رسمنا شبكة مؤلفة من أربعة صفوف وتسعة أعمدة من خلايا مربعة متساوية. أول عد يعطينا ستًا وثلاثين خلية، لكن سؤال الورقة يطلب كل مربع يمكن أن تحده خطوط الشبكة، مهما كان حجمه المسموح. نعد الأضلاع الأفقية والرأسية فقط، ولا ندخل مربعات مائلة أو خطوطًا نضيفها بين الخطوط المرسومة. الشبكة كاملة بلا ثقوب أو أجزاء ناقصة، وطول ضلع الخلية وحدة واحدة في النموذج. سنحصر المواضع بدل التخمين من شكل الصورة.
الخلاصة السريعة
في شبكتنا 4×9 نحصل على 80 مربعًا:36 بضلع واحد، و 24 بضلع اثنين، و 14 بضلع ثلاثة، و 6 بضلع أربعة. العدد 36 يعد الخلايا وحدها، فلا يجيب عن السؤال كاملًا.
- لا نكتفي بالخلايا؛ المرجع يفحص المربعات الأكبر أيضًا. [1]
- نموذجنا أربعة صفوف وتسعة أعمدة كاملة؛ نقتصر على مربعات تتبع أضلاعها خطوط الشبكة دون ميل أو أجزاء ناقصة.
- الأعداد بحسب الضلع هي 36 ثم 24 ثم 14 ثم 6؛ مجموعها 80، والتداخل بين موضعين لا يجعل أحدهما مكررًا تلقائيًا.
- لضلع ثلاثة يوجد موضعان رأسيان وسبعة أفقيًا؛ نحصر 2×7=14، ونميز نقل المربع عن عد الموضع نفسه مرتين.
- ضلع ثلاثة يبدأ عند خط العمود 6 وينتهي عند 9 فيصلح؛ عند خط العمود 7 يتجاوز الحد، فلا يدخل في الحصر.
- الخلايا 36، وتقاطع الخطوط 50؛ هما عدان مختلفان عن المجموع 80، ولا نحول عدد الأشكال المتداخلة إلى مساحة تغطية.
- في تمرين شبكتنا الثانية 2×8، يوجد 16 مربعًا بضلع واحد و 7 بضلع اثنين؛ المجموع 23، وليس 16.
ثبت ما يسمح السؤال بعده
يعرض NRICH عد المربعات بمختلف أحجامها داخل شبكة مستطيلة. نختار شبكة أخرى ونراجع مواضع كل حجم. [1]
نحدد ركنًا لكل مربع عند تقاطع خط رأسي وخط أفقي. نريد الأضلاع الأربعة على خطوط الشبكة نفسها، ورؤوسًا عند تقاطعاتها، والشكل كاملًا داخل المستطيل. لا نستعمل خطًا مائلًا لتكوين شكل إضافي، ولو أمكن رسمه بين نقاط الشبكة. هذا قيد لورقتنا، لا نفي لوجود أسئلة أخرى عن الرسم.
الخطوط الأفقية تحد أربعة صفوف، ولذلك توجد خمسة مستويات لخطوطها. والخطوط الرأسية تحد تسعة أعمدة، فتوجد عشرة مستويات لها. نرقّم خطوط الأعمدة من صفر إلى تسعة، وخطوط الصفوف من صفر إلى أربعة، كي نسمي موضع الركن قبل أن ننقله.
الرسم الرئيسي يبين الشبكة وجدول أحجامها. لا تمثل الخانات بلاطات مشروع أو قياس صورة حقيقية، ولا نختبر تغطية سطح بأدوات. إنه نموذج محدد للعد؛ احتفظ بقيوده عند قراءة الأعداد في الجدول.
ابدأ بالحجمين الصغيرين
المربع بضلع واحد هو خلية واحدة من نموذجنا. يوجد تسعة في كل صف، وأربعة صفوف، فيكون عدد المواضع 4×9=36. هذه البداية مفيدة، لكنها لا تمنع اختيار مربع أكبر تمتد أضلاعه عبر عدة خلايا من الشبكة نفسها.
لضلع اثنين، يستطيع الركن العلوي أن يبدأ في ثلاثة مواضع للصفوف: صفر أو واحد أو اثنان. البدء عند خط الصف 3 يحتاج الوصول إلى الخامس، خارج الحد الرابع. وللأعمدة ثمانية بدايات من صفر إلى سبعة؛ البداية عند خط العمود 8 تحتاج الحد العاشر خارج الشبكة.
نقرن كل بداية من الثلاث بكل بداية من الثماني، فنحسب 3×8=24 مربعًا. قد يتداخل مربعان من هذه القائمة في بعض الخلايا؛ مع ذلك يختلف ركن بدايتهما. المطلوب عد المواضع الكاملة، وليس رصف مربعات لا تتلامس أو لا تتداخل.
للمراجعة، ثبت بداية الصف عند صفر وانقل الركن من العمود صفر إلى السابع. لديك ثمانية مواضع في هذا السطر من الحصر. ثم كرر الحصر عند خط الصف 1 وخط الصف 2، دون العودة إلى المواضع التي سجلتها سابقًا.
احصر المواضع ذات الضلع ثلاثة
نختار الآن ضلعًا من ثلاث وحدات. رأسيًا يبدأ الركن عند خط الصف 0 أو 1 فقط؛ نهايتهما عند الثالث والرابع. البدء عند خط الصف 2 يحتاج النهاية الخامسة، فلا يكتمل داخل الصفوف الأربعة. لدينا إذن بدايتان رأسيًا.
أفقيًا تبدأ الأركان عند الأعمدة صفر أو واحد أو اثنين أو ثلاثة أو أربعة أو خمسة أو ستة. نهاياتها بعد ثلاث وحدات تقع من الثالث إلى التاسع. سبع بدايات أفقيًا، مع كل واحدة من البدايتين رأسيًا، تعطينا 2×7=14 موضعًا.
لو سجلت مربعًا يبدأ عند خط الصف 0 وخط العمود 2، ثم وصفته من ركنه المقابل، فلا تنشئ بذلك مربعًا ثانيًا. في سجلنا نثبت الركن العلوي الأيسر علامة لكل موضع. نقل الركن يحدد موضعًا جديدًا، أما إعادة وصف حدود المربع نفسه فلا تزيد الحصر.
الرسم الداخلي يعرض مربعًا كاملًا وآخر يتجاوز الحد الأيمن. كلا الإطارين مرسوم بضلع ثلاثة في النموذج، لكن السؤال لا يقبل الإطار الخارجي جزئيًا. نراجع النهاية داخل حدود الشبكة، لا مجرد ظهور ثلاثة أعمدة ملونة في مكان ما.
أكمل الحجم الأخير واجمع دون عد مزدوج
لضلع أربعة، يمتد المربع عبر الصفوف الأربعة كلها. لا يوجد إلا بدء رأسي واحد عند الصف صفر. أفقيًا توجد ست بدايات من صفر إلى خمسة؛ تنتهي عند الرابع إلى التاسع. نحسب 1×6=6 مربعات من هذا الحجم.
ولا يدخل ضلع خمسة في نموذجنا، لأن ارتفاعه يحتاج خمس خلايا بينما لدينا أربعة صفوف فقط. هذا يحصر أحجامنا في واحد واثنين وثلاثة وأربعة، فلا نترك خانة مفتوحة لحجم أكبر لمجرد أن الأعمدة تسعة.
نجمع المواضع بحسب أحجامها:36+24+14+6=80. لا يظهر مربع واحد في حجمين مختلفين لأن طول ضلعه محدد. وداخل الحجم نفسه سجلنا كل ركن علوي أيسر مرة واحدة. بهذين الفحصين نتجنب عد الشيء نفسه مرتين، مع السماح بتداخل أشكال مختلفة.
راجع الحدود واسم العدد الذي كتبته
في مثال ضلع ثلاثة، البداية عند خط العمود 6 تعطي النهاية 6+3=9. يلامس المربع الحد ويظل كاملًا داخل الشبكة، لذلك لا نحذفه. أما البداية عند خط العمود 7 فتعطي 7+3=10، خارج الحد التاسع، فلا تدخل في الحصر. قبول الملامسة مختلف عن قبول التجاوز.
وإذا عددت تقاطعات الخطوط، فستحسب 5×10=50 نقطة، لا 36 خلية ولا 80 مربعًا بجميع الأحجام. اكتب بجوار كل عدد ما يعده: تقاطعات أو خلايا أو أشكال مربعة. استخدام الأعداد نفسها دون عناوين قد يجعل جواب سؤال آخر يبدو مناسبًا للورقة.
ولا نجمع مساحات الأشكال المتداخلة ونصف ذلك بأنه سطح المستطيل. لدينا عدة مواضع تستعمل خلايا مشتركة في الرسم. سؤال الحصر يطلب عدد الأشكال؛ سؤال تغطية السطح بوحدات متساوية يطلب شيئًا آخر. أبق عنوان المهمة ظاهرًا قبل كل حساب.
حل شبكة جديدة بالطريقة المعلنة
نؤلف للتمرين شبكة من صفين وثمانية أعمدة. بضلع واحد فيها 2×8=16 موضعًا. وبضلع اثنين نبدأ في الصف صفر وحده، وفي الأعمدة من صفر إلى ستة، فتوجد سبعة مواضع. لا يدخل ضلع ثلاثة في ارتفاع الصفين، فيكون المجموع 16+7=23.
يمكن التحقق بحصر الأركان كتابة: ثبت خط الصف 0، واكتب الأعمدة السبعة المقبولة للضلع اثنين. لا تقف عند الخلايا الست عشرة ثم تعلن انتهاء الحصر؛ راجع الأحجام التي يسمح بها ارتفاع هذه الشبكة الجديدة. هذه أعداد اخترناها، وليست نقلًا لتمارين المرجع.
سجل حدود الشبكة والحجم وبداياته، ثم الضرب والمجموع. إذا تغير الرسم، أعد الحصر من قيوده؛ لا تنقل نتيجتنا إلى صورة مختلفة. واحتفظ بسجل المقارنة.
المصادر ومتابعة القراءة
- NRICH: Squares in Rectangles (يفتح في نافذة جديدة)nrich.maths.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.