تصحيح المجتمع المحدود وتباين المتوسط يرتبطان بحصة العينة وطريقة سحبها. عندما نسحب دون إرجاع، لا نستطيع اختيار السجل نفسه مرتين، فتختلف متوسطات العينات الممكنة عن السحب مع الإرجاع. سنحسب هذا الاختلاف على مجتمع صغير معلوم، لا على نتائج تدريب نموذج.
الخلاصة السريعة
في مثال أربع قيم وحجم عينة اثنين، تباين المتوسط دون إرجاع 5/3 ، ومع إرجاع مستقل 5/2 ؛ الفرق نتيجة تصميم السحب والخيارات التي يسمح بها.
- نؤلف مجتمعا من أربع سجلات قيمها 2 و 4 و 6 و 8 ، ومتوسطه 5. دون إرجاع نختار أي زوج من السجلات بفرصة متساوية، ومع الإرجاع نفترض سحبتين مستقلتين متساويتين.
- متوسطات الأزواج الستة دون إرجاع هي 3 و 4 و 5 و 5 و 6 و 7 ؛ متوسطها 5 ، وتباينها حول 5 يساوي 10/6=5/3.
- مع الإرجاع توجد 16 نتيجة مرتبة متساوية الاحتمال، وتباين المتوسط 5/2. يستخدم المرجع تصحيح 1−n/N مع تباين المجتمع المقسوم علىN−1. [1] يجب تثبيت تعريف التباين قبل مقارنة العوامل.
- عند فحص المجتمع كله دون إرجاع يصبح متوسطه ثابتا وتباين متوسط المعاينة صفرًا. هذا لا يلغي أخطاء القياس أو الإطار، ولا يصف خسارة نموذج أو تباين عينة جزئية غير عشوائية.
أي مجتمع وأي متوسط نقارن؟
نعرف في مثالنا أربعة سجلات مختلفة قيمها 2 و 4 و 6 و 8 ، بواحدة قياس تعليمية مشتركة. مجموعها 20 ومتوسط المجتمع 5. نريد وصف تغير متوسط عينة حجمها اثنان عبر كل خيارات سحبها الممكنة.
دون إرجاع نختار زوجا غير مرتب، ولا يتكرر السجل داخل العينة. نعطي الأزواج الستة الفرصة نفسها. مع الإرجاع نختار سجلا في كل مرة من الأربعة كاملة، ونجعل السحبتين مستقلتين؛ يسمح ذلك بتكرار السجل نفسه.
لا نقدر هنا قيم مجتمع مجهول، ولا نعيد معاينة مقياس نموذج ثابت. كل قيم المجتمع وشروط السحب معروفة من تأليف المثال، ويمكن عد جميع الخيارات دون محاكاة عشوائية.
كيف نحسب تباين متوسط الأزواج دون إرجاع؟
متوسط المتوسطات الستة هو 5. نجمع مربعات فروقها عنه:4+1+0+0+1+4=10. لكل زوج احتمال 1/6 ، لذلك تباين هذا التوزيع الكامل 10÷6=5/3 ، أي نحو 1.667 وحدة قياس مربعة.
المقام ستة لأننا نحسب التباين الاحتمالي لجميع النتائج المتساوية الفرصة، لا تقديرا من عينة صغيرة لمتوسطات مجهولة. وليس 5/3 تباين القيم داخل زوج بعينه؛ قد يحتوي زوج على قيمتين متباعدتين مع متوسط يساوي 5.
| قيم الزوج | متوسطه | مربع الفرق عن 5 |
|---|---|---|
| 2 و 4 | 3 | 4 |
| 2 و 6 | 4 | 1 |
| 2 و 8 | 5 | 0 |
| 4 و 6 | 5 | 0 |
| 4 و 8 | 6 | 1 |
| 6 و 8 | 7 | 4 |
ماذا يغير الإرجاع وتعريف مقام التباين؟
مع الإرجاع توجد 4×4=16 نتيجة مرتبة. يظهر الزوج 2 ثم 8 والزوج 8 ثم 2 كمسارين مختلفين، ويظهر 2 ثم 2 أيضا. مجموع مربعات فروق المتوسطات الستة عشر عن 5 هو 40 ، فتباين المتوسط 40÷16=5/2.
تستخدم محاضرة Penn State صيغة تباين المتوسط دون إرجاع: (1−n/N)×S²/n، مع تعريفS² بمقامN−1. [1]
لديناN=4 وn=2 ، ومجموع مربعات فروق القيم الأصلية عن 5 يساوي 20. وفق هذا التعريفS²=20/3 ، فيكون التصحيح 1/2 ، وتنتج (1/2)×(20/3)÷2=5/3.
أما تباين قيمة سحبة واحدة متساوية الفرصة من المجتمع فهو 20/4=5 ؛ لذلك تباين متوسط السحبتين المستقلتين 5/2. نسبة تبايني المتوسط دون الإرجاع ومعه 2/3 ، وهي ليست 1/2 الذي استعملناه معS². اختلف المقام المرجعي، ولم تتعارض الحسابات.
هل الوصول إلى المجتمع كله ينهي كل خطأ؟
إذا سحبنا السجلات الأربعة كلها دون إرجاع، فلا يوجد إلا مجموعها الكامل، ومتوسطه 5 في كل مرة. تباين متوسط المعاينة صفر، لأن اختيار أفراد العينة لم يعد يغير هذا المتوسط.
هذا حكم على المعاينة من مجتمعنا المعلن. إذا كانت قيمة مسجلة خاطئة أو إطارنا يستبعد سجلات مطلوبة، فلن يصحح الصفر ذلك. كما أن احتواء بيانات تدريب على كل هذه السجلات لا يثبت أداء نموذج خارجها.
احفظ حجم المجتمع وحجم العينة ووجود الإرجاع واستقلال السحوبات عند افتراضه، واكتب مقام تباين القيم. لا تأخذ عامل تصحيح من صفحة وتضربه في تباين معرّف بمقام مختلف دون إعادة اشتقاق؛ وقد تحتاج تصميما آخر لحساب آخر.
المصادر ومتابعة القراءة
- Penn State STAT506: Estimating Population Mean and Total under SRS (يفتح في نافذة جديدة)online.stat.psu.edu
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.