طريقة الضرب بالشبكة: تقسيم العددين وجمع النواتج الجزئية

ما معنى الشبكة في عملية الضرب؟

تعرض مواد جامعة كامبريدج المصفوفة بوصفها ترتيبًا لعناصر في صفوف وأعمدة منتظمة، ثم تنتقل إلى تقسيمها وإلى تمثيل أكثر تجريدًا بالشبكة. الفكرة أن أجزاء الترتيب تنتمي إلى كل واحد؛ لذلك يمكن حساب الأجزاء ثم جمعها. لا يشترط في جدول الحساب رسم نقطة مقابل كل وحدة، فالخانات المكتوبة تختصر التمثيل وتسمح بالعمل على أعداد أكبر. [٢]

تخيل مستطيلًا ورقيًا تقسمه بخط رأسي وخط أفقي. تنشأ أربعة أجزاء تملأ المستطيل دون تداخل. هذا التصور يساعد على فهم سبب ظهور أربع خانات عند تقسيم كل عامل إلى جزأين. لكن جدول الحساب ليس رسمًا بمقياس هندسي: قد ترسم خانتين متساويتين على الورق مع أن العدد المكتوب في إحداهما أكبر بكثير من الآخر. اقرأ القيم، ولا تستنتج الناتج من مساحة الحبر أو عرض الخانة.

سنعمل على أعداد صحيحة غير سالبة، ونكتب علامة الضرب في رأس الجدول لتمييز عناوين الصفوف والأعمدة من النواتج. وخلال القراءة استخدم جملة كاملة مثل: هذه الخانة تعني ثلاثين مضروبة في أربعين. إن عجزت عن تسمية العاملين، فارجع إلى عنوان الصف وعنوان العمود قبل إضافة أي عدد جديد إلى الورقة.

كيف تقسّم العددين وتضع العناوين؟

يوضح المركز الوطني للتميز في تدريس الرياضيات أن التجزئة بحسب القيمة المكانية تسمح بضرب الأجزاء وجمع النواتج الجزئية. فالعدد ذو المنزلتين يمكن فصله إلى عشرات وآحاد، والعدد ذو الثلاث إلى مئات وعشرات وآحاد. المهم المحافظة على قيمة العدد عند تقسيمه؛ ليست العملية مجرد فصل الأرقام المكتوبة بعضها عن بعض. [١]

لنحسب اثنين وأربعين مضروبة في ستة وثلاثين. العدد الأول يساوي أربعين زائد اثنين، والثاني يساوي ثلاثين زائد ستة. ضع أربعين واثنين أعلى عمودي الشبكة، وثلاثين وستة بجانب صفيها. لديك الآن أربعة تقاطعات داخلية، أما الأعداد على الأطراف فهي عناوين تحدد ما ستضربه. لا تضف هذه العناوين مرة أخرى إلى المجموع النهائي؛ دورها مختلف عن دور الأعداد داخل الخانات.

قبل الحساب، اجمع عناوين كل اتجاه وحدها. أربعون واثنان تعيدان العدد الأول، وثلاثون وستة تعيدان الثاني. لو كتبت أربعة واثنين بدل أربعين واثنين، لصار مجموع العنوانين ستة، ولأصبحت تحل عملية أخرى. هذا فحص مبكر بسيط يحدد الخطأ قبل أن تملأ جدولًا كاملًا بنتائج صحيحة لمدخلات غير صحيحة. ويمكنك تبديل موضعي العددين على الأطراف، بشرط نقل العناوين كاملة والمحافظة على معاني التقاطعات.

كيف تملأ الخانات وتجمع النتائج؟

نبدأ بصف الثلاثين: ثلاثون في أربعين تساوي ألفًا ومئتين، وثلاثون في اثنين تساوي ستين. ثم ننتقل إلى صف الستة: ستة في أربعين تساوي مئتين وأربعين، وستة في اثنين تساوي اثني عشر. اكتب كل ناتج في موضعه قبل الانتقال إلى التالي. لا توجد خانة زائدة؛ كل واحدة تمثل اقتران جزء من العدد الأول بجزء من العدد الثاني.

اجمع الصف الأول فتحصل على ألف ومئتين وستين، واجمع الصف الثاني فتحصل على مئتين واثنين وخمسين. مجموع الصفين ألف وخمسمئة واثنا عشر. تستطيع أيضًا الجمع عموديًا: ألف ومئتان مع مئتين وأربعين تعطي ألفًا وأربعمئة وأربعين، وستون مع اثني عشر تعطي اثنين وسبعين. جمع هذين المجموعين يعطي النتيجة نفسها؛ فقد غيّرت ترتيب الجمع، ولم تغيّر الخانات الداخلة فيه.

ولفهم الجواب في موقف عددي مؤلف، افترض وجود ست وثلاثين علبة، في كل واحدة اثنتان وأربعون بطاقة. تستطيع فصل العلب إلى ثلاثين وست، ثم عد البطاقات في كل مجموعة. مجموعة الثلاثين تحتوي على ألف ومئتين وستين بطاقة، ومجموعة الست تحتوي على مئتين واثنتين وخمسين بطاقة. هذه قراءة لمجموعي الصفين؛ ليست هناك مجموعة خامسة تختبئ خارج الشبكة، ولا يجوز عد أي جزء مرتين عند ضم النتائج.

كيف تكتشف الخانة الناقصة أو القيمة الخطأ؟

افترض أن متعلمًا جمع ألفًا ومئتين مع اثني عشر فقط، وكتب ألفًا ومئتين واثني عشر. ضرب العشرات بعضها في بعض، ثم ضرب الآحاد بعضها في بعض، لكنه أهمل خانتي الستين والمئتين والأربعين. مجموع الجزأين المهملين ثلاثمئة؛ ولذلك تقل إجابته عن الناتج الصحيح بثلاثمئة بالضبط. لا تصلح المشكلة بإضافة أصفار عشوائية، بل أعد الخانتين اللتين لم تدخلَا في الجمع.

وفي خطأ مختلف، قد تكون الخانات الأربع صحيحة، لكن المتعلم يكتب مجموع الصف الثاني اثنين وأربعين بدل مئتين واثنين وخمسين. هنا لم تفشل التجزئة؛ موضع الخطأ هو جمع مئتين وأربعين واثني عشر. ابدأ بالمئات: توجد مئتان لا ينبغي أن تختفيا، ثم اجمع الأربعين والاثني عشر لتجد اثنين وخمسين. تحديد مرحلة الخطأ يمنع إعادة أجزاء سليمة من الحل دون حاجة.

أما إذا حذف الصف الثاني كله، فسيبقى ألف ومئتان وستون، وهو ناتج ضرب اثنين وأربعين في ثلاثين فقط. الفارق عن جواب المسألة مئتان واثنان وخمسون، أي مقدار الست علب المتبقية في المثال السابق. تستطيع بهذه المقارنة إعطاء الخطأ معنى: أي مجموعة لم تُحسب؟ وهذا أكثر تفسيرًا من كتابة «الإجابة خطأ» دون الإشارة إلى المجموعة أو الخانة الغائبة.

ويمكن حصر جواب المثال بين ضرب اثنين وأربعين في ثلاثين وضربه في أربعين؛ أي بين ألف ومئتين وستين وألف وستمئة وثمانين. ناتجنا يقع بينهما، لكن وجود عدد داخل هذا المجال لا يثبت صحته وحده. الحصر يكشف بعض الأخطاء الكبيرة، أما إثبات الجواب هنا فيأتي من الخانات والجمع الصحيحين.

ماذا تفعل عندما يحتوي العدد على صفر؟

جرّب مئتين وستة مضروبة في أربعة وعشرين. العدد الأول مئتان زائد صفر عشرات زائد ستة، والثاني عشرون زائد أربعة. إذا أبقيت المنازل الثلاث في العناوين، فستحصل على ثلاثة أعمدة وصفين، أي ست خانات. في صف العشرين تظهر أربعة آلاف، ثم صفر، ثم مئة وعشرون. وفي صف الأربعة تظهر ثمانمئة، ثم صفر، ثم أربعة وعشرون.

مجموع الصف الأول أربعة آلاف ومئة وعشرون، ومجموع الثاني ثمانمئة وأربعة وعشرون؛ فيكون الجواب أربعة آلاف وتسعمئة وأربعة وأربعين. ويمكن حذف عمود العشرات الصفري اختصارًا لأن ناتجيه صفر، لكن يظل عنوان المئات مئتين. حذف العمود لا يحوّل العدد إلى ستة وعشرين؛ الذي حُذف هو حد قيمته صفر، لا منزلة تغيّر قيمة بقية الأرقام.

للمراجعة، قارِن هذه العملية بستة وعشرين مضروبة في أربعة وعشرين. نواتجها أربعمئة، ومئة وعشرون، وثمانون، وأربعة وعشرون؛ ومجموعها ستمئة وأربعة وعشرون. الفرق الكبير بين الجوابين ليس مشكلة في الشبكة، بل نتيجة تغيير مئتين إلى عشرين. لذلك اكتب القيم الكاملة في العناوين أثناء التعلم، ولا تكتفِ بأسماء المنازل إذا كان ذلك يجعلك تنقل الرقم دون قيمته.

ما علاقتها بالضرب العمودي؟

يعرض نشاط جامعة كامبريدج طرقًا متعددة للضرب، ويسأل عن العلاقة بين النواتج في الشبكة والطريقة العمودية. كما يميز شبكة التجزئة من طريقة أخرى تُقسم فيها الخانات بخطوط قطرية. المقصود في هذا المقال شبكة النواتج الجزئية المكتوبة بقيمها الكاملة؛ فلا تخلط قواعد جمعها بتعليمات تخطيط مختلف لمجرد أن كليهما يتضمن مربعات. [٣]

في مثالنا الأول، يمكن بدء الضرب العمودي بستة في اثنين وأربعين، فنحصل على مئتين واثنين وخمسين. السطر الآخر يخص ثلاثين في اثنين وأربعين، وناتجه ألف ومئتان وستون. هذان هما مجموعا صفي الشبكة، وإن اختلف ترتيب كتابتهما. ولو حسبت ثلاثة في اثنين وأربعين فستجد مئة وستة وعشرين، لكن الثلاثة هنا تمثل ثلاث عشرات؛ لذا يلزم الاحتفاظ بقيمة الثلاثين في السطر المقصود.

الشبكة تكشف الأجزاء الصغيرة التي يمكن اختصارها لاحقًا. لا تحتاج إلى نسخ الجدول والضرب العمودي في كل مسألة إلى الأبد؛ استخدم المقارنة عندما تريد تفسير سطر أو مراجعة انتقال بين المنازل. وعندما تقرأ حلًا مكتوبًا بطريقة مختلفة، ابحث عن ناتج الستة وناتج الثلاثين قبل الحكم بأنه يخالف حلك. اتفاق المظهر ليس المطلوب؛ المهم أن تمثل السطور المقادير نفسها.

تمارين قصيرة مع تفسير الحل

التمرين الأول: احسب سبعة وعشرين في ثمانية وأربعين. جزّئ الأول إلى عشرين وسبعة، والثاني إلى أربعين وثمانية. النواتج الأربعة هي ثمانمئة، ومئتان وثمانون، ومئة وستون، وستة وخمسون. جمعها يعطي ألفًا ومئتين وستة وتسعين. إذا حصلت على جواب آخر، راجع أولًا وجود الخانات الأربع، ثم عمليات الضرب، ثم الجمع؛ فهذه مراحل مختلفة يمكنك فحصها واحدة بعد أخرى.

التمرين الثاني: في شبكة عنوانا عموديها خمسون وأربعة، يوجد صف ناقص العنوان، وناتجاه ثلاثمئة وخمسون وثمانية وعشرون. ما عنوانه؟ سبعة في خمسين تساوي ثلاثمئة وخمسين، وسبعة في أربعة تساوي ثمانية وعشرين، إذن العنوان سبعة. التحقق من الخانتين معًا مهم: لو كانت الثانية اثنين وثلاثين، فلن يعود العنوان نفسه متوافقًا مع القيمتين، حتى لو بدا الحل الأول مقنعًا.

أضف إلى الشبكة السابقة صفًا عنوانه عشرون، فتكون خانتاه ألفًا وثمانين. أصبح مجموع العناوين الجانبية سبعة وعشرين، ومجموع العناوين العلوية أربعة وخمسين. النتيجة ألف وأربعمئة وثمانية وخمسون. حاول الآن وصف العملية من دون النظر إلى الأرقام الداخلية، ثم أعد بناءها. إذا استطعت تفسير كل ناتج وموضعه، فقد تجاوزت ملء المربعات إلى فهم الحساب الذي تنظمه.