تبسيط الكسور ذات البسط والمقام الكسريين: أمثلة محلولة

حدد البسط والمقام قبل الحساب

يعرّف أوبن ستاكس الكسر المتداخل بأنه كسر يحتوي بسطه أو مقامه على كسر آخر، ويبين أن خط الكسر يؤدي وظيفة التجميع. لذلك تعامل البسط كله والمقام كله كأن كلًا منهما داخل قوسين. نستعمل هنا تعبير «الكسر المركب العددي» بهذا المعنى، لا بمعنى الكسر غير الفعلي الذي يساوي بسطه مقامه أو يزيد عليه، ولا بمعنى عدد صحيح بجانبه جزء كسري. [١]

انظر إلى التعبير الأول: ثلاثة أرباع مقسومة على ثمن. لدينا في الأعلى ثلاثة أرباع، وفي الأسفل ثمن، وبينهما قسمة واحدة رئيسية. نكتبه أفقيًا هكذا: (3/4) ÷ (1/8). وضع القوسين يحفظ كل كسر صغير بوصفه عددًا واحدًا. أما كتابة الأرقام متتابعة بشرطات مائلة دون أقواس، فقد تخفي أي قسمة نريد تنفيذها أولًا. لا تعتمد على طول الخط في صورة غير واضحة؛ أعد كتابة البسط والمقام في سطرين، واسأل عن الجزء المطموس إن لم يكن معلومًا، بدل استنتاج ترتيب العمليات من موضع رقم وحده.

ولرؤية أثر التجميع، قارن نصفًا مقسومًا على ثلاثة أرباع بتعبير نصف مقسوم على ثلاثة، ثم مقسوم على أربعة. الأول يساوي ثلثين، والثاني يساوي واحدًا على أربعة وعشرين. الأرقام متشابهة، لكن العملية مختلفة. هذه ليست طريقتين للحل نفسه؛ لقد تغير ترتيب العمليات من قسمة على ثلاثة أرباع إلى قسمة على ثلاثة تتبعها قسمة على أربعة. ارسم دائرة حول البسط الكامل وأخرى حول المقام الكامل على ورقة التدريب قبل الحساب، ثم تحقق أنك نقلت المجموعتين كما هما.

القسمة على كسر: أي جزء تقلب؟

في مثال ثلاثة أرباع مقسومة على ثمن، نبقي ثلاثة أرباع كما هي، ونقلب الثمن وحده إلى ثمانية على واحد. يصبح الضرب ثلاثة في ثمانية على أربعة في واحد، أي أربعة وعشرين على أربعة، والناتج ستة. يمكن اختصار ثمانية مع أربعة قبل الضرب، فنحصل على ثلاثة في اثنين، والنتيجة نفسها. لاحظ أن قلب الكسرين معًا يعطي أربعة أثلاث مضروبة في ثمانية، وهو تعبير آخر لا يساوي مسألتنا. المطلوب تحويل القسمة إلى ضرب بالمقلوب، مع الحفاظ على المقسوم الأول.

راجع الناتج من اتجاه معاكس: ستة مضروبة في ثمن تساوي ستة أثمان، أي ثلاثة أرباع. وهكذا عادت الكمية الأصلية. هذا التحقق يفحص الناتج، لكنه لا يغني عن قراءة المسألة؛ فإذا نقلت المقام خطأ ثم راجعت بالرقم المنقول نفسه، فقد يكون حسابك متسقًا مع مسألة أخرى. قارن أولًا المعطيات، ثم استخدم الضرب. ويمكن تقدير الاتجاه أيضًا: الثمن عدد موجب أصغر من الواحد، ولذلك نحتاج عدة أثمان لتكوين ثلاثة أرباع. لا تتوقع تلقائيًا أن القسمة ستعطي عددًا أصغر من المقسوم؛ هنا أصبح الناتج ستة لأننا نعد أجزاء صغيرة.

مثال فيه جمع في البسط وطرح في المقام

نختار الآن البسط ثلثين زائد سدس، والمقام ثلاثة أرباع ناقص ثمن. نكتب المسألة كاملة قبل العمل: (2/3 + 1/6) ÷ (3/4 − 1/8). في البسط نحول الثلثين إلى أربعة أسداس، ثم نضيف سدسًا، فيصبح المجموع خمسة أسداس. وفي المقام نحول ثلاثة أرباع إلى ستة أثمان، ثم نطرح ثمنًا، فيبقى خمسة أثمان. أنجزنا بذلك عمليتين داخليتين، لكننا لم ننتهِ من المسألة؛ ما زال علينا قسمة الناتجين بعضهما على بعض.

نقسم خمسة أسداس على خمسة أثمان، فنضرب خمسة أسداس في ثمانية أخماس. ينتج أربعون على ثلاثين، ثم نقسم البسط والمقام على عشرة، فنحصل على أربعة أثلاث. ويمكن اختصار الخمستين أولًا، ثم تبسيط ثمانية على ستة إلى أربعة على ثلاثة. النتيجة أكبر من الواحد، وهذا مناسب لأن خمسة أسداس أكبر من خمسة أثمان. وللمراجعة، أربعة أثلاث مضروبة في خمسة أثمان تساوي عشرين على أربعة وعشرين، أي خمسة أسداس. لا يجوز جمع المقامين ستة وثمانية للحصول على مقام جديد؛ لكل عملية قاعدة، ونحن الآن ننفذ قسمة وليست جمعًا.

طريقة ثانية: إزالة المقامات الداخلية

يعرض أوبن ستاكس طريقة تضرب البسط والمقام الكاملين في المقام المشترك الأصغر للكسور الداخلية. لا تتغير قيمة الكسر، لأن العامل نفسه يظهر فوق خطه الرئيسي وتحته، فيكون تأثيره ضربًا في الواحد. يجب توزيع الضرب على كل حد داخل المجموع أو الفرق. [٢]

لنطبق ذلك على المثال السابق، دون تغيير أرقامه. المقامات الداخلية هي ثلاثة وستة وأربعة وثمانية، والمضاعف المشترك الأصغر لها أربعة وعشرون. في البسط، أربعة وعشرون مضروبة في ثلثين تساوي ست عشرة، ومضروبة في سدس تساوي أربعة؛ فيصبح البسط عشرين. وفي المقام، ضرب ثلاثة أرباع في أربعة وعشرين يعطي ثماني عشرة، وضرب الثمن فيه يعطي ثلاثة؛ فيصبح المقام خمس عشرة. إذن الكسر يساوي عشرين على خمس عشرة، وبالقسمة على خمسة نحصل على أربعة أثلاث مجددًا.

إذا ضربت أول حد من البسط فقط، فستكتب ست عشرة زائد سدس، وهذا ليس البسط المطلوب بعد التوزيع. وإذا ضربت البسط وحده وتركت المقام، فقد ضربت قيمة المسألة كلها في أربعة وعشرين. لتفحص عملك، ضع علامة فوق كل حد أصابه الضرب؛ في مثالنا أربعة حدود يجب أن تعالج جميعها. ويمكن استخدام ثمانية وأربعين بدل أربعة وعشرين، فتحصل على أربعين على ثلاثين، ثم تختصر. المقام المشترك الأصغر يجعل الأعداد أبسط هنا، لكنه ليس العامل المشترك الوحيد الذي يحافظ على القيمة إذا استعملته بصورة صحيحة.

الإشارة والصفر في الكسور المتداخلة

يجب ألا يساوي أي مقام صفرًا، بما في ذلك المقام الرئيسي بعد تبسيطه. هذا القيد يسبق الاختصار، ولا يختفي بمجرد الحصول على كتابة أقصر. ويؤكد أوبن ستاكس استبعاد القيم التي تجعل المقامات صفرًا عند معالجة المقادير الكسرية المركبة. [٢]

خذ سالب سبعة أعشار مقسومة على أربعة عشر على خمس عشرة. عند الضرب في المقلوب نحصل على سالب مئة وخمسة على مئة وأربعين، أي سالب ثلاثة أرباع. ولو كان المقسوم عليه سالبًا أيضًا لصار الناتج موجب ثلاثة أرباع. يمكن التحقق بضرب سالب ثلاثة أرباع في أربعة عشر على خمس عشرة؛ الناتج سالب اثنين وأربعين على ستين، ويختصر إلى سالب سبعة أعشار. حافظ على إشارة سالبة واحدة أمام الكسر أثناء هذا الحل حتى لا تضيع بين الخطوط، ولا تضف إشارة جديدة لمجرد أنك قلبت المقام.

أما نصف مقسوم على «ثلث ناقص ثلث»، فمقامه الرئيسي صفر، ولذلك التعبير غير معرّف، رغم أن المقامات الداخلية كلها أعداد غير صفرية. وعلى العكس، «ثلث ناقص ثلث» مقسوم على نصف يساوي صفرًا، لأن المقام هنا نصف. لا تجمع الحالتين في عبارة واحدة مثل «إذا ظهر صفر فالنتيجة صفر»؛ موضع الصفر يغير الحكم. افحص ما إذا كان الصفر في البسط أم في المقام، ثم اكتب النتيجة المناسبة دون محاولة إيجاد مقلوب للصفر.

ماذا يعني الناتج في مثال الشريط؟

تستخدم إليستريتيف ماثماتيكس تفسير القسمة على أنها سؤال عن عدد المجموعات، حتى عندما تكون كمية المجموعة كسرًا. يربط هذا التفسير العدد الناتج بمعادلة الضرب التي تعيد تكوين الكمية الكلية. [٣]

الرسم المرافق نموذج أصلي لشريط افتراضي. اعتبر طول المستطيل الكامل مترًا واحدًا، وقسمه إلى ثمانية أجزاء متساوية. الأجزاء الستة الملونة تمثل ثلاثة أرباع متر، وكل جزء يمثل ثمن متر. لذلك يمكن تكوين ست قطع طول الواحدة ثمن متر من الجزء الملون، بافتراض قص مثالي دون فقد. الجزآن غير الملونين يكملان المتر المرجعي، وليسا ضمن الكمية المتاحة. لا تعد خطوط الفصل بدل الأجزاء؛ ستة أجزاء متجاورة تحدها سبع نقاط، لكن عدد القطع يبقى ستًا.

غيّر المعطيات إلى شريط طوله خمسة أسداس متر، وقطع طول الواحدة ربع متر. القسمة تعطي عشرة أثلاث، أي ثلاثة وثلثًا، لكنها لا تعني وجود أربع قطع كاملة. ثلاث قطع تستهلك ثلاثة أرباع متر، ويبقى خمسة أسداس ناقص ثلاثة أرباع، أي واحد على اثني عشر مترًا. هذا الباقي يساوي ثلث طول القطعة المطلوبة. هكذا نميز بين ناتج القسمة بوحدة القطع، والباقي بوحدة المتر. لا تكتب أن الباقي ثلث متر، لأن الثلث في الناتج جزء من قطعة طولها ربع متر.

تدريبان مع الحل ومراجعة أخيرة

في التدريب الأول، بسّط مجموع نصف وثلث مقسومًا على ثلثين. البسط خمسة أسداس، فنضربه في ثلاثة أنصاف، ونحصل على خمسة عشر على اثني عشر، أي خمسة أرباع. تحقق بضرب خمسة أرباع في ثلثين؛ النتيجة عشرة على اثني عشر، وتساوي خمسة أسداس. في التدريب الثاني، بسّط «واحد ناقص ثلاثة أخماس» مقسومًا على أربعة أخماس. البسط خمسان، والقسمة تعطي خُمسين مضروبين في خمسة أرباع، أي نصفًا. إذا حصلت على اثنين في التدريب الثاني، فراجع ترتيب المقسوم والمقسوم عليه؛ قلب الترتيب يقلب الناتج في هذه الحالة.

قبل اعتماد جوابك، راجع ثلاثة أشياء في ورقتك: هل حافظت على البسط والمقام الكاملين؟ وهل فحصت الصفر قبل القسمة؟ وهل اختصرت عوامل مشتركة من حاصل ضرب، لا حدودًا منفردة داخل جمع أو طرح؟ وعند استخدام الحاسبة، أدخل كل مجموعة بين قوسين، ثم قارن الناتج بحسابك الدقيق. فالعدد العشري التقريبي قد يخفي الفرق بين كسر دقيق وكتابة مقربة له. احتفظ بأربعة أثلاث مثلًا عندما يطلب السؤال أبسط صورة كسرية، ولا تستبدله بعدد عشري قصير ثم تعتبرهما متساويين تمامًا.