المنحنى النجمي أسترويد: غلاف القطعة المنزلقة أم مسار منتصفها؟

الخلاصة السريعة

أسترويد هو مسار نقطة التماس المتغيرة مع المستقيم المنزلق، وليس مسار منتصف القطعة. في مثال طولها10، تكون نقطة التماس P=(128/25,54/25)، بينما المنتصف W=(4,3) على دائرة نصف قطرها5.

• نضع A=(10cosθ,0) وB=(0,10sinθ)، فيبقى AB=10. غلاف المستقيمات هو المنحنى الذي تمسه الأوضاع المنتظمة. [2] حصر الطرفين في نصفي المحورين الموجبين يرسم ربع الغلاف فقط.
• للمستقيم F=x/cosθ+y/sinθ−10=0، نحل معه ∂F/∂θ=0 مع sinθcosθ≠0؛ نحصل على x=10cos³θ وy=10sin³θ. المماس ميله−tanθ، ومعادلته xsinθ+ycosθ=10sinθcosθ.
• عند cosθ=4/5 وsinθ=3/5، تكون A=(8,0) وB=(0,6)، وP=(128/25,54/25). المماس3x+4y=24، وميله−3/4، وطوله بين المحورين10؛ AP=18/5 وBP=32/5.
• منتصف القطعة W=(4,3) يقع على المماس نفسه، لكنه لا يقع على أسترويد. مساره x²+y²=25. في الفحص G=(x²+y²−100)³+2700x²y² يعطي G(W)=−33075 بدل صفر.
• نقطة التماس تقسم القطعة بنسبة متغيرة: AP/AB=sin²θ وBP/AB=cos²θ. في المثال النسب9/25 و16/25؛ عند θ=π/4 فقط تكون نقطة التماس هي المنتصف في الربع الأول.
• للمنحنى أربعة رؤوس عند (±10,0) و(0,±10). هناك تنعدم مشتقتا الإحداثيين ويطابق المماس أحد المحورين، فلا توجد نقطتا تقاطع عاديتان محددتان. نفهم طول10 بالقطعة الحدية؛ الصور نماذج محسوبة.

الغلاف يتبع التماس لا قلمًا مثبتًا

نبدأ بمحورين متعامدين يلتقيان عند O=(0,0). طرف القطعة A على المحور الأفقي، وطرفها B على الرأسي. طول القطعة10 وحدات، ويتغير اتجاهها مع بقاء طولها ثابتًا.

في الربع الأول نكتب A=(10cosθ,0) وB=(0,10sinθ)، حيث0＜θ＜π/2. مربع البعد بينهما100cos²θ+100sin²θ=100، لذلك AB=10. المعامل θ يحدد الوضع، وليس إحداثيًا على المسار.

عندما تتحرك القطعة، تتحرك معها مجموعة من المستقيمات الحاملة لها. أسترويد هو غلاف هذه المستقيمات: منحنى يمسه كل وضع منتظم عند نقطة تخص ذلك الوضع. [2] نسمي نقطة التماس P.

لو ثبتنا قلمًا في منتصف القطعة، لتتبعنا موضع نقطة محددة عليها. أما في الغلاف فلا نفرض أن AP ثابتة؛ نحسب نقطة التماس لكل وضع، ثم نجد مجموعة تلك النقاط. قد تنتمي نقطتان إلى القطعة نفسها ويكون مسارهما مختلفًا.

السماح للطرفين بالحركة على الجهتين الموجبة والسالبة يغطي أوضاع الأرباع الأربعة. إذا اقتصرنا على جهتين موجبتين، فلا نستنتج منحنى كاملًا من حركة ربع واحد. الصور اللاحقة تحدد نطاق الحركة المعروض.

هذا نموذج هندسي لمستقيمات ونقاط دون سمك. لا نصف حركة سلم حقيقي أو باب فعلي، ولا نفترض أن آلة مادية تستطيع المرور بجميع الأوضاع دون اصطدام.

استخرج نقطة الغلاف من شرطين

للوضع المنتظم، معادلة مستقيم AB هي x/cosθ+y/sinθ=10. قسمنا على جيب وجيب تمام غير صفريين؛ لذلك نعالج أوضاع المحورين لاحقًا بالحدود.

لنكتب F=x/cosθ+y/sinθ−10. نبحث عن الغلاف بحل F=0 ومعه ∂F/∂θ=0، حيث نثبت x وy أثناء الاشتقاق بالنسبة إلى θ. هذا هو شرط الغلاف للمجموعة المرجعية. [1]

المشتقة هي ∂F/∂θ=xsinθ/cos²θ−ycosθ/sin²θ. مساواتها صفرًا تعطي xsin³θ=ycos³θ. إذن x=λcos³θ وy=λsin³θ لعدد λ في هذا الوضع المنتظم.

بالتعويض في معادلة المستقيم نحصل على λcos²θ+λsin²θ=10، فتكون λ=10. لذلك P=(10cos³θ,10sin³θ)، وهي الصيغة البارامترية لأسترويد في المراجع. [1][2]

نراجع التماس بالاشتقاق: dx/dθ=−30cos²θsinθ وdy/dθ=30sin²θcosθ. النسبة dy/dx=−tanθ عندما sinθcosθ≠0. معادلة الخط xsinθ+ycosθ=10sinθcosθ تمر بـP ولها هذا الميل.

ومن الإحداثيين نجد |x/10|^(2/3)+|y/10|^(2/3)=1. المقصود أخذ الجذر التكعيبي الحقيقي ثم تربيعه؛ ولهذا تظهر cos²θ وsin²θ حتى في الأرباع ذات الإحداثيات السالبة. لا نعامل الأس الكسري بوصفه قسمة للإحداثي على3.

موضع بأطوال وكسور دقيقة

نختار cosθ=4/5 وsinθ=3/5. ينتج A=(8,0) وB=(0,6)، وطول القطعة√(8²+6²)=10. نقطة التماس P=(128/25,54/25)، لأننا نكعب النسبتين قبل ضربهما في10.

معادلة المماس تصبح3x+4y=24. عند P يكون الطرف الأيسر384/25+216/25=24. وعند A يعطي24، وعند B يعطي24 كذلك؛ النقاط الثلاث على المستقيم نفسه.

الفرق من A إلى P هو(−72/25,54/25). مربع طوله8100/625=324/25، فيكون AP=18/5. ومن B إلى P يكون الفرق(128/25,−96/25)، ومربع طوله25600/625=1024/25، فيكون BP=32/5.

المجموع18/5+32/5=10 يطابق طول القطعة، والنقطتان A وB تحيطان بـP في هذا الوضع. ليست المسافتان متساويتين؛ نقطة التماس ليست المنتصف.

ميل AB هو−6/8=−3/4. الصيغة−tanθ تعطي−3/4 أيضًا، لأن tanθ=(3/5)/(4/5). الاتفاق في المرور والميل والمسافتين يفحص نقطة التماس، لا مجرد شكل الرسم.

الجدول يضع P والمنتصف W مع الطرفين والأصل. يحتوي الرسم الرئيسي المنحنى الكامل الأزرق ووضعًا واحدًا للقطعة في الربع الأول؛ النقطة الحمراء W تقع على القطعة دون أن تكون نقطة من الغلاف.

منتصف القطعة دائرة وليس الغلاف

المنتصف W=(A+B)/2=(5cosθ,5sinθ). لذلك يحقق x²+y²=25؛ مساره دائرة نصف قطرها5 عندما يسمح النموذج بدورة كاملة. في أوضاع الربع الأول، يتتبع ربع هذه الدائرة.

في وضع المثال يكون W=(4,3). تعويضه في3x+4y=24 يعطي24؛ إذن يقع على مستقيم AB مثل P. لكن المرور بالمستقيم لا يحدد نقطة التماس ولا يجعل جميع نقاطه نقاطًا على الغلاف.

لنستخدم فحصًا جبريًا دقيقًا للتمييز. كل نقطة بارامترية من أسترويد تحقق G=(x²+y²−100)³+2700x²y²=0. السبب أن x²+y²−100=−300cos²θsin²θ، فتتلاشى الحدود بعد التعويض.

عند W=(4,3)، لدينا x²+y²=25. لذلك G(W)=(25−100)³+2700×16×9=−33075، وهي ليست صفرًا. هذا الشرط اللازم يرفض المنتصف في المثال؛ لا نزعم هنا إثبات أن كل صفر للمعادلة يعود إلى الغلاف.

المقارنة الصحيحة تفصل مسار نقطة مثبتة عن غلاف المستقيمات. إذا رسمنا نقاط المنتصف بعدة أوضاع، حصلنا على دائرة. وإذا رسمنا نقاط التماس المحسوبة لتلك الأوضاع، حصلنا على ربع أسترويد؛ ثبات طول القطعة وحده لا يجعل المسارين متطابقين.

نسبة تقسيم القطعة تتغير مع وضعها

نستطيع كتابة نقطة التماس P=cos²θA+sin²θB. العاملان موجبان في الربع الأول ومجموعهما1، فيؤكدان أن P بين الطرفين. الإحداثي الأفقي10cos³θ يأتي من A، والرأسي10sin³θ يأتي من B.

الانتقال من A إلى P يمثل نسبة sin²θ من القطعة، لذا AP/AB=sin²θ. وبالمثل BP/AB=cos²θ. تتغير النسبتان عندما يتغير θ، رغم بقاء AB=10.

في المثال النسبتان9/25 و16/25. المسافتان هما10×9/25=18/5 و10×16/25=32/5. لا يمكن تثبيت قلم على بعد18/5 من A، ثم توقع أن يتتبع كل نقاط الغلاف في الأوضاع التالية.

عند θ=π/4 تتساوى sin²θ وcos²θ عند1/2، فتكون P هي المنتصف. في الربع الأول يحدث ذلك في وضع واحد: A=(5√2,0) وB=(0,5√2)، وP=W=(5/√2,5/√2).

هذا الاتفاق الخاص لا يساوي بين المسارين. الدائرة والربع النجمي يشتركان في تلك النقطة، بينما يفترقان في المثال السابق. فحص وضع متناظر وحده قد يخفي الفرق بين تثبيت النسبة وحساب التماس.

في الرسم الداخلي نعرض عدة قطع رمادية بطول10، وربع الغلاف بالأزرق، وربع دائرة المنتصف بالأحمر. هذه خطوط قليلة من المجموعة المستمرة؛ دقة الغلاف تأتي من الاشتقاق، لا من عدد الخطوط المرسومة.

الرؤوس المدببة استثناء لصيغة التقاطعين

إكمال θ من0 إلى2π يعطي أربعة رؤوس: (10,0) و(0,10) و(−10,0) و(0,−10). الإحداثيان محدودان بين−10 و10، والمنحنى متناظر حول المحورين. الأصل ليس نقطة على المسار؛ معادلته الكسرية تعطي عنده0 بدل1.

عند θ=0 تنعدم مشتقتا الإحداثيين، فلا نقرأ ميلًا من0/0. قرب الرأس (10,0)، يميل المماس إلى y=0 من الفرعين المجاورين. الرأس صالح ضمن الصيغة البارامترية، ولا يحتاج إلى حذف.

لكن المماس y=0 هو المحور الأفقي نفسه. تقاطعه مع هذا المحور ليس نقطة واحدة محددة، ولذلك لا يصح تطبيق عبارة نقطتي تقاطع عاديتين كما فعلنا في الوضع المنتظم. عند الرأس العلوي يطابق المماس x=0 المحور الرأسي.

من أوضاع الربع الأول عندما θ→0، تقترب A من(10,0) وB من O. القطعة الحدية بينهما طولها10. وعندما θ→π/2، تقترب A من O وB من(0,10)، ويبقى طول القطعة الحدية10 أيضًا.

إذن شرط sinθcosθ≠0 لازم لاستخدام معادلة التقاطعين التي تحتوي قسمة. الرؤوس تُضاف بالصيغة البارامترية والحدود، ويُفهم طول القطعة عندها بالحد؛ لا نختلق نقطتي تقاطع وحيدتين لمستقيم يطابق محورًا.

الرسم الرئيسي يعرض الرؤوس الأربعة، أما الداخلي فيعرض الربع الأول فقط. المقياس واحد أفقيًا ورأسيًا في كل صورة، والأطوال بوحدة واحدة. هذه مخططات محسوبة، وليست تسجيلًا لآلة أو قياسًا لدقتها.