لا يملك أيهما نقطة ثابتة. إذا كان معامل واحد فقط يساوي1، وجب أن تكون القاعدة ذات ذلك المعامل هي الهوية حتى يتبادلا.
- القاعدة الثابتةf=b تتبادل معg عندماg(b)=b. ثابتان4 و7 لا يتبادلان، وثابتان4 و4 يتبادلان. المعاملات السالبة ممكنة؛ −x+4 و3x−4 يشتركان فيp=2.
- فرق التركيبين ثابت في هذه الفئة، فتساويهما عند مدخل واحد دقيق يثبت تساويهما عند الجميع إذا كانت الصيغ الأفينية معلومة. لا ننقل ذلك إلى جداول مجهولة أو نتائج مقربة أو قواعد غير أفينية.
- الرسم الأول للتركيبين، والثاني للقواعد الأصلية معy=x لفحص الثبات. تدريب4x−3 و2x−1 يعطي8x−7 في الترتيبين؛ جميع الأمثلة والصور مؤلفة دون تعميم على المصفوفات.
حدد معنى القاعدة الأفينية والتركيب
يعرض مرجع ماث وورلد صورة الدالة الأفينية التي تجمع حدًا يعتمد على المدخل مع حد ثابت. نأخذ الحالة العددية في متغير واحد f(x)=ax+b، حيث المعاملات أعداد حقيقية. سننشئ قاعدتين من هذا النوع ونختبر تبادل ترتيب تطبيقهما. لا نستعمل صيغًا مصفوفية أو أمثلة المصدر الهندسية، ولا نحول النتيجة التي سنثبتها إلى حكم عام عن كل أنواع الدوال. [1]
نختار المجال جميع الأعداد الحقيقية، فتستقبل كل قاعدة أي مخرج حقيقي تنتجه الأخرى. هذا الشرط يجعل التركيبين معرفين على المجال نفسه، ويجنبنا إضافة قيود على مدخل وسيط أثناء المقارنة. إذا أعطى سؤال آخر مجالًا محدودًا أو شرطًا على المخرج، فافحص أين يمكن تطبيق القاعدتين بالترتيبين قبل مقارنة الصيغ. الصيغة وحدها لا تلغي قيود المجال التي صرح بها السؤال.
كتابة f(g(x)) تعني أن نطبقg أولًا علىx، ثم نضع الناتج مدخلًا للقاعدةf. أما g(f(x)) فيبدأ بالقاعدةf ثم يستعملg. لا تعني الأقواس ضرب قيمتي الدالتين، ولا نقرأ اسمf الظاهر أولًا في الكتابة على أنه أول خطوة حسابية. سنكتب خطوات التعويض في أمثلة محددة، ثم نشتق شرطًا يبين متى تتساوى النتيجتان لكل مدخل.
احسب مثالًا يتغير فيه ترتيب التطبيق
لنأخذ f(x)=2x+3 وg(x)=3x+4. عند المدخلx=1، يبدأ الترتيبf(g(x)) بحسابg(1)=7، ثم يعطيf(7)=17. وفي الترتيب الآخر نحسبf(1)=5، ثمg(5)=19. لم تتغير القاعدتان أو المدخل، لكن الناتج تغير لأن المخرج الوسيط دخل في عملية أخرى. لا يثبت كون كل قاعدة خطًا مستقيمًا في الرسم أن تطبيقهما قابل للتبديل.
نحسب الصيغتين على المجال كله: f(g(x))=2(3x+4)+3=6x+11، بينما g(f(x))=3(2x+3)+4=6x+13. معاملx ستة في الحالتين، لكن الحد الثابت أحد عشر في الأولى وثلاثة عشر في الثانية. لذلك يختلف الناتجان بمقدار ثابت ولا يتساويان عند أي مدخل حقيقي في هذا المثال. تغييرx لا يستطيع تعويض الفرق، لأن الجزء الذي يعتمد عليه متطابق بالفعل.
مصدر الاختلاف واضح في الحساب: عند تطبيقf بعدg يتضاعف الثابت أربعة قبل إضافة ثلاثة، وعند تطبيقg بعدf يتثلث الثابت ثلاثة قبل إضافة أربعة. جمع الثابتين فقط لا يصف ما وقع؛ كل ثابت يمر داخل القاعدة الخارجية ويتأثر بمعاملها. افحص هذه الخطوة إذا حسبت معاملx بصورة صحيحة ثم ظهر لك حد ثابت لا يطابق التعويض المباشر عندx=1 أو عند صفر.
اشتق شرط التبادل للقاعدتين العامتين
اكتب f(x)=ax+b وg(x)=cx+d. التعويض في الأولى بعد الثانية يعطي f(g(x))=a(cx+d)+b=acx+ad+b. والتعويض بالترتيب الآخر يعطي g(f(x))=c(ax+b)+d=acx+cb+d. حاصل ضرب المعاملينac متساوٍ في الترتيبين لأننا نستعمل أعدادًا حقيقية، وليس مصفوفات. لذلك تتوقف مساواة الدالتين المركبتين هنا على الحدين الثابتين.
نطلب ad+b=cb+d، ثم نجمع حدود كل ثابت فنحصل على (a−1)d=(c−1)b. هذا هو شرط التبادل في النطاق الذي اخترناه: إذا تحقق، تساوى التركيبان لكلx؛ وإذا لم يتحقق، اختلفا لكلx بفرق ثابت. لا نحتاج إلى افتراض أن المعاملين موجبان أو أن الثابتين موجبان، ولا نقسم في هذه الخطوة علىa−1 أوc−1. لذلك يبقى الشرط صالحًا أيضًا عندما يكون أحد المعاملين واحدًا أو صفرًا.
يمكن كتابة فرق الناتجين على الصورة f(g(x))−g(f(x))=(a−1)d−(c−1)b. لاحظ اختفاءx تمامًا. هذه العبارة تشرح لماذا لا يصلح البحث عن مدخل يعيد مساواة التركيبين في المثال السابق؛ الفرق يساوي سالب اثنين عند كل مدخل. وإذا كان الفرق صفرًا، فليست المساواة مصادفة وقعت عند نقطة من الرسم، بل نتيجة للصيغتين على المجال الحقيقي كله.
أنشئ مثالًا يتبادل رغم وجود ثابتين
أبقf(x)=2x+3، لكن اختر هذه المرةg(x)=3x+6. يعطي الترتيب الأول2(3x+6)+3=6x+15، ويعطي الثاني3(2x+3)+6=6x+15. إذن يتبادل التطبيق رغم أن أيًا من الثابتين ليس صفرًا. هذه المقارنة تمنع قاعدة خاطئة تقول إن وجود ثابت مضاف يجعل الترتيب مؤثرًا دائمًا. الذي يحدد الأمر هو العلاقة بين المعاملين والثابتين، لا مجرد ظهور علامة جمع في كل صيغة.
عندx=1 يكونg(1)=9 ثمf(9)=21، وفي الترتيب الآخرf(1)=5 ثمg(5)=21. وعندx=0 يساوي الناتج خمسة عشر في الترتيبين. الأرقام تؤكد الصيغة التي اشتققناها، لكنها لا تحل محل برهان المجال كله. نستعمل التعويض لاكتشاف خطأ حسابي محتمل، ونستعمل تطابق الصيغتين أو تحقق الشرط العام لإثبات المساواة لكل مدخل.
قارن هذا الزوج بالزوج الأول دون تغييرf: الفرق بين اختيار الثابت أربعة واختيار الثابت ستة فيg كافٍ لتغيير حكم التبادل. في الشرط العامa=2 وb=3 وc=3، فيصبحd=6. كل قيمة أخرى للثابتd في هذه الأسرة المحددة تخالف الشرط. هذه نتيجة عن أسرة اخترنا معاملاتها، ولا تقول إن الستة قيمة خاصة لازمة لكل قاعدتين أفينيتين في مسائل أخرى.
| الزوج المؤلف | f(g(x)) | g(f(x)) | هل يتبادلان؟ |
|---|---|---|---|
| f=2x+3، g=3x+4 | 6x+11 | 6x+13 | لا |
| f=2x+3، g=3x+6 | 6x+15 | 6x+15 | نعم |
| f=x+2، g=x−5 | x−3 | x−3 | نعم |
| f=4، g=7 | 4 | 7 | لا |
فسر التبادل بنقطة ثابتة مع شرط واضح
نقطة ثابتة للقاعدةf هي مدخلp يحققf(p)=p. عندماa لا يساوي واحدًا، نحصل منap+b=p على p=b/(1−a). وبالطريقة نفسها تكون النقطة الثابتة الوحيدة للقاعدةg هي d/(1−c) عندماc لا يساوي واحدًا. نصرح بشرطي عدم الواحد قبل القسمة، فلا نعطي تعبيرًا غير معرف ثم نسميه نقطة ثابتة أو نختار قيمة له من الرسم.
عند استبعاد المعامل واحد في القاعدتين، يكافئ شرط التبادل تساوي النقطتين الثابتتين: b/(1−a)=d/(1−c). يمكن فحص التكافؤ بالضرب في المقامين غير الصفريين ثم إعادة ترتيب الحدود، فنعود إلى(a−1)d=(c−1)b. لهذا يتيح وجود نقطة ثابتة مشتركة تفسيرًا للنتيجة في هذه الحالة، لكنه تفسير مشروط. سنعرض انتقالين يتبادلان دون نقطة ثابتة ليظهر لماذا لا نحذف شرط المعاملين.
في الزوج المتبادلf=2x+3 وg=3x+6، تكون النقطة الثابتة المشتركةp=−3. بالفعلf(−3)=−3 وg(−3)=−3. ويمكن كتابة القاعدتين حولها f(x)=p+2(x−p) وg(x)=p+3(x−p). يضرب كل تطبيق البعد الموقّع عنp بمعامله، ثم يعيد الإضافة إلىp؛ وتبديل ضرب اثنين وثلاثة لا يغير الناتج. هذا تفسير جبري في خط الأعداد، وليس وصفًا لحركة جسم أو تجربة قياس.
افصل انتقالين يتبادلان دون نقطة ثابتة
خذf(x)=x+2 وg(x)=x−5. التركيب الأولg ثمf يعطيx−5+2=x−3، والآخرf ثمg يعطيx+2−5=x−3. يتبادل الانتقالان لأن جمع الإضافتين الحقيقيتين قابل للتبديل. في الشرط العامa=c=1، فيصير الطرفان صفرًا لأي قيمتين للثابتينb وd. إذن لا نستطيع استنتاج أن أحد الثابتين يجب أن يساوي صفرًا عندما يكون المعاملان واحدًا معًا.
مع ذلك لا تملكf=x+2 نقطة ثابتة حقيقية: معادلةp+2=p تفرض2=0، وهو غير صحيح. ولا تملكg=x−5 نقطة ثابتة أيضًا. إذن وجود نقطة ثابتة مشتركة ليس شرطًا لازمًا للتبادل في جميع القواعد الأفينية. كان لازمًا في المقارنة السابقة تحت استبعاد المعامل واحد، وتغيير الحالة أزال صلاحية استعمال تلك القسمة والتفسير. لا تجعل الاستثناء دعوة إلى إسقاط شرط التبادل العام الذي بقي صحيحًا.
يمكن أن تكون إحدى الإضافتين صفرًا، فتكون القاعدةx هي الهوية، وتثبت كل مدخل. ويمكن أن تكونا غير صفريتين كما في المثال، فلا توجد نقطة ثابتة لأي منهما، ويبقى التركيب قابلًا للتبديل. اقرأ الثابت والمعامل معًا عندما تصنف الحالة. تشابه الصيغة معax+b لا يضمن أن كل خطوة لاحقة، مثل استخراج نقطة ثابتة وحيدة، مسموحة دون التحقق من المعامل الذي قد يجعل مقامها صفرًا.
عندما يكون معامل واحد فقط مساويًا للواحد
لنفترضa=1 بينماc لا يساوي واحدًا. تصبحf(x)=x+b، ويختزل شرط التبادل إلى0=(c−1)b. لأنc−1 غير صفري، يجب أن يكونb=0؛ أي إنf هي الهوية. إذن انتقال غير صفري لا يتبادل مع قاعدة أفينية معاملها مختلف عن واحد في نموذجنا العددي. هذه النتيجة لا تتعارض مع تبادل الانتقالين السابقين، لأن معاملg في الحالة السابقة كان واحدًا أيضًا.
للمقارنة، خذf(x)=x+2 وg(x)=3x+4. تطبيقf بعدg يعطي3x+6، وتطبيقg بعدf يعطي3x+10؛ أثر الترتيب أربعة. وإذا غيرناf إلىf(x)=x، صار كلا التركيبين3x+4. في المثال الأول نقلنا المدخل قبل ضربه بثلاثة في أحد الطريقين، ونقلنا المخرج بعد ذلك في الطريق الآخر. اختلاف موضع الإضافة هو ما كشفه الحد الثابت في التوسيع.
في الحالة المعكوسةc=1 وa مختلف عن واحد، يلزمd=0 للسبب نفسه، فتكونg هي الهوية. اكتب هاتين الحالتين بوضوح عند إعداد خريطة مراجعة، ولا تطبق معادلة النقطة الثابتة ذات المقام1−a على قاعدة معاملها واحد. فالهوية تملك جميع المدخلات نقاطًا ثابتة، بينما الانتقال غير الصفري لا يملك أيًا منها، وليس لكل منهما نقطة ثابتة وحيدة نستخرجها بالصورة السابقة.
أدخل القواعد الثابتة والمعاملات السالبة
يمكن أن يكونa=0، فتكونf(x)=b قاعدة ثابتة. في هذه الحالةf(g(x)) يساويb دائمًا، بينماg(f(x)) يساويcb+d. يتبادلان إذا وفقط إذا كانb نقطة ثابتة للقاعدةg، أيcb+d=b. تتوافق هذه العلاقة مع شرطنا العام عندa=0. لا تحتاج القاعدة الثابتة إلى معكوس كي تقارن تركيبها؛ وجود معكوس ليس من الشروط التي افترضناها في هذا المقال.
إذا كانت القاعدتان ثابتتينf(x)=4 وg(x)=7، فالتركيب الأول أربعة والثاني سبعة، فلا يتبادلان. وإذا كانتاf(x)=4 وg(x)=4، تساويا وصار الناتج أربعة في الحالتين. لا تجعل حاصل ضرب المعاملين الصفري يثبت مساواة المخرجين؛ الحد الثابت ما زال هو الذي يحسم المقارنة. هذا مثال بسيط يختبر الفكرة المركزية حتى عندما يختفي المدخل من الناتج كله.
وجرب معاملًا سالبًا: f(x)=−x+4 وg(x)=3x−4. تملك القاعدتان النقطة الثابتةp=2، ويعطي كلا التركيبين−3x+8. يمكن فحص ذلك مباشرة: −(3x−4)+4=−3x+8، و3(−x+4)−4=−3x+8. لا يحتاج معيار التبادل إلى اتجاه تزايد واحد للقاعدتين. اكتفينا بمعاملات حقيقية وصيغ معلومة على المجال نفسه، وبقيت الحسابات صالحة مع انعكاس إشارة أحد المعاملين.
هل تكفي مساواة النتيجتين عند مدخل واحد؟
بعد أن نعرف أن القاعدتين من الصورة الأفينية العددية المعلنة، يكون فرق التركيبين ثابتًا كما اشتققنا. لذلك إذا تساويا عند مدخل واحد حقيقي، وجب أن يكون هذا الفرق صفرًا، فيتساويان عند كل مدخل. يمكنك استعمالx=0 لمقارنة الحدين الثابتينad+b وcb+d مباشرة. هذا الاستنتاج يستند إلى معرفة نوع القاعدتين، وليس إلى قوة عينة واحدة في إثبات سلوك أي دالتين مجهولتين.
إذا وصلت قيم قليلة في جدول دون تصريح بالصيغ، فقد تتفق قاعدتان عند هذه المدخلات وتختلفان خارجها. لذلك لا تنقل فحص المدخل الواحد إلى دوال مجهولة أو إلى تطبيق يضيف شرطًا أو قطعًا أو تقريبًا بين الخطوتين. كذلك لا تعتمد على مخرجين معروضين بالتقريب لإثبات مساواة دقيقة؛ قد يخفي العرض فرقًا صغيرًا. كل مساواة في أمثلتنا تأتي من صيغ وأعداد دقيقة، ولم نقدر علاقة من قياسات.
في المثال غير المتبادل6x+11 و6x+13، يعطيx=0 أحد عشر وثلاثة عشر، فيكشف عدم المساواة فورًا. أما إذا اخترت زوجًا جديدًا وأعطى الفحص نتيجة واحدة مشتركة، فراجع أولًا أنك حسبت التركيبين لا القاعدتين الأصليتين فقط. تساويf(0) وg(0) لا يساوي تساويf(g(0)) وg(f(0)). تحديد ما دخل في كل حساب يمنع استعمال اختبار صحيح على كمية مختلفة عن المطلوب.
اقرأ الرسمين مع اختلاف نوع الخطوط
الرسم الأول يعرض الدالتين المركبتين لكل زوج. في اللوحة الأولى ينطبق الخطان لأن كلًا منهما6x+15، ويظهر أحدهما متقطعًا حتى تستطيع تمييز وجود المسارين في المفتاح. في الثانية يظهر خطان متوازيان6x+11 و6x+13، وبين قيمتيهما فرق ثابت اثنان. المحور الأفقي مدخلx والرأسي قيمة التركيب، وليس ترتيب الخطوات أو زمن تشغيلها. الرسم يوضح الصيغ ولا يقيس مقدار فرق من بيانات حقيقية.
أما الرسم الثاني فيعرض القاعدتين الأصليتينf وg مع الخطy=x لفحص النقاط الثابتة، ولا يعرض التركيبين مرة أخرى. تلتقي2x+3 و3x+6 مع خط الهوية عند النقطة(−3,−3)، فتكون قيمة المدخلp=−3 ثابتة لكل قاعدة. وفي لوحة الانتقالينx+2 وx−5 لا يلتقي أي منهما بخط الهوية، رغم أن تركيبهما يتبادل. تسمية المحور والمفتاح تحفظ الفرق بين فحص تركيب وفحص نقطة ثابتة.
لا تستخرج شرط التبادل من تقاطع القاعدتين الأصليتين مع بعضهما وحده؛ المطلوب في تفسير النقطة الثابتة أن تكون قيمة التقاطع مساوية لمدخلها أيضًا، أي أن تقع علىy=x. ولا تجعل غياب تقاطع مع الهوية في لوحة الانتقالين دليلًا على اختلاف التركيبين؛ البرهان الحسابي أعطاهماx−3 معًا. لكل رسم وظيفة محددة، وقراءته خارجها قد تخلط بين تساوي قيمة قاعدتين وبين ثبات تلك القيمة وبين تساوي ترتيبين من التطبيق.
استعمل بطاقة معاملات وخطوات واضحة
اكتب بطاقة فيهاa وb للقاعدةf، وc وd للقاعدةg، ثم صف أي قاعدة داخلية وأيها خارجية في كل تركيب. احسبac مرة، واحسبad+b وcb+d منفصلين. بعد ذلك قارن الثابتين أو افحص(a−1)d=(c−1)b. هذه البطاقة تقلل خلط المعامل بالثابت أو نسيان ضرب الثابت الداخلي بالمعامل الخارجي. وإذا أردت تفسيرًا بالنقطة الثابتة، فافحص أن المعاملين لا يساويان واحدًا قبل القسمة.
في تدريبf=4x−3 وg=2x−1، يكون الشرط(4−1)(−1)=(2−1)(−3)، فيتحقق التبادل. يعطي كلا التركيبين8x−7، وتكون النقطة الثابتة المشتركة واحدًا. وإذا غيرت الثابت فيg إلى زائد واحد مع بقاء معاملها اثنين، أصبح التركيبان8x+1 و8x−5، ولم يعودا متساويين. تغيير خانة واحدة في البطاقة قد يغير حكم التبادل، لذلك راجع الصيغة الفعلية للزوج الذي تقارنه.
إذا وجدت خطأ في مثال مؤلف داخل تمرين، فصحح حسابك مع بقاء المعطيات معلنة. لا تغيرd كي تحقق الشرط ثم تدعي أن الزوج الأصلي كان متبادلًا؛ يكون ذلك إنشاء زوج جديد. يمكنك فعلًا تصميمg متبادلة معf معلومة باختيار معاملات تحقق العلاقة، لكن سم هذا الغرض تصميمًا لا فحصًا. التفريق بين بناء مثال والتحقق من مثال يساعد على كتابة نتيجة يستطيع القارئ إعادة حسابها دون معرفة ما جربته أثناء الإعداد.
احتفظ بشرط التبادل وحدود تفسيره
في الحالة العددية الحقيقيةf=ax+b وg=cx+d، يتساوى معامل المدخل في التركيبين، ويبقى اختبار الحدين الثابتين. الشرط(a−1)d=(c−1)b يثبت التبادل على المجال كله الذي اخترناه. وعندما يكون المعاملان مختلفين عن واحد، يكافئ ذلك وجود نقطة ثابتة مشتركة. أما الانتقالان فيتبادلان لأي إضافتين، والهوية تتبادل مع أي قاعدة أفينية، والقاعدة الثابتة تحتاج إلى فحص قيمتها بوصفها نقطة ثابتة للأخرى.
لا نعمم الحساب على مصفوفات بمجرد استعمال الحروف نفسها؛ اعتمدنا على تبادل ضرب المعاملين الحقيقيينac=ca. ولا ندخِل دالة غير أفينية أو تقريبًا أو تقييد مجال ثم نتوقع أن يبقى فرق التركيبين ثابتًا أو أن تكفي عينة واحدة. هذه الحدود ليست اعتراضًا على استعمال تركيب الدوال في مجالات أخرى، بل تحديد للنتيجة التي أثبتناها هنا. إذا تغير نوع المدخل أو العملية بين الخطوتين، يجب إعادة اشتقاق السؤال المناسب.
المرجع يدعم صورة القاعدة الأفينية، أما اشتقاق الشرط والأزواج والجداول والتدريبات والصورتين فمن عمل المقالة على أمثلة أصلية دقيقة. لم ننقل أمثلة مصدر أو صورًا أو نتائج قياس، ولم ندع أن الرسم أثبت معادلة خارج النموذج. النتيجة العملية واضحة: عند تبديل الترتيب، لا تتوقف عند حاصل ضرب المعاملين؛ افحص ما وقع للثابت الداخلي، ثم استعمل معيار النقطة الثابتة مع شروطه واستثناءاته بدل جعله قاعدة بلا قيد.
المصادر ومتابعة القراءة
- ماث وورلد: صورة الدالة الأفينية (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.