رسم المضلع التكراري: مراكز الفئات وقراءة النقاط

ماذا تمثل نقطة المضلع التكراري؟

المضلع التكراري يعرض بيانات مجمعة في فئات بواسطة نقاط موصولة بقطع مستقيمة، بدل مستطيلات المدرج التكراري. يبين المحور الأفقي مراكز الفئات، والعمودي تكراراتها. وتوضح مادة بيرسون أن النقطة تخص نطاقًا من القيم؛ فلا يصح تفسيرها بوصفها عدد المشاهدات التي تساوي المركز بالضبط. هذه نقطة مهمة عند الانتقال من جدول الأعداد إلى الرسم. [٢]

لنفترض أن لدينا عشرين شريطًا خشبيًا، وأن الأرقام الآتية أطوالها بالسنتيمتر: اثنا عشر، أربعة عشر، ستة عشر، ثمانية عشر، عشرون، واحد وعشرون، اثنان وعشرون، أربعة وعشرون، ستة وعشرون، ثمانية وعشرون، تسعة وعشرون، ثلاثون، واحد وثلاثون، ثلاثة وثلاثون، أربعة وثلاثون، سبعة وثلاثون، تسعة وثلاثون، اثنان وأربعون، أربعة وأربعون، وثمانية وأربعون. هذه القائمة هي مادة التمرين الأصلية، ويمكن الرجوع إليها للتحقق من أي عدد في الجدول.

نريد تلخيص هذه الأطوال، لا رسم شكل كل شريط أو ترتيب إنتاجه. مثلًا، لا يوجد في قائمتنا شريط طوله خمسة وعشرون سنتيمترًا، ومع ذلك سنضع نقطة فوق العدد خمسة وعشرين. ليس في ذلك تناقض؛ فهذا الموضع سيحمل عدد الشرائط الواقعة داخل فئة كاملة. لو سألك زميلك عن عدد الشرائط ذات طول خمسة وعشرين بالضبط، فالجواب من القائمة صفر، لا ارتفاع النقطة. احتفظ بهذا الفرق وأنت تقرأ بقية الشكل، لأن المحور الأفقي قد يوحي بمعنى أدق مما تسمح به البيانات المجمعة.

رتب الأطوال داخل فئات واضحة

عند تكوين الفئات، يجب أن يكون انتماء القيمة الواقعة على الحد واضحًا. يعرض أوبن ستاكس قاعدة إدراج الحد الأيسر واستبعاد الأيمن في أحد أمثلته. سنستخدم هذه القاعدة هنا: يدخل طول عشرين في الفئة التي تبدأ بعشرين، لا في الفئة السابقة. [١]

اخترنا أربع فئات متساوية العرض: من عشرة إلى أقل من عشرين، ثم إلى أقل من ثلاثين، ثم إلى أقل من أربعين، وأخيرًا إلى أقل من خمسين. ضع علامة أمام كل قيمة بعد تسجيلها في صف واحد. ستجد أربعة أطوال في الصف الأول، وسبعة في الثاني، وستة في الثالث، وثلاثة في الرابع. جمع هذه الأعداد يعيد عشرين، وهو عدد الشرائط في القائمة؛ أما عدد الصفوف فأربعة فقط، ولا يمثل حجم المجموعة.

جرّب خطأ مقصودًا: أدخل العشرين في الصفين الأول والثاني. يصبح المجموع واحدًا وعشرين، فتكتشف المشكلة بالجمع. لكن إذا حذفته من الصف الثاني وأبقيته في الأول وحده، يظل المجموع عشرين رغم خطأ التصنيف؛ لذلك الجمع فحص ضروري لكنه غير كافٍ. راجع مواضع القيم الحدية أيضًا. وقيمة الخمسين، لو أضفناها إلى التمرين، لن تدخل الفئة الأخيرة بصيغتها الحالية؛ يلزم عندئذ إعلان تعديل الفئات، لا إدخالها صامتًا في صف يستبعدها صراحة.

احسب المراكز من حدود الفئات

مركز الفئة هو متوسط حديها: نجمع الحدين ثم نقسم الناتج على اثنين. وهو الإحداثي الأفقي للنقطة، بينما يأتي إحداثيها العمودي من التكرار. [٢]

في الصف الأول نجمع عشرة وعشرين فنحصل على ثلاثين، ثم نقسم على اثنين، فيكون المركز خمسة عشر. وفي الصف الثاني نجمع عشرين وثلاثين، فنحصل على خمسين، ونصفها خمسة وعشرون. وبالطريقة نفسها نحصل على خمسة وثلاثين للصف الثالث، وخمسة وأربعين للرابع. لاحظ أن المسافة بين كل مركز والذي يليه عشرة سنتيمترات، مساوية لعرض الفئة في هذا المثال. اكتب هذه المراكز تحت المحور قبل نقل التكرارات حتى لا تخلط بينها وبين الحدود.

يمكن فحص المركز الأول بطريقتين: المسافة من عشرة إلى خمسة عشر تساوي خمسة، والمسافة من خمسة عشر إلى عشرين تساوي خمسة أيضًا. أما وضع النقطة فوق عشرين فيحركها إلى الطرف الأعلى، لا إلى الوسط. كذلك لا تبحث عن متوسط الأطوال الأربعة لتحدد موضع النقطة؛ فمركز الفئة تحدده حدودها. لو بدلنا الطول اثني عشر بأحد عشر، بقيت حدود الصف ومركزه وتكراره كما هي، رغم تغير إحدى قيم القائمة الأصلية. هذا التعديل الصغير يوضح كيف يمكن لقائمتين مختلفتين أن تنتجا المضلع نفسه تمامًا.

ارسم النقاط ثم أضف نقطتي الإغلاق

تصل القطع المستقيمة بين النقاط المتتابعة. ويعرض أوبن ستاكس إغلاق الشكل بنقطتين صفريتين عند مركزي فئتين إضافيتين خارج البيانات، حتى يصل الطرفان إلى المحور الأفقي. هاتان نقطتان مساعدتان للرسم، وليستا مشاهدتين جديدتين. [١]

ابدأ بنقطة فوق خمسة عشر على ارتفاع أربعة، ثم نقطة فوق خمسة وعشرين على ارتفاع سبعة. بعدهما ضع نقطة فوق خمسة وثلاثين على ارتفاع ستة، وأخرى فوق خمسة وأربعين على ارتفاع ثلاثة. صلها من اليسار إلى اليمين بهذا الترتيب، دون إعادة ترتيبها بحسب الارتفاع. لو بدأت بالارتفاع ثلاثة ثم أربعة ثم ستة ثم سبعة، لصنعت خطًا صاعدًا لا يعرض ترتيب الفئات الوارد في الجدول.

لإغلاق رسمنا نطرح عرض فئة واحدة من المركز الأول؛ خمسة عشر ناقص عشرة يساوي خمسة. ونضيف العرض إلى المركز الأخير؛ خمسة وأربعون زائد عشرة يساوي خمسة وخمسين. نضع عند الموضعين تكرارًا صفرًا، ونصل كلًا منهما بالنقطة المجاورة. عند عد العلامات المرئية نجد ست علامات، لكن عدد فئات البيانات أربع، وعدد الشرائط عشرون. وقد ميزنا علامتي الإغلاق بدائرتين فارغتين رماديتين، لكيلا تبدوا ضمن قياسات الأطوال. لا تستنتج منهما أن أقصر شريط طوله خمسة أو أن أطول شريط طوله خمسة وخمسون؛ القائمة الأصلية تبدأ باثني عشر وتنتهي بثمانية وأربعين.

اقرأ القمة دون اختراع قياسات

أعلى نقطة تدل على الفئة ذات التكرار الأكبر، لا على قيمة فردية مؤكدة داخلها. ويختلف هذا التفسير عن قراءة نقطة في سلسلة زمنية، حيث يرتبط الموضع الأفقي بوقت معين. [٢]

في رسمنا تقع القمة فوق خمسة وعشرين، وارتفاعها سبعة؛ إذن العبارة الصحيحة أن سبعة شرائط تقع أطوالها من عشرين إلى أقل من ثلاثين سنتيمترًا. ويمكن حساب حصتها: سبعة من عشرين تساوي خمسة وثلاثين بالمئة. أما الشرائط التي تقل أطوالها عن ثلاثين فعددها أحد عشر، لأننا نجمع الأربعة والسبعة. وهذا يساوي خمسة وخمسين بالمئة من المجموعة. الرقم أحد عشر لا يساوي ارتفاع القمة، لأن السؤال هذه المرة يجمع فئتين، لا فئة واحدة.

ومن الجدول وحده لا نستعيد قائمة الأطوال كاملة. لإظهار ذلك عدديًا، إذا استبدلنا كل طول بمركز فئته لأغراض التقريب، نحصل على مجموع خمسمئة وثمانين سنتيمترًا، ومتوسط تسعة وعشرين. لكن مجموع القائمة التي كتبناها فعلًا خمسمئة وثمانية وستون، ومتوسطها ثمانية وعشرون وأربعة أعشار. الفرق ليس خطأ في جمع الجدول؛ إنه أثر استبدال الأطوال بالمراكز. لا تعرض متوسط المراكز الموزون كتجربة قياس دقيقة، ولا تستخرج طول شريط بعينه من خط يصل بين نقطتين مجمعتين.

قارن مجموعتين باستخدام المقام المناسب

يمكن وضع مضلعين على الرسم نفسه لمقارنة توزيعين. [١]

اصنع مجموعة تدريب ثانية بتكرار كل طول من قائمتنا مرتين؛ سيصبح عدد الشرائط أربعين، وتكرارات الفئات ثمانية، وأربعة عشر، واثني عشر، وستة. سيكون المضلع الثاني أعلى من الأول عند كل مركز، لكن هذا لا يعني أن أطواله تميل إلى القيم الأكبر. لقد كررنا المجموعة نفسها فقط. عدد الشرائط التي تقع في الفئة الثانية تضاعف من سبعة إلى أربعة عشر، وفي الوقت نفسه تضاعف العدد الكلي من عشرين إلى أربعين.

إذا أردنا مقارنة حصة كل فئة، نقسم تكرارها على مجموعتها. في الأولى تكون النسب عشرين، وخمسة وثلاثين، وثلاثين، وخمسة عشر بالمئة؛ وفي الثانية تظهر النسب نفسها تمامًا. لذلك يتطابق الرسمان إذا استعملنا هذه النسب بدل الأعداد، مع الإبقاء على الفئات ذاتها. اكتب على المحور أنه نسبة مئوية، واذكر حجم كل مجموعة، حتى يستطيع القارئ التمييز بين تساوي النسبة وتساوي العدد. فالفئة الأخيرة تمثل ثلاثة شرائط في الأولى وستة في الثانية، مع أن نصيبها النسبي واحد.

وللمقارنة العادلة داخل هذا التمرين، لا تجمع الفئتين الأوليين في المجموعة الثانية وحدها؛ عندئذ يصبح نطاق إحدى نقاطها من عشرة إلى أقل من ثلاثين، بينما تمثل نقاط الأولى نطاقات أصغر. إن أردت التجميع، طبقه على المجموعتين معًا. في الأولى تصير التكرارات أحد عشر وتسعة، وفي الثانية اثنين وعشرين وثمانية عشر. يمكن التحقق مرة أخرى من تساوي النسب، لكن الرسم الجديد أقل تفصيلًا من رسم الفئات الأربع.

افحص الرسم قبل تسليمه

توصي هيئة الإحصاء الكندية بعنوان واضح، وبيان وحدات القياس، وتدرج منتظم يسهل قراءته، وملاحظات تبين حدود البيانات. كما تؤكد وضوح العناصر البصرية وتجنب ازدحام الشكل. في درسنا يبقى الجدول النصي وسيلة مرافقة لقراءة القيم، خصوصًا حين تصغر الصورة على الهاتف. [٣]

ابدأ المراجعة من نقطة تعرفها: فوق خمسة وثلاثين يجب أن تجد ستة. ثم عد إلى الجدول وابحث عن الصف ذي المركز نفسه. إذا وجدت النقطة فوق أربعين بدلًا منه، فقد نقلت الحد الأعلى مكان المركز. وإذا كانت فوق خمسة وثلاثين ولكن ارتفاعها ثلاثة، فقد خلطت تكرار الصف الثالث بالرابع. هذان خطآن مختلفان؛ إصلاح أحدهما لا يصلح الآخر، ولذلك راجع الموضع الأفقي والارتفاع كلًا على حدة.

واختبر حالة أخيرة مؤلفة: انقل الشرائط الستة من الفئة الثالثة إلى أطوال داخل الرابعة، فتكون التكرارات أربعة، وسبعة، وصفرًا، وتسعة. يجب أن تبقى نقطة فوق خمسة وثلاثين على المحور؛ حذفها ووصل السبعة بالتسعة مباشرة يخفي الفئة الخالية. وبعد ذلك اجمع التكرارات فتجد عشرين كما كانت، وافصل هذا التمرين المعدل عن الرسم الرئيسي. اكتب في تعليق كل نسخة ما إذا كانت تعرض القائمة الأصلية أو التعديل، حتى لا يفسر القارئ انخفاضًا مصطنعًا على أنه نتيجة قياس جديد.