قد تحدد القاعدة والمساحة بُعد رأس المثلث دون أن تحددا موضعه وحده. سنثبت نقطتي القاعدة ونبحث عن جميع المواضع التي تعطي مساحة مطلوبة، ثم نضيف حدود منطقة مسموحة. الأمثلة والإحداثيات مؤلفة، والبحث في المستوى الإقليدي باستخدام المساحة العادية غير الموجهة.
الخلاصة السريعة
استخرج الارتفاع من h=2A/b؛ مواضع الرأس تقع على خطين يوازيان مستقيم القاعدة ويبعدان عنه h، ثم طبق القيود الإضافية على هذين الخطين. [1]
- للقاعدة من (1,0) إلى(9,0) طول8، ومساحة20: الارتفاع5، ومواضع الرأس (x,5) أو(x,-5) لأي x حقيقي منتهٍ.
- البرهان في اتجاهين: كل نقطة على الخطين تعطي المساحة؛ وكل مثلث بالمساحة المطلوبة يجب أن يكون رأسه عليهما.
- المستطيل المغلق -2≤x≤12 و-3≤y≤7 يسمح بالقطعة y=5 وحدها، مع طرفيها. في المنطقة المفتوحة نستبعد الطرفين.
- قيد أعلى القاعدة يلغي الخط السفلي؛ قيد موضع القدم بين الطرفين يضيف1≤x≤9. هذه قيود مستقلة عن المساحة.
- مساحة صفر تعطي رؤوسًا على مستقيم القاعدة ومثلثًا منعدمًا؛ المساحة العادية السالبة لا تملك حلًا.
- وحّد وحدات القاعدة والمساحة. في التمرين الثاني قاعدة من(2,1) إلى(8,1) ومساحة12 تعطي h=4 وخطين y=5 وy=-3، لا y=±4.
- للقاعدة8: مساحة12 تعطي خطي y=±3، ومساحة28 تعطي y=±7؛ حدود المنطقة المغلقة أو المفتوحة قد تقبل أحدهما أو تستبعد كليهما.
حدد ما تثبته المسألة
يعرض نشاط Texas Instruments علاقة مساحة المثلث بالقاعدة والارتفاع المقابل، ويقيس الفصل بين المستقيمين المتوازيين بالعمود. سنستخدم قانون نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع، ثم نبني مسألة عكسية بإحداثيات أصلية بدل نقل خطوات الجهاز أو أمثلة النشاط. [1]
نختار نقطتين ثابتتين A=(1,0) وB=(9,0)، ونعتبر الوحدة سنتيمترًا. طول القاعدة AB هو 8 سم، ونطلب أن تكون مساحة المثلث 20 سم². الرأس الثالث C هو المتغير الوحيد. لا يجوز تحريك طرفي القاعدة أثناء البحث، لأن ذلك سيغير البيانات التي اتفقنا عليها. كما لا نطلب طول الضلعين الآخرين أو زاوية محددة؛ إدخال هذه القيود من عندنا سيجعل السؤال أصغر من المسألة الأصلية.
المطلوب العثور على جميع مواضع C التي تحقق المساحة، لا رسم مثلث واحد مناسب ثم التوقف. نقطة واحدة قد تثبت أن المسألة ممكنة، لكنها لا تصف مجموعة الحلول. سنعرف أولًا البعد العمودي الذي يجب أن يفصل الرأس عن مستقيم القاعدة، ثم نبحث أين يمكن وضع نقطة بهذا البعد. بعد ذلك نضيف منطقة مسموحة ونقارن مجموعة الحلول قبل القيد وبعده؛ هذه المقارنة توضح دور كل معلومة إضافية.
استرجع الارتفاع من المساحة
اكتب قانون المثال A=8h/2، حيث A اسم المساحة في هذه الصيغة وh الارتفاع المقابل للقاعدة الثابتة. عند A=20 يصبح 20=4h، ومن ثم h=5 سم. يمكن أيضًا كتابة h=2×20/8. تحقق من الوحدة: قسمة سنتيمترات مربعة على سنتيمترات تعطي سنتيمترات، وهي وحدة ارتفاع. لا تعوض المساحة بالعدد 20 سم أو تكتب الناتج 5 سم²؛ فكل مقدار يؤدي وظيفة مختلفة في الحساب.
الخمس التي وجدناها ليست طول كل ضلع مائل من الرأس إلى أحد الطرفين. هي المسافة العمودية إلى مستقيم القاعدة. إذا وضعنا C=(5,5) كانت قدم العمود (5,0)، وإذا وضعنا C=(12,5) كانت قدم العمود (12,0). في الحالتين طول العمود 5، رغم أن القدم الثانية تقع خارج القطعة AB. اختيار قاعدة AB يربط ارتفاعها بالمستقيم y=0 كله، ولا يفرض أن تقع قدمه بين الطرفين.
لذلك لا نستنتج أن x يجب أن يكون بين 1 و9 من قانون المساحة وحده. هذا شرط إضافي يضع قدم العمود على قطعة القاعدة، وليس شرطًا لصحة ارتفاع المثلث أو حساب مساحته. سنسمح أولًا بأي x حقيقي منتهٍ، ثم نضيف حدودًا معلنة عندما نريدها. الفصل بين ما يفرضه القانون وما نرغب في إضافته يمنع أن نخفي حلولًا صحيحة في رسم يبدو مألوفًا.
فسر لماذا يوجد خطان كاملان
مستقيم القاعدة هو y=0. النقاط التي تقع فوقه بمسافة عمودية 5 تحقق y=5، والتي تقع تحته بالمسافة نفسها تحقق y=-5. في المستوى كله تعطينا المساحة العادية الموجبة خيارين، لأن البعد لا يحدد جانب المستقيم. إذن مجموعة مواضع الرأس هي C=(x,5) أو C=(x,-5)، مع أي x حقيقي منتهٍ. الخطان متوازيان مع القاعدة ويقع كل منهما على جانب منها، وليسا ضلعين من المثلث.
لنراجع اتجاهي البرهان. إذا كانت نقطة الرأس على أحد الخطين، فالارتفاع المقابل للقاعدة 5، وبذلك تكون المساحة 8×5/2=20. هذا يثبت أن كل موضع ذكرناه حل. والعكس: إذا كانت مساحة مثلث قائم على القاعدة الثابتة 20، فإن ارتفاعه يساوي 5 كما حسبنا. أي نقطة تبعد هذه المسافة عن y=0 يجب أن تحمل الإحداثي الرأسي 5 أو -5؛ لذلك لا يبقى حل خارج الخطين.
وجود مثالين على الخط الأعلى لا يكفي وحده لإثبات اكتمال المجموعة، كما أن ملاحظة ثبات المساحة عند سحب نقطة في صورة لا تستبعد نقاطًا لم نسحبها. البرهان السابق يبين لماذا تدخل كل نقطة على الخطين ولماذا تخرج سائر نقاط المستوى. الرسم الذي سننشئه يعرض جزءًا محدودًا من كل خط لتسهل القراءة، لكن المجموعة الرياضية تمتد أفقيًا من دون حد ضمن المجال المحدد.
افحص مواضع مختلفة دون تغيير السؤال
اختر C=(-2,5) ثم C=(5,5) ثم C=(12,5). المساحة في الحالات الثلاث 20 سم²، لأن طول القاعدة والارتفاع ثابتان. تختلف مواضع قدم العمود: إلى اليسار من القطعة، ثم داخلها، ثم إلى يمينها. لا ينبغي أن يغير هذا قانون المساحة الذي تستخدمه. إذا تبدل الحساب عندما انتقلت القدم إلى خارج القطعة، فراجع أنك لم تستبدل العمود بضلع مائل أو بمسافة إلى أقرب طرف.
الاختيار الرابع C=(5,-5) يعطي مثلثًا في الجهة الأخرى من القاعدة ومساحته أيضًا 20 سم². الإشارة السالبة في الإحداثي لا تعني مساحة سالبة؛ ارتفاعنا طول مقداره |−5|=5. عندما نقول مساحة عادية نعني مقدارًا غير سالب، ولا نستخدم هنا مساحة موجهة تعتمد على ترتيب الرؤوس. لذلك يجب ذكر الفرع السفلي ما لم يطلب السؤال صراحة أن يكون الرأس أعلى القاعدة.
تساوي المساحة لا يمنح المثلثات هوية واحدة. حتى قبل قياس الأضلاع نرى أن الرأس عند (-2,5) لا يقع في موضع الرأس عند (5,5). يمكن للمواضع أن تنتج أشكالًا مختلفة تحت البيانات نفسها. هدفنا الحالي تعيين مواضع تحقق المساحة، وليس تصنيف كل المثلثات الناتجة بحسب التطابق أو حساب محيطها. إذا أضاف السؤال شرطًا متعلقًا بالأضلاع، فسنعامله كقيد جديد ونختبر أثره على الخطين.
قيد الرأس داخل مستطيل مغلق
نضيف الآن منطقة مسموحة: المستطيل الذي يحقق -2≤x≤12 و-3≤y≤7. كلمة مغلق تعني أننا نسمح بالحدود، بما فيها أضلاع المستطيل وزواياه. نريد الرأس داخل هذه المنطقة مع بقاء القاعدة والمساحة كما هما. لا نحسب ارتفاعًا جديدًا من طول المستطيل؛ ارتفاع المثلث المطلوب لا يزال 5. وظيفة المنطقة هي تحديد أي جزء من الخطين المحسوبين سابقًا يمكن استعماله.
الخط الأعلى y=5 يقع بين الحدين الرأسيين -3 و7، فيمر داخل المستطيل. الجزء المقبول منه يمتد أفقيًا من x=-2 إلى x=12. إذن الرأس يمكن أن يكون C=(x,5) لكل -2≤x≤12. الطرفان (-2,5) و(12,5) مقبولان لأنهما على حدود منطقة مغلقة، وكل منهما يعطي مساحة20. لا نضيف زاويتي المستطيل (-2,7) و(12,7) إلى الحل لمجرد أنهما داخل المنطقة؛ فارتفاعهما7 لا5.
أما الخط السفلي y=-5 فيقع أسفل حد المنطقة y=-3، لذلك لا توجد منه نقطة داخل المستطيل. مجموعة الحلول المقيدة صارت قطعة واحدة على الخط الأعلى، بعد أن كانت خطين كاملين في المستوى. نرى بذلك الفرق بين قيد المساحة وقيد الموقع: الأول أنشأ الخطين، والثاني أبقى جزءًا من أحدهما. الصورة الثانية تعرض المستطيل والقطعة المقبولة، مع إظهار الخط المستبعد للمقارنة دون اعتباره حلًا داخل المنطقة.
قارن المنطقة المفتوحة بالمغلقة
إذا تغير شرط المنطقة إلى -2<x<12 و-3<y<7 فإن أضلاع المستطيل نفسها غير مسموحة. ما زال العدد5 بين -3 و7، لذلك يبقى خط الرأس الأعلى صالحًا داخل المنطقة. لكن الشرط الأفقي يستبعد x=-2 وx=12. تصبح الحلول C=(x,5) لكل -2<x<12؛ أي قطعة من دون طرفيها. المساحة عند الطرفين لم تتغير، وإنما تغير قبول موقع الرأس بسبب تعديل مستقل في حدود السؤال.
جرب نقطة قريبة من الطرف الأيسر مثل C=(-1.9,5). هي مقبولة في المنطقة المفتوحة وتعطي المساحة20. أما C=(-2,5) فتُرفض رغم المساحة الصحيحة لأنها تقع على الحد. ليس علينا تقريب -1.9 إلى -2 عند الحكم على الموقع؛ نستخدم الإحداثيات الدقيقة المعطاة. وجود حلول قريبة من حد مستبعد لا يجعل الحد نفسه مقبولًا. لهذا نكتب علامات المتباينة كما وردت، ولا نستبدل أصغر من بأصغر من أو يساوي.
يمكن أن يكون بعض الحدود مغلقًا وبعضها مفتوحًا. إذا كان الشرط -2≤x<12 فإن الطرف الأيسر يدخل والأيمن يخرج. وإذا صار الحد الأعلى الرأسي y≤5 يدخل خطنا y=5، بينما شرط y<5 يستبعده كاملًا. تغيير علامة واحدة قد يزيل قطعة الحل كلها بدل إزالة طرف فقط. افحص شرط الإحداثي الرأسي أولًا، ثم شرط الأفقي؛ هذا ترتيب مقترح للحساب يوضح لماذا يبقى الخط أو يُلغى.
افحص الجهة وموضع قدم العمود
يمكن للسؤال أن يقول إن الرأس أعلى القاعدة من دون ذكر مستطيل. عندئذ يعني القيد y>0 في مثالنا، فيبقى الخط y=5 ويُلغى y=-5. لا يتقيد x من هذا الشرط، فتظل الحلول خطًا كاملًا أعلى القاعدة. وإذا قال إن الرأس أسفلها فنبقي الخط السفلي وحده. لا نستنتج من صورة تعرض الجزء العلوي فقط أن السؤال الأصلي استبعد الجزء السفلي؛ ينبغي التصريح بالجهة المطلوبة.
إذا اشترط السؤال أن تقع قدم الارتفاع على قطعة AB، فإن قدم رأس C=(x,5) أو(x,-5) هي (x,0)، ويكون الشرط 1≤x≤9. نحصل على قطعتين متوازيتين، واحدة فوق القاعدة وأخرى تحتها، كل منهما بطول8. وإذا جمعت هذا الشرط مع شرط أعلى القاعدة تبقى القطعة العليا وحدها. وإذا طلب القدم في داخل القطعة دون الطرفين فإننا نكتب 1<x<9 ونستبعد النهايتين.
عند الجمع مع مستطيلنا المغلق نقاطع المجالات المسموحة، ولا نجمع أطوالها. المجال الأفقي للمستطيل [-2,12] وشرط القدم [1,9] يجتمعان في [1,9]. والخط السفلي كان مستبعدًا من المستطيل أصلًا. إذن الحل النهائي C=(x,5) لكل 1≤x≤9. لو كان هناك قيد آخر 2≤x≤8 لتقلص المجال إلى [2,8]. كل قيد يُختبر مع بقية الشروط؛ المرور في أحدها وحده لا يكفي.
ميز المساحة الصفرية من المثلث الحقيقي
لو طلبنا مساحة صفر مع القاعدة نفسها لوجدنا h=0، فتكون كل المواضع C=(x,0) على مستقيم القاعدة. لم يعد هناك خطان متميزان؛ كلا الجانبين عند بعد صفر يجتمعان في مستقيم واحد. لكن ثلاث نقاط على مستقيم لا تشكل مثلثًا غير منعدم. إذا كان السؤال يشترط مثلثًا ذا مساحة موجبة فليس للصفر حل، حتى لو اخترنا C مختلفة عن الطرفين. اختلاف أسماء النقاط لا يمنع وقوعها على استقامة واحدة.
إذا سمحت المسألة صراحة بثلاثة رؤوس منعدمة فيمكن دراسة y=0 كمجموعة تحقق مقدار مساحة صفر. وعند طلب ثلاث نقاط مختلفة يجب استبعاد C=A وC=B، أي الموضعين x=1 وx=9. تظل بقية النقاط على الخط منعدمة كذلك. اذكر أي معنى تستخدمه بدل تقديم خط الصفر بوصفه عائلة من المثلثات العادية. شروط اختلاف الرؤوس وعدم الاستقامة ليست الشرط نفسه، ولا يغني أحدهما عن الآخر.
المساحة العادية السالبة، مثل -20 سم²، لا تُقبل في هذا الدرس. وضع الرأس تحت القاعدة يعطي مساحة20 موجبة، ولا يصلح لتحقيق -20. هناك مفهوم مختلف للمساحة الموجهة، لكنه يحتاج ترتيبًا للرؤوس واتفاقًا على الإشارة، ولم نعتمده هنا. لذلك لا تحول الجواب المستحيل إلى الخط السفلي بمجرد رؤية إشارة سالبة. ابدأ بمعنى الكمية المطلوب حسابها، ثم طبق القانون الذي يتفق معه.
غير المساحة واحتفظ بالقاعدة
للقاعدة ذات الطول8 نكتب علاقة الارتفاع بالمساحة الموجبة A: h=A/4. مساحة4 تعطي ارتفاع1 وخطين y=1 وy=-1. مساحة12 تعطي ارتفاع3، ومساحة28 تعطي ارتفاع7. هذه أمثلة مستقلة لتعديل المساحة المطلوبة، وليست تحريكًا للرأس داخل عائلة المساحة20. في كل حالة يظل x حرًا ما لم يظهر قيد جديد، لكن الإحداثي الرأسي ينتقل إلى مستوى مختلف على جانبي القاعدة.
قارن النتائج داخل المستطيل المغلق نفسه. عند مساحة12 يكون الخطان y=3 وy=-3 مقبولين رأسيًا، والثاني على الحد السفلي. المجال الأفقي في كليهما [-2,12]. عند مساحة28 يدخل y=7 على الحد الأعلى، لكن y=-7 يقع خارج المنطقة. وعند مساحة32 يكون الارتفاع8، فلا يدخل أي من الخطين؛ تصبح مجموعة الحلول فارغة داخل المستطيل رغم وجود حلول في المستوى كله. المنطقة لا تغير القانون، بل قد تمنع تحقيقه تحت حدودها.
إذا جعلنا المستطيل مفتوحًا فإن مساحة12 تفقد الخط y=-3 على الحد، ومساحة28 تفقد الخط y=7 أيضًا. هذه المقارنة تفسر لماذا لا يكفي النظر إلى رسم تظهر فيه الخطوط ملاصقة للحواف. مساحة20 في مثالنا لا تلامس الحد الرأسي، بينما مساحتا12 و28 تفعلان ذلك. احتفظ بقيمة المساحة ونوع الحدود معًا في سجل الحل، لكي يعرف القارئ أي تعديل غيّر مجموعة الرؤوس.
وحد الأبعاد قبل استرجاع الارتفاع
إذا كانت القاعدة8 سم والمساحة2000 مم² فلا تقسم2000 على8 مباشرة ثم تسمي الناتج ارتفاعًا بالسنتيمتر. المربع ذو ضلع1 سم له ضلع10 مم، فتبلغ مساحته100 مم². لذلك2000 مم² تساوي20 سم²، ويعود الارتفاع5 سم. ويمكن توحيد القياس بالمليمتر بدل ذلك: القاعدة80 مم، والارتفاع2×2000/80=50 مم، أي5 سم. الطريقتان تصفان المواضع نفسها عندما تتحول كل الإحداثيات بصورة متسقة.
عند كتابة إحداثيات بالرسم تحدد وحدة المحورين معًا. النقطة (5,5) بالسنتيمتر تقابل (50,50) بالمليمتر، والقاعدة من(1,0) إلى(9,0) تقابل(10,0) إلى(90,0). تغيير وحدة المساحة فقط وترك أطوال المحاور بلا توضيح قد يجعل الصورة تبدو أنها تعطي ارتفاعًا آخر. الصورة التعليمية ليست قياسًا بالمليمتر على شاشة الهاتف؛ التكبير والتصغير يغيران حجمها المعروض، أما القيم العددية على المحاور فتبقى تعريفنا للمثال.
كذلك لا تخلط بين طول القاعدة والفرق المطلق بين إحداثيين غير تابعين لها. القاعدة في مثالنا أفقية، لذلك طولها9−1=8. عندما ننقل القاعدة رأسيًا ولا نغير الفرق الأفقي يبقى طولها8. أما إذا أصبحت مائلة فلن يكفي الفرق الأفقي وحده لتحديد طولها، وسيتغير وصف الخطين في الإحداثيات. لا نطبق الصيغة y=±5 على قاعدة مائلة؛ هذه الصيغة تخص مستقيم القاعدة الأفقي y=0 الذي بدأنا به.
تدرب على قاعدة أفقية مرتفعة
نختار تمرينًا جديدًا بنقطتين D=(2,1) وE=(8,1)، بوحدة السنتيمتر، ومساحة مطلوبة12 سم². طول القاعدة6، والارتفاع2×12/6=4. مستقيم القاعدة هنا y=1، لذلك نقطتا المستوى الرأسي الممكن هما y=1+4=5 وy=1−4=-3. لا نكتب y=4 وy=-4، لأن البعد المطلوب يُقاس عن القاعدة المرتفعة لا عن محور السينات. الحل في المستوى هو C=(x,5) أوC=(x,-3).
قيد الرأس بمستطيل مغلق يحقق0≤x≤10 و-2≤y≤6. يدخل الخط y=5، ويخرج y=-3، فتكون الحلول C=(x,5) لكل0≤x≤10. وإذا أضفت شرط قدم الارتفاع على قطعة DE أصبح المجال2≤x≤8. جرّب C=(4,5): قدمها(4,1)، والارتفاع4، والمساحة6×4/2=12. وجرّب C=(4,-3): مساحتها صحيحة في المستوى، لكنها خارج مستطيل هذا التمرين.
إذا طلبنا مساحة15 مع القاعدة نفسها ارتفع h إلى5، والخطان هما y=6 وy=-4. يدخل الخط الأعلى في المستطيل المغلق لأنه على الحد، وتستبعده المنطقة ذات الشرط y<6. هذا تمرين على أمرين منفصلين: نقل مرجع الارتفاع من الصفر إلى1، وقراءة حد المنطقة. راجع الطول6 والارتفاع5 والوحدة المربعة قبل تفسير الرسم؛ موضع الأصل على المحور لا يبدل قانون المساحة.
راجع اكتمال مجموعة الرؤوس
اكتب في نهاية الحل طرفي القاعدة وطولها ووحدتها، والمساحة المطلوبة، ثم قيمة الارتفاع المستخرجة. حدد مستقيم القاعدة نفسه قبل وصف الخطين، وأعلن أن المساحة عادية غير موجهة. بعد ذلك اختبر شروط المنطقة أو الجهة أو قدم العمود. بهذه الخطوات يعرف القارئ هل الجواب خطان كاملان، أو خط واحد، أو قطعة أو قطعتان، أو مجموعة فارغة. عدد الرسوم التي عرضتها لا يساوي عدد الحلول.
راجع نقطة داخل كل جزء مقبول ونقطة على كل حد مهم. مثالنا الرئيسي يقبل(5,5) و(-2,5) في المستطيل المغلق، ويرفض(5,-5) بسبب الموقع لا المساحة. المنطقة المفتوحة ترفض(-2,5) بسبب الحد، بينما مساحة صفر لا تنتج مثلثًا غير منعدم. اذكر سبب كل رفض بدل وضع جميع الحالات تحت عبارة واحدة مثل «الرأس خطأ». اختلاف السبب يوضح أي معطى يحتاج إلى تغيير حتى تصبح النقطة صالحة.
التحقق بأمثلة عددية يساعد على كشف خطأ في الحساب أو الإشارة، لكنه لا يحل محل البرهان على المجموعة كاملة. نحتاج اتجاه قبول جميع نقاط الخطين واتجاه استبعاد النقاط الأخرى، ثم تقاطع هذه المجموعة مع القيود. جميع الإحداثيات والرسوم هنا مؤلفة للتدريب؛ لم نجمع قياسات صفية أو نشغل النشاط على جهاز. ما أنجزناه هو حل حسابي وهندسي محدد يمكن إعادة فحصه من البيانات المعلنة.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.