vander: غيّر ترتيب القوى والمعاملات معًا

حدد الأعمدة قبل الحساب

في vander، يحدد N عدد الأعمدة؛ الافتراضي بطول المدخل، وincreasing يحدد اتجاه القوى. [1]

نختار ثلاث قيم x: −2 ثم صفر ثم 3، ونصرح N=4. صف لكل قيمة وأربعة أعمدة، فلا نطلب مصفوفة مربعة. في الحساب التنازلي، نسمي الأعمدة x³ وx² وx و1 بهذا الترتيب.

في إعداد ثانٍ مؤلف نسمي ثلاثة أعمدة فقط: x² وx و1. سنحصل عند −2 على [4,−2,1]؛ طول صف المعاملات المطابق ثلاثة. لا نضيف خانة رابعة للحد التكعيبي إلى صف له ثلاث خانات.

نثبت أسماء الأعمدة مع الجدول قبل إسناد معاملات إليه. الرقم 4 هنا عدد أعمدة، لا أس أعلى مقداره 4؛ أعلى أس في إعدادنا هو 3، ثم 2 و1، وبعدها عمود ثابت.

احسب بقوى تنازلية

كثير الحدود المؤلف هو p(x)=2x³−x+5. نكتب معاملات الأعمدة التنازلية [2,0,−1,5]؛ كل حاصل ضرب يربط قيمة العمود بمعامله، ثم نجمع المنتجات الأربع.

عند x=−2، صف القوى [−8,4,−2,1]. الحساب 2×(−8)+0×4+(−1)×(−2)+5×1=−9. وعند صفر، الصف [0,0,0,1]، فالناتج 5. عمود الثابت يبقى واحدًا في نموذجنا.

عند x=3، الصف [27,9,3,1]. الناتج 2×27+0×9−3+5=56. صفوف المصفوفة المؤلفة إذن [[−8,4,−2,1],[0,0,0,1],[27,9,3,1]]، وقائمة النتائج [−9,5,56].

هذه عملية تقييم لمعاملات اخترناها سلفًا؛ لم نستنتجها من قيم مشاهدة ولم نحل نظام معادلات. لا يجعل وجود ثلاثة صفوف هذه المعاملات نتيجة ملاءمة أو اكتشاف علاقة في بيانات حقيقية.

اعكس المعاملات مع الأعمدة

نعكس أعمدة القوى في نموذجنا إلى 1 وx وx² وx³. تصير الصفوف [[1,−2,4,−8],[1,0,0,0],[1,3,9,27]]. للحفاظ على p، نرتب المعاملات بحسب هذه الأسماء: [5,−1,0,2].

عند −2 نجد 5×1+(−1)×(−2)+0×4+2×(−8)=−9. وعند صفر تعطي الخانة الثابتة 5. وعند 3 نجد 5−3+0+54=56. تغيّر مكان المنتج في الجمع، وبقي المعامل مع القوة التي يخصها.

إذا أبقينا المعاملات [2,0,−1,5] دون عكسها، فإن الصف التصاعدي يحسب 2×1+0×x−x²+5x³، أي كثير حدود آخر. عند −2 يصبح 2−4−40=−42، وعند صفر يصبح 2، وعند 3 يصبح 2−9+135=128.

البرهان عام داخل نموذجنا: بعد عكس n أعمدة، العمود j الجديد هو العمود القديم n−1−j. نضع المعامل القديم n−1−j بجواره أيضًا. عندما يمر j على كل المواقع، نعيد المنتجات القديمة كلها مرة واحدة؛ لذلك يبقى مجموعها.

لا نغيّر المعاملات باعتبارها أرقامًا مستقلة عن الأسماء. نغيّر ترتيب القائمة كي تظل تسمية القوة الصحيحة مرتبطة بكل معامل. حفظ الشكل (3,4) وحده لا يثبت صحة الاقتران؛ النتائج الخاطئة السابقة جاءت من الشكل نفسه.

حدود النموذج

عملنا بأعداد صحيحة وقائمة قيم واحدة وN موجب. في N=1 نضع عمودًا ثابتًا من الآحاد، فيكون كل صف ذا عنصر واحد؛ لا نحتاج تفسيرًا تحليليًا لتعبير صفر مرفوع للصفر كي نعرّف خانة الثابت في نموذج الأساس.

راجعنا القوى بحساب متكرر يبدأ عند 1 ويضرب في x لبناء العمود التالي، وقارناه بالقوى المباشرة. للأطوال N من 1 إلى 5 والقيم الصحيحة من −3 إلى 3، أعطى ذلك 35 فحصًا للأساس.

لكل طول، أخذنا جميع قوائم المعاملات من الأعداد −1 و0 و2. جمعها عبر الأطوال الخمسة 363 قائمة؛ مع القيم السبع أصبح لدينا 2541 حالة. قارنّا التقييم التنازلي بحساب هورنر المستقل، والتقييم التصاعدي بمعاملات معكوسة، وحالة المعاملات غير المعكوسة بكثير الحدود المعكوس.

ثلاثة فحوص لكل حالة، و35 للأساس وسبعة مباشرة، تعطي 3×2541+35+7=7665. لم نشغل vander، أو نفحص النوع العددي والتقريب أو استقرار الملاءمة أو المحددات أو مشاركة الذاكرة والسرعة. الفحص يخص حساب القوى واقتران المعاملات في النموذج المعلن.