دمج متوسطين: استعد العدد قبل الحساب

استعد المجموع قبل دمج القائمتين

يعرف MathWorld المتوسط المرجح بأوزان غير سالبة مجموعها واحد. نختار الأوزان من أعداد قيم مجموعتين مؤلفتين. ^[1]

نختار أ بالقيم 8 و10. مجموعها 18 وعددها 2، ومتوسطها 18/2=9. ونختار ب بالقيم 12 و14 و16 و18 و20. مجموعها 80 وعددها 5، ومتوسطها 80/5=16. نكتب العدد والمجموع بجانب المتوسط، كي لا تختفي المعلومة التي نحتاجها عند الدمج.

بعد الدمج توجد سبع قيم، ومجموعها 98. نحسب 98/7=14. ولو أخذنا 9 و16 كأنهما قيمتان متساويتان في التمثيل، لحسبنا (9+16)/2=12.5. هذا الحساب الأخير صحيح لعدديه، لكنه يجيب عن سؤال آخر، فلا نبدل عنوانه بمتوسط قيم القائمتين كلها.

يعرض الرسم الرئيسي ملخصي قائمتينا ومجموعيهما، ثم يقارن الحسابين. الأعداد اختيارنا، وليست نقلًا لتمرين المرجع. لا نستعمل الشكل لتقرير أداء أشخاص أو أثر تجربة؛ وظيفته إبقاء عدد القيم ظاهرًا أثناء قراءة المتوسط.

اختبر ما ينقص حين يختفي العددان

افترض أنك احتفظت بالمتوسطين 9 و16 وبالعدد الكلي 7 فقط. هل تستطيع استعادة الجواب 14 حتمًا؟ نؤلف أ جديدة بالقيم 5 و7 و9 و11 و13، فمجموعها 45 وعددها 5 ومتوسطها 9. ونؤلف ب جديدة بالقيم 15 و17، فمجموعها 32 وعددها 2 ومتوسطها 16.

هنا المتوسطان كما كانا، والعدد الكلي كما كان، لكن المجموع صار 77 والمتوسط المدمج 77/7=11. لدينا إذن مثالان يوافقان المعلومات المحفوظة ويعطيان جوابين مختلفين. لا يكفي ذكر إجمالي القيم دون معرفة كيف توزع بين القائمتين.

هذا الاختبار لا يقول إن البيانات الناقصة تمنع كل استنتاج في كل حالة. إنه ينفي ضمان استعادة المتوسط المطلوب من هذه المعلومات وحدها. قبل الحساب اطلب عدد قيم كل قائمة، أو معلومة تكافئه في المهمة، ولا تختر التقسيم الذي يجعل جوابك المفضل صحيحًا.

افحص حالتي الاتفاق بدل تعميم الخطأ

نؤلف مثالًا متساوي العددين: أ بالقيم 8 و10، وب بالقيم 15 و17. لكل قائمة قيمتان، ومتوسطاهما 9 و16. المجموع الكلي 50 والعدد 4، فالمتوسط 50/4=12.5. هنا يوافق متوسط المتوسطين الجواب، لأن التمثيل العددي متساو.

ثم نؤلف مثالًا متساوي المتوسطين: أ بالقيم 8 و10، وب بالقيم 5 و7 و9 و11 و13. المتوسطان كلاهما 9، مع عددين مختلفين هما 2 و5. مجموع القيم 63 وعددها 7، فيكون المتوسط 63/7=9، وهو متوسط العددين 9 و9 أيضًا.

لا نختصر هذين الاختبارين بقول إن متوسط المتوسطين خطأ دائمًا. ولا نستعمل اتفاق مثال واحد لإلغاء الحاجة إلى العددين في جميع الحالات. نميز التساوي الذي أثبتناه عن التساوي الذي نتمنى وجوده، ثم نسأل عن الشرط الذي يفسر المثالين.

برهن شرط الاتفاق في النموذج المعلن

نسمي عددي القيم nA وnB، وهما عددان صحيحان موجبان. ونسمي المتوسطين mA وmB، ونضع N=nA+nB. مجموع القيم في أ هو nA*mA، وفي ب هو nB*mB، لذلك نسمي المتوسط المدمج M=(nA*mA+nB*mB)/N. ونسمي متوسط المتوسطين H=(mA+mB)/2.

نطرح H من M ونوحد المقام إلى 2N. بسط الفرق هو D=2*nA*mA+2*nB*mB−N*mA−N*mB. بالتعويض عن N وتجميع الحدود نحصل على D=nA*mA−nA*mB−nB*mA+nB*mB، ثم D=(nA−nB)*(mA−mB). وأخيرًا M−H=D/(2N).

المقام موجب، لذلك يتلاشى الفرق بالضبط عندما يتلاشى أحد عاملي البسط: nA=nB أو mA=mB. هذا يفسر حالتي الاتفاق السابقتين. وإذا اختلف العددان والمتوسطان معًا، فلا يكون الحسابان متساويين في هذا النموذج، مهما بدت القيم قريبة عند العرض.

اقرأ الأوزان دون فقدان القيم التي تمثلها

في مثالنا الأول نختار wA=2/7 وwB=5/7. كل وزن يمثل حصة قائمته من عدد القيم الكلي. نعرض علاقة الوزن التالية مستقلة، ثم نستخدم أعداد قائمتينا في حسابنا المؤلف.

wA+wB=1

الحساب العددي هو (2/7)*9+(5/7)*16=14. وفي الرسم الداخلي يمتد الجزء الأول وحدتين من سبع، والثاني خمس وحدات من سبع. طول الشريط يمثل حصة عددية داخل الورقة، لا حجمًا ماديًا أو قياس جودة.

ولفحص حدود المعلومات نبدل أ بالقيم 7 و11، وب بالقيم 10 و13 و16 و19 و22. يبقى العددان 2 و5، والمجموعان 18 و80، والمتوسطان 9 و16. نحصل مجددًا على 14، مع أن القيم المفردة تغيرت. الملخص يكفي لحساب المتوسط هنا، ولا يكفي لاسترجاع القائمتين الأصليتين.

أنهِ الورقة بسجل يمكن مراجعته

غط أسماء القائمتين وأعد الحساب من العدد والمتوسط فقط: اضرب 2 في 9 لتحصل على 18، ثم 5 في 16 لتحصل على 80. اجمع الناتجين واقسم على 7. إذا حصلت على 12.5، فراجع هل أعطيت الملخصين وزنًا متساويًا دون الرجوع إلى عدد القيم.

ثم بدّل العددين كما في مثالنا الثاني، وأعد استخراج المجموعين 45 و32. لا تنقل مجموعًا من المثال الأول لمجرد ثبات المتوسطين. جواب 11 هنا شاهد على أثر توزيع القيم، والجواب 14 هناك شاهد مختلف، لا خطأ يحتاج إخفاءه.

اكتب في نهاية السجل الوحدة، وعدد القيم في كل قائمة، ومتوسطها الدقيق، والمجموع المستعاد، والعدد الكلي، والنتيجة. إن كانت المتوسطات المعطاة مقربة، فلا تسوها تلقائيًا بالمقادير الدقيقة التي افترضتها ورقتنا. احتفظ بعنوان السؤال وقيده مع الحساب، حتى يستطيع قارئ آخر مراجعة ما دمجته فعلًا.

ولمراجعة إضافية، رتب بطاقات الأمثلة الثلاثة أمامك: اختلاف العددين والمتوسطين، تساوي العددين وحده، وتساوي المتوسطين وحده. اكتب تحت كل بطاقة هل اتفق الحسابان، ثم اربط جوابك بشرط البرهان. لا تعتمد على ترتيب القيم في القائمة؛ نقل قيمة إلى موضع آخر داخلها لا يغير مجموعها أو عددها. أما نقل ظهور من قائمة إلى الأخرى فيغير الملخص الذي يجب استعماله. لهذا نراجع حدود القائمتين قبل دمجهما، ولا نكتفي بترتيب الأرقام على السطر. اترك خانة خالية لأي معلومة لم تقدم، وميزها من الصفر المكتوب فعلًا، لأن غياب عدد القيم ليس تصريحًا بأن القائمة فارغة في هذا النموذج. راجع الخطوات منفردة.