التمثيل بالنقاط: رسم البيانات وقراءتها بمثال محلول

ما معنى موضع النقطة وارتفاع العمود؟

يعرض درس إليستريتيف ماثماتيكس التمثيل بالنقاط على خط أعداد أفقي، بحيث يعبّر عدد النقاط فوق القيمة عن تكرارها. فالمكان على المحور والعد الرأسي يؤديان وظيفتين مختلفتين. نتناول هنا الرسم الذي يمثل متغيرًا عدديًا واحدًا، ولا نتناول مخطط التشتت الذي يربط متغيرين. كما أن المحور العددي له ترتيب ومسافات ذات معنى؛ فلا تنقل قيمة إلى مكان آخر لمجرد الرغبة في وضع العمود الأطول في بداية الرسم. [١]

في مثالنا المتغير هو عدد الشتلات في الصينية الواحدة، والمشاهدة هي صينية. لذلك تعني نقطة فوق العدد أربعة أن صينية واحدة تحتوي أربع شتلات. وإذا وجدت ثلاث نقاط فوقه، فالمعنى ثلاث صوانٍ تحتوي كل منها أربع شتلات. لا تعني هذه المجموعة أربع صوانٍ فيها ثلاث شتلات، حتى لو أعطى الضرب المجموع نفسه. وعند سؤال «كم صينية؟» نعد النقاط، أما سؤال «كم شتلة؟» فيتطلب جمع محتويات الصواني. كتابة هاتين الوحدتين قرب ورقة الحل تمنع تبديل معنى الرقم أثناء الحساب، خاصة عندما يتكرر العدد نفسه مرة بوصفه قيمة ومرة بوصفه تكرارًا.

كيف ترسم بيانات الصواني خطوة بخطوة؟

جميع البيانات التالية مؤلفة للتعليم، ولا تصف تجربة زراعية فعلية. لدينا ست عشرة صينية، وأعداد الشتلات المسجلة لها بالترتيب هي: ثلاثة، اثنتان، أربع، واحدة، ثلاث، صفر، اثنتان، ست، ثلاث، أربع، اثنتان، واحدة، ثلاث، أربع، اثنتان، ثلاث. أول عمل هو الحفاظ على القائمة كما هي، ثم إنشاء نسخة للعد. نرسم خطًا عليه القيم من الصفر إلى ستة بمسافات متساوية، ونضع نقطة فوق ثلاثة للمشاهدة الأولى، ثم نقطة فوق اثنين للثانية، ثم فوق أربعة للثالثة. عندما نصل إلى مشاهدة قيمتها ثلاثة مرة أخرى، نضع نقطتها فوق النقطة الموجودة عند ثلاثة، دون تحريكها نحو أربعة.

بعد إكمال القائمة تظهر النقاط وفق الجدول الآتي. وجود صفر في قائمة البيانات يعني أن إحدى الصواني فارغة، ولذلك تظهر نقطة فوق الصفر؛ فهي صينية عُدّت بالفعل. أما عدم وجود نقطة فوق خمسة فيعني عدم تسجيل صينية تحتوي خمس شتلات في هذه المجموعة. هاتان حالتان مختلفتان: الأولى مشاهدة قيمتها صفر، والثانية قيمة تكرارها صفر. وللتأكد من عدم إسقاط مشاهدة، ضع علامة صغيرة بجانب كل عنصر في القائمة بعد رسمه، ثم قارن عدد العلامات بعدد النقاط النهائي. لا تحذف التكرار بحجة أن القيمة ظهرت سابقًا، لأن تكراره جزء من البيانات المطلوبة.

كيف تجيب عن أسئلة العدد والنسبة؟

التكرار هو عدد مرات ظهور القيمة، ومجموع التكرارات يعطي عدد المشاهدات. أما التكرار النسبي فيساوي التكرار مقسومًا على عدد المشاهدات، ويمكن عرضه ككسر أو نسبة مئوية، كما يوضح أوبن ستاكس. ينبغي تحديد المجموعة التي نحسب نسبتها قبل إجراء القسمة، لأن صحة العملية الحسابية لا تصلح اختيارًا خاطئًا للنقاط التي تدخل في البسط. [٢]

اسأل الآن: كم صينية فيها أربع شتلات فأكثر؟ نضم النقاط فوق أربعة وخمسة وستة، فنجد ثلاثًا وصفرًا وواحدة؛ أي أربع صوانٍ من أصل ست عشرة. النسبة ربع المجموعة، أو خمس وعشرون بالمئة. لكن سؤال «أكثر من أربع» يستبعد الأربع نفسها؛ فلا تبقى إلا الصينية التي فيها ست شتلات، أي واحدة من ست عشرة، ونسبتها ست فاصلة خمس وعشرون بالمئة. الفرق بين السؤالين ثلاث صوانٍ كاملة، رغم أن نصيهما متقاربان. يمكنك تلوين النقاط التي يشملها كل شرط على نسخة من الرسم للتحقق من أنك لم تترك القيمة الحدية داخل المجموعة أو خارجها بالخطأ.

وإذا كان السؤال عن الصواني التي تحتوي شتلة واحدة على الأقل، فإن الصينية الفارغة لا تدخل في البسط، لكن عدد صواني المجموعة كلها يبقى ست عشرة. الإجابة خمس عشرة صينية. أما تغيير المقام إلى خمس عشرة فيعني أنك بدأت تحسب نسبة داخل مجموعة الصواني غير الفارغة، وهو سؤال آخر يجب التصريح به. لا تغير المجموعة المرجعية في منتصف الحل دون ذكر السبب.

ماذا نستخرج من الرسم عن المجموع والوسط؟

لإيجاد مجموع الشتلات نضرب كل قيمة في عدد الصواني التي تحملها، ثم نجمع النتائج. مساهمات الصفوف هي صفر، واثنتان، وثمانٍ، وخمس عشرة، واثنتا عشرة، وصفر، وست شتلات. مجموعها ثلاث وأربعون شتلة، بينما عدد النقاط ست عشرة فقط. لذلك لا يجوز جمع أعداد الصواني ثم تسمية الناتج مجموع الشتلات. ويمكن التحقق من النتيجة بطريقة أخرى، بجمع عناصر القائمة الأصلية واحدًا واحدًا؛ فإذا اختلف المجموعان فراجع نقل القيم والتكرارات، بدل اختيار الجواب الأقرب إلى شكل الرسم.

لحساب الوسيط نرتب المشاهدات ونبحث عن موضعي المنتصف، وهما الثامن والتاسع لأن العدد ست عشرة مشاهدة. بعد الصفر والصينيتين ذواتي الشتلة الواحدة والأربع ذوات الشتلتين نكون قد عددنا سبع مشاهدات. تأتي بعدها خمس قيم تساوي ثلاثة، فتشغل المواضع من الثامن إلى الثاني عشر. إذن القيمتان الوسطيتان تساويان ثلاثة، والوسيط ثلاث شتلات. والمنوال أيضًا ثلاثة، لأنه صاحب أكثر النقاط، وعددها خمس. أما المتوسط الحسابي فهو ثلاث وأربعون مقسومة على ست عشرة، أي اثنان فاصلة ستة ثمانية سبعة خمسة. اختلافه عن الثلاثة ليس خطأ؛ فنحن حسبنا مقاييس مختلفة من البيانات نفسها.

كيف تؤثر مشاهدة واحدة في الشكل والنتائج؟

نتخيل نسخة ثانية من بياناتنا تستبدل العدد ستة بأربعة، مع إبقاء بقية المشاهدات كما هي. في الرسم نحذف النقطة الوحيدة فوق ستة، ونضيف نقطة رابعة فوق أربعة. لا يتغير عدد الصواني، لكنه يخفض مجموع الشتلات بمقدار اثنتين، من ثلاث وأربعين إلى إحدى وأربعين. أصغر قيمة تبقى صفرًا، وأكبر قيمة تصبح أربعة، فينخفض المدى من ستة إلى أربعة. هذا تغيير في محتوى مشاهدة موجودة، وليس إضافة مشاهدة جديدة. لذلك يظل المقام ست عشرة عندما نحسب متوسط النسخة المعدلة.

ومع ذلك يبقى المنوال ثلاثة، إذ ما زالت فوقه خمس نقاط، مقابل أربع نقاط فوق أربعة. ويبقى الوسيط ثلاثة أيضًا، لأن موضعي المنتصف لم يغادرا مجموعة الثلاثات. يوضح هذا الحساب لماذا لا يكفي أن تقول «تغير الرسم» لتعرف أي ملخص عددي تغير معه. اكتب قائمة بالمقادير المطلوبة ثم افحص كل مقدار على حدة. كذلك لا تجعل الفراغ فوق خمسة في الرسم الأصلي دليلًا على أن الستة خطأ؛ فالقائمة المؤلفة تسمح بها، ولم نقدم قاعدة تمنع صينية من احتواء ست شتلات. تصحيح البيانات يحتاج إلى معلومة عن السجل، لا إلى الرغبة في جعل الرسم أكثر انتظامًا.

لماذا تحتاج الرسوم البرمجية إلى قراءة المفتاح؟

يوضح مينيتاب أن رسمه قد يجمع القيم في فترات صغيرة، وأن النقطة قد تمثل أكثر من مشاهدة عند زيادة العدد. اقرأ المفتاح وطريقة التجميع قبل استعادة القيم. وهذه خصائص عرض برمجي، وليست حدًا عالميًا لعدد النقاط الممكن رسمها. [٣]

لنفترض مثالًا منفصلًا فيه قياسان هما أربعة فاصلة واحد وأربعة فاصلة أربعة. إذا جمعهما رسم داخل فترة واحدة ووضع رمزيهما عند مركزها، فإن قراءة المركز بوصفه القياس الأصلي مرتين تفقد الفرق بينهما. هذا ليس ما حدث في صورة الصواني، لأننا استخدمنا أعدادًا صحيحة ومواضع دقيقة معلنة. عند تسلم رسم دون الجدول الأصلي، تستطيع طلب طريقة التجميع بدل افتراضها. وتأكد كذلك من أن الصورة لم تقطع المفتاح أو عنوان المحور؛ فالنقاط وحدها لا تخبرك أكانت القيم أعداد شتلات أم أزمنة أم أطوالًا.

تمرين: أضف صينية ثم راجع الإجابة

ارجع إلى البيانات الأصلية، لا إلى النسخة التي استبدلنا فيها الستة بأربعة. أضف صينية جديدة تحتوي شتلتين. قبل الحساب توقع موضع التغيير: ستضاف نقطة خامسة فوق اثنين، ولن تُنقل أي نقطة قديمة. يصبح عدد المشاهدات سبع عشرة، ومجموع الشتلات خمسًا وأربعين. ويصبح للبيانات منوالان هما اثنان وثلاثة، لأن كلًا منهما يتكرر خمس مرات. أما الوسيط فهو المشاهدة التاسعة في الترتيب الجديد؛ فهناك ثماني مشاهدات حتى نهاية مجموعة الاثنين، ثم تبدأ الثلاثات، ولذلك يبقى الوسيط ثلاثة.

إذا أجاب زميل بأن عدد الصواني بقي ست عشرة، فاطلب منه عد النقاط قبل الإضافة وبعدها. وإذا قال إن المجموع صار سبع عشرة شتلة، فقد خلط بين وحدة المشاهدة وقيمتها. وإذا اختار ثلاثة وحدها منوالًا، فليعد النظر في تعادل ارتفاعي عمودي الاثنين والثلاثة. هذه المراجعة تكشف موضع الخطأ بدل الاكتفاء بكتابة علامة على النتيجة. ويمكنك بعد الحل إعادة كتابة القائمة الجديدة من الرسم ومقارنتها بالقائمة الأصلية مضافًا إليها العدد اثنان؛ يجب أن تتطابق القيم وتكراراتها، حتى لو اختلف ترتيب كتابتها على الورقة.

ولفحص المتوسط بعد الإضافة، اقسم خمسًا وأربعين على سبع عشرة، فتحصل على نحو اثنين فاصلة ستة أربعة سبعة. إنه أقل قليلًا من المتوسط الأصلي، رغم زيادة مجموع الشتلات. السبب الحسابي واضح: أضفنا إلى المقام صينية كاملة، لكنها حملت شتلتين فقط، وهو عدد أقل من المتوسط السابق. لذلك لا تستنتج ارتفاع المتوسط من ارتفاع المجموع وحده. ولو حسبت خمسًا وأربعين مقسومة على ست عشرة، لخلطت مجموع المجموعة الجديدة بعدد صواني المجموعة القديمة، ولن تكون قد حسبت متوسط أي منهما.