hfft: هل يعيد النتيجة نفسها التي يعيدها irfft؟

أكمل المتتالية قبل مقارنة المعنى

تستعمل عائلة hfft نقاطًا مركبة من مجال الزمن لإنتاج نقاط حقيقية في مجال التردد. [1][2] نختار أربع نقاط كاملة، فلا نبحث هنا أثر الطول الفردي.

نؤلف u=[5,−2+4i,7,−2−4i]. العنصران عند الفهرسين 1 و3 مرافقان، والعنصران عند 0 و2 حقيقيان. في هذا المثال يساوي العنصر عند (−n) mod 4 مرافق العنصر عند n.

نكشف ذلك مباشرة: مرافق −2+4i هو −2−4i، ومرافق 5 هو 5، ومرافق 7 هو 7. الفهارس تبدأ من صفر، والقيم بلا وحدة فيزيائية؛ لم نقس إشارة أو نحدد معدل أخذ عينات.

المدخل المختصر الذي مررناه إلى hfft هو a=[5,−2+4i,7]. يحتفظ بثلاثة عناصر من هذه المتتالية الكاملة. نذكر الاثنين صراحة حتى لا نعامل a على أنه المتتالية الكاملة ذات الأربع نقاط.

على NumPy 2.3.5 استعملنا complex128 للمدخلين. أعاد hfft(a) أربع قيم float64، بينما أعاد fft(u) أربع قيم complex128. اختلف النوع، لكن الأجزاء الحقيقية تساوت في هذه الحالة.

تحقق من التحويل الأمامي بأربع جذور

نستخدم تعريف التحويل الأمامي بأس سالب دون قسمة، والعكسي بأس موجب وقسمة على N؛ هذا هو التطبيع الافتراضي المستخدم هنا. [2]

للأربع نقاط، قوى الجذر −i تتكرر: 1،−i،−1،i. عند الفهرس صفر نجمع عناصر u: 5+(−2+4i)+7+(−2−4i)=8. يلغي الزوج جزأيه التخيليين.

عند الفهرس 1 نحسب 5+(−2+4i)(−i)−7+(−2−4i)i. حاصل الضربين هو 4+2i و4−2i؛ الناتج 6. وعند الفهرس 2 نحصل على 5−(−2+4i)+7−(−2−4i)=16.

عند الفهرس 3 تصبح النتيجة 5+(−2+4i)i−7+(−2−4i)(−i)=−10. إذن التحويل الكامل المحسوب هو [8,6,16,−10]؛ لم نفترض أن كل مدخل مركب يعطي طيفًا حقيقيًا.

أعاد التشغيل fft(u) القيم [8+0i,6+0i,16+0i,−10+0i]، وأعاد hfft(a) [8,6,16,−10]. قارناهما بالحساب المباشر المستقل، لا بجعل أحد مخرجي NumPy جوابًا منتظرًا للآخر.

المدخل نفسه يأخذ دورًا مختلفًا مع irfft

تقرأ irfft مدخلها بوصفه معاملات التردد غير السالبة لتحويل مدخل حقيقي، وتكمل الطرف الآخر بالمرافق. [3] هذا يختلف عن تسمية عناصر a بيانات زمنية متناظرة.

مررنا a نفسه، بلا تعديل، إلى np.fft.irfft(a). أعاد [2,−2.5,4,1.5]. القيمة الأولى وحدها 2 بدل 8؛ النتيجة ليست الطيف السابق وقد أعيدت تسميته.

لتحقق مستقل، نكمل المعاملات إلى القائمة ذات الأربع قيم نفسها، لكن نطبق الآن الجمع العكسي. عند الموضع صفر يعطينا المجموع 8، ثم القسمة على أربع تعطي 2. وعند الموضع 1، جهة الجذر +i تجعل المجموع −10؛ الناتج −2.5.

الموضع 2 يعطي 16/4=4، والموضع 3 يعطي 6/4=1.5. لاحظ أن حصر الفرق في عامل أربع وحده غير كافٍ: ترتيب موضعي 1 و3 انعكس أيضًا في هذا المثال.

في الأعداد المحفوظة، hfft[k]=4×irfft[(−k) mod 4] لكل فهرس من الأربعة. هذه علاقة حسابية تحققنا منها لمثالنا واتفاقيته؛ لا نستعملها وعدًا لدقة عامة أو لكل إعدادات التطبيع.

التحكم الصفري ونطاق الفحص

نختار مدخلًا مختصرًا مستقلًا [0,0,0]، وإكمالًا كاملًا [0,0,0,0]. أعاد hfft وfft وirfft أصفارًا. الاتفاق الصفري لا يميز الجهة أو عامل القسمة؛ كلاهما يترك الصفر صفرًا.

أضفنا 81 تركيبًا، حيث تتراوح الإحداثيات الأربعة a,b,c,d في [a,b+ci,d] ضمن {−2,1,3}. مع المثال الرئيسي والتحكم الصفري أصبح لدينا 83 مدخلًا مختلفًا. لا يوجد التحكم الصفري داخل هذه الشبكة.

نفذنا لكل حالة hfft للمدخل المختصر، وfft للإكمال الكامل، وirfft للمدخل المختصر نفسه: 249 استدعاء FFT مسمى. أنشأنا 166 مصفوفة مدخل مستقلة خارج هذا العدد؛ استعمل مسارا hfft وirfft المدخل المختصر نفسه داخل الحالة.

حفظنا 996 عنصرًا من المخرجات: 332 عنصرًا مركبًا للتحويل الكامل، و664 عنصرًا حقيقيًا للمسارين الآخرين. العنصر المركب يعد واحدًا حين نسجل جزأيه في JSON. قارنا الجذور الأربع ومعادلات الأعداد الصحيحة والأرباع مباشرة، وتحققنا من الأشكال والأنواع وثبات بايتات المدخلين.

اتفق hfft مع الجزء الحقيقي للتحويل الكامل في الحالات كلها، واختلف عن irfft في 82 حالة. الأعداد الصحيحة والأرباع المختارة تطابقت بالضبط في المقارنات المحفوظة؛ لا نحول ذلك إلى ضمان لمخرجات عائمة عامة.

نقصر التشغيل على complex128 أحادي البعد، وثلاث نقاط مختصرة وأربع كاملة، وطرفين حقيقيين، والتطبيع الافتراضي. لم نختبر ihfft أو طولًا فرديًا أو حشوًا أو محاور أخرى أو أداءً. قبل اختيار الدالة، حدد هل المدخل بيانات زمنية متناظرة أم معاملات تردد تريد عكسها.