إذا كان لديك ثلاثة عشر صندوقًا كاملًا، فلن تستطيع تسليم مجموعة خمسة صناديق وثلث صندوق، ثم متابعة التوزيع كأن الكسور وحدات حقيقية. وفي المقابل، قد يؤدي تقريب حصة كل مجموعة وحدها إلى ترك صندوق أو طلب صندوق غير موجود. يشرح هذا المقال طريقة أكبر البواقي بأرقام مؤلفة، مع فصل الحصة النظرية عن العدد الذي يُسلَّم فعلًا.
الخلاصة السريعة
احسب الحصص النسبية، وخذ الجزء الصحيح من كل حصة، ثم وزع الوحدات المتبقية على أكبر البواقي الكسرية بالترتيب حتى يكتمل العدد المطلوب. [١]
- مع الأوزان ٤١ و٢٩ و١٩ و١١، تعطي ثلاثة عشر صندوقًا حصصًا نظرية ٥٫٣٣ و٣٫٧٧ و٢٫٤٧ و١٫٤٣.
- الأجزاء الصحيحة تجمع أحد عشر؛ يذهب الصندوقان المتبقيان إلى ب ثم ج، فيكون التوزيع ٥ و٤ و٣ و١.
- تقريب كل حصة إلى أقرب عدد صحيح يوزع اثني عشر صندوقًا فقط في هذا المثال.
- عند زيادة المخزون إلى أربعة عشر، يصبح التوزيع بهذه الطريقة ٦ و٤ و٣ و١؛ التقريب المستقل كان سيطلب خمسة عشر.
- تعادل البواقي يحتاج قاعدة معلنة؛ الأوزان المتساوية وحدها لا تختار فائزًا بوحدة إضافية لا يمكن تقسيمها.
- الأمثلة تفترض وحدات متماثلة وأوزانًا غير سالبة ومجموع أوزان موجبًا، دون حد أدنى أو سقف خاص لكل مجموعة.
حدد ما الذي توزعه وما معنى الوزن
تخيل مخزونًا تدريبيًا من صناديق أدوات متماثلة، نريد توزيعه على أربع مجموعات نرمز إليها بأ وب وج ود. الأوزان المعتمدة في التمرين هي واحد وأربعون، وتسعة وعشرون، وتسعة عشر، وأحد عشر. لا نصف عدد أشخاص حقيقيين أو احتياجات مقاسة؛ نختبر قرارًا حسابيًا بعد أن اختيرت الأوزان. اختيار وزن كل مجموعة مسألة تسبق الحساب، ولا يصير الاختيار مناسبًا لمجرد أن الآلة أعطت نتيجة صحيحة.
يعرض مكتب الإحصاء الأمريكي طريقة هاملتون وفينتون ضمن طرق التوزيع التاريخية: تُحفظ الأجزاء الصحيحة من الحصص، ثم تُمنح الوحدات الباقية بحسب أكبر الكسور المتبقية. نستخدم هنا فكرتها الحسابية في تمرين صناديق، دون تطبيق قواعد تمثيل سياسي أو حدود مقررة للولايات. [١]
اكتب عدد الصناديق المتاحة منفصلًا عن مجموع الأوزان. في البداية لدينا ثلاثة عشر صندوقًا، بينما مجموع الأوزان مئة. الأول يحدد عدد الوحدات التي يمكن تسليمها، والثاني هو المقام الذي تُقاس إليه حصة كل مجموعة. لو خلطت بينهما، فقد تعامل رقمًا يمثل نسبة المشاركة كأنه كمية مخزون. وجود عنوان واضح لكل رقم أسهل من محاولة تفسير ناتج غريب بعد أن تنتهي جميع العمليات.
نفترض أيضًا أن كل صندوق يعادل أي صندوق آخر، وأننا لن نفتحه أو نقتسم محتواه. إذا كانت الصناديق مختلفة في القيمة أو عدد الأدوات، فإن توزيع أعدادها لا يصف وحده ما حصلت عليه المجموعات. كما لا نفرض هنا حدًا أدنى لكل مجموعة أو سقفًا لاستيعابها؛ ستظهر أهمية هذين الشرطين عند مراجعة حدود المثال في النهاية، بدل إدخالهما خفية أثناء التوزيع.
احسب الحصص النظرية دون تقريب مبكر
حصة أ النظرية تساوي ثلاثة عشر مضروبة في واحد وأربعين، ثم مقسومة على مئة. حاصل الضرب خمسمئة وثلاثة وثلاثون، ولذلك تكون الحصة خمسة فاصلة ثلاثة وثلاثين صندوقًا. وبالطريقة الحسابية نفسها نحصل لب على ثلاثة فاصلة سبعة وسبعين، ولج على اثنين فاصلة سبعة وأربعين، ولد على واحد فاصلة ثلاثة وأربعين. هذه الكسور أداة للمقارنة، وليست تعليمات لتسليم أجزاء من صناديق مغلقة.
اجمع الحصص قبل أي تعديل لتختبر المدخلات: خمسة فاصلة ثلاثة وثلاثون مع ثلاثة فاصلة سبعة وسبعين تساوي تسعة فاصلة عشرة، وإضافة اثنين فاصلة سبعة وأربعين تعطي أحد عشر فاصلة سبعة وخمسين، ثم واحد فاصلة ثلاثة وأربعين تكمل ثلاثة عشر. في هذا التمرين تنتهي الأعداد عند منزلتين عشريتين بالضبط، لذلك لم نحذف أرقامًا مخفية أثناء العرض، ولم نحتج إلى تقدير تقريبي للمجموع.
لا يشترط أن تكون الأوزان مكتوبة على مقياس مجموعه مئة. إذا ضاعفنا كل وزن عشر مرات، صارت الأوزان أربعمئة وعشرة ومئتين وتسعين ومئة وتسعين ومئة وعشرة، ومجموعها ألف. تظل حصة أ مثلًا حاصل ضرب ثلاثة عشر في أربعمئة وعشرة مقسومًا على ألف، أي خمسة فاصلة ثلاثة وثلاثين. تغيير المقياس المشترك لم يغير النسب، ولذلك لا يبرر تغيير الصناديق المخصصة للمجموعات.
الخطأ المقابل هو استعمال بعض الأوزان كما هي وتغيير بعضها الآخر، ثم افتراض أن النسب بقيت ثابتة. إذا كتبت وزن أ على مقياس الألف وأبقيت بقية الأوزان على مقياس المئة، فأنت صنعت مجموعة مدخلات جديدة. لذلك راجع وحدة الوزن ومصدره وتاريخه قبل الحساب. ويمكنك الاحتفاظ بالأوزان الأصلية إلى جانب الحصص، حتى يتضح أن أي فرق لاحق جاء من تعديل مدخل أو من خطوة توزيع.
وزع الصندوقين المتبقيين بحسب البواقي
نأخذ أولًا خمسة صناديق لأ، وثلاثة لب، واثنين لج، وواحدًا لد. هذا هو الجزء الصحيح من الحصص الأربع، ومجموعه أحد عشر صندوقًا. إذن بقي صندوقان من المخزون الأصلي. لا نضيفهما تلقائيًا إلى المجموعة الأكبر، ولا نضعهما في آخر صف لأنه الأقرب إلى خانة المجموع. علينا مقارنة الباقي الذي فصلناه عن كل حصة، مع بقاء الصناديق الأحد عشر الموزعة مسجلة كما هي.
| المجموعة | الحصة النظرية | الجزء الصحيح | الباقي | التوزيع النهائي |
|---|---|---|---|---|
| أ | ٥٫٣٣ | ٥ | ٠٫٣٣ | ٥ |
| ب | ٣٫٧٧ | ٣ | ٠٫٧٧ | ٤ |
| ج | ٢٫٤٧ | ٢ | ٠٫٤٧ | ٣ |
| د | ١٫٤٣ | ١ | ٠٫٤٣ | ١ |
البواقي هي ثلاثة وثلاثون جزءًا من مئة لأ، وسبعة وسبعون لب، وسبعة وأربعون لج، وثلاثة وأربعون لد. ترتيبها من الأكبر إلى الأصغر هو ب ثم ج ثم د ثم أ. نمنح الصندوق الأول لب فترتفع من ثلاثة إلى أربعة، ونمنح الثاني لج فترتفع من اثنين إلى ثلاثة. انتهى المخزون، فيبقى نصيب أ خمسة ود واحدًا، ويجمع التوزيع النهائي ثلاثة عشر صندوقًا كاملًا.
لاحظ أن ج حصلت على صندوق إضافي مع أن باقيها أقل من نصف. ليس في خطوات هذا المثال شرط يقول إن كل زيادة تحتاج باقيًا لا يقل عن النصف؛ المقارنة بين البواقي هي التي حددت صاحبي الصندوقين. أما تقريب الحصص الأربع كل واحدة إلى الأقرب فكان سيعطي خمسة وأربعة واثنين وواحدًا، ومجموعها اثنا عشر. سينقص صندوق من جدول التسليم رغم صحة تقريب كل قيمة منفردة وفق تلك القاعدة.
يمكنك مراجعة الفرق بين الحصة النظرية والتسليم النهائي لكل مجموعة. حصلت أ على أقل من حصتها بثلاثة وثلاثين جزءًا من مئة، وب على أكثر بثلاثة وعشرين، وج على أكثر بثلاثة وخمسين، ود على أقل بثلاثة وأربعين. مجموع الزيادتين ستة وسبعون جزءًا من مئة، وهو مجموع النقصين نفسه. هذا فحص عددي إضافي للمثال، وليس دليلًا على أن جميع المشاركين سيقبلون معيار الأوزان المختار.
أعد الحساب إذا تغير عدد الصناديق
افترض أن المخزون صار أربعة عشر صندوقًا، مع بقاء الأوزان الأربعة كما كانت. الحصص الجديدة هي خمسة فاصلة أربعة وسبعون، وأربعة فاصلة صفر ستة، واثنان فاصلة ستة وستون، وواحد فاصلة أربعة وخمسون. مجموع أجزائها الصحيحة اثنا عشر، لذلك ما زلنا نحتاج إلى توزيع صندوقين بعد الخطوة الأولى. لا ننسخ البواقي القديمة؛ فقد تغير العدد الذي ضربناه في الأوزان، فتغيرت الحصص والبواقي معًا.
| المجموعة | الحصة عند ١٤ | التقريب للأقرب | أكبر البواقي |
|---|---|---|---|
| أ | ٥٫٧٤ | ٦ | ٦ |
| ب | ٤٫٠٦ | ٤ | ٤ |
| ج | ٢٫٦٦ | ٣ | ٣ |
| د | ١٫٥٤ | ٢ | ١ |
أكبر باقيين هذه المرة هما أربعة وسبعون جزءًا من مئة لأ، ثم ستة وستون لج. تحصل كل منهما على صندوق إضافي، فيصبح التوزيع ستة وأربعة وثلاثة وواحدًا. مجموع هذه القيم أربعة عشر، مطابق للمخزون الجديد. أما ب فقد ارتفع جزؤها الصحيح أصلًا من ثلاثة إلى أربعة، ولذلك لا تحتاج إلى أن تكون من صاحبي أكبر باقيين لكي يزيد عددها مقارنة بمرحلة الأجزاء الصحيحة في المثال السابق.
لو قرّبنا الحصص الجديدة كل واحدة إلى أقرب عدد صحيح، لحصلنا على ستة وأربعة وثلاثة واثنين. مجموعها خمسة عشر، أي صندوق أكثر من الموجود. صار الخطأ في اتجاه معاكس للمثال الأول: هناك ترك التقريب المستقل صندوقًا دون تخصيص، وهنا طلب صندوقًا إضافيًا. هاتان النتيجتان تكفيان لإظهار أن نجاح تقريب كل خلية منفردة لا يضمن مطابقة مجموع جدول التسليم للمخزون المطلوب.
عند مقارنة النسختين، اكتب فوق كل جدول عدد الصناديق الذي بُني عليه. لا تجمع حصة مجموعة محسوبة على ثلاثة عشر مع حصة أخرى محسوبة على أربعة عشر، ثم تبحث عن طريقة لإصلاح المجموع. وإذا كان التوزيع الأول قد نُفذ فعلًا، فقرار التعامل مع صندوق جديد يحتاج إلى تحديد هل تعيد توزيع الجميع أم توزع الإضافة وحدها. مثالنا يعيد الحساب من البداية، ولا يفترض استرداد صناديق سُلّمت لأشخاص.
افصل تعادل البواقي عن خطأ الحساب
نستخدم تمرينًا أصغر مستقلًا: أربع وحدات وثلاث مجموعات أوزانها ثلاثة وثلاثة واثنان. مجموع الأوزان ثمانية، والحصص النظرية واحد ونصف، وواحد ونصف، وواحد. الأجزاء الصحيحة تعطي وحدة لكل مجموعة، فيبقى من الأربع وحدة واحدة. باقي المجموعة الأولى نصف، وباقي الثانية نصف أيضًا، وباقي الثالثة صفر. الحساب حدد المتعادلتين، لكنه لم يقدم معلومة تميز إحداهما عن الأخرى للحصول على الوحدة الأخيرة.
لإكمال ورقة التدريب فقط، نعلن قبل التوزيع أن الرمز الأبجدي الأسبق يتقدم عند تساوي البواقي. تصبح النتيجة وحدتين لأ ووحدة لب ووحدة لج. ولو أعلنّا ترتيبًا معكوسًا منذ البداية، لكانت النتيجة وحدة لأ ووحدتين لب ووحدة لج. كلا الجدولين يحفظ مجموع الأربع في هذا المثال، لكنهما لا يمثلان القرار نفسه. لذلك يجب أن يظهر اختيار قاعدة التعادل في سجل الحساب، لا أن يختبئ داخل ترتيب الصفوف.
لا تستنتج من النتيجة الأولى أن الوزن ثلاثة للأولى أكبر من الوزن ثلاثة للثانية. الزيادة جاءت من القاعدة الإضافية التي اخترناها، بعد أن انتهى معيار البواقي إلى تعادل. وإذا اقترحت التناوب بين جولات توزيع متكررة، فستحتاج إلى حفظ من حصل على الأولوية سابقًا، وتحديد ما إذا كانت المجموعات نفسها باقية. تلك سياسة إضافية يمكن مناقشتها، وليست أثرًا تلقائيًا للأرقام المكتوبة في هذا التمرين.
احذر كذلك من صنع تعادل غير موجود بتقريب البواقي للعرض مبكرًا. لو كنت تقارن باقيين افتراضيين مقدارهما واحد وخمسون جزءًا من ألف، وأربعة وخمسون جزءًا من ألف، فإن الثاني أكبر، مع أن كليهما قد يظهر خمسة أجزاء من مئة عند عرضه بمنزلتين. احتفظ بالدقة المستخدمة في المقارنة، ثم اختصر العرض إن احتجت، مع توضيح ذلك. شكل الخليتين على الشاشة لا يكفي لإثبات تساوي القيم الأصلية.
راجع القيود قبل اعتماد جدول التسليم
أعد فحص ثلاثة أشياء في النتيجة: كل قيمة عدد صحيح غير سالب، ومجموع القيم يطابق الوحدات المتاحة، والزيادات من الأجزاء الصحيحة ذهبت إلى أصحاب البواقي المستحقة وفق القاعدة المعلنة. في تمرين الثلاثة عشر، هذه الزيادات لب وج فقط. لو وجدت الزيادة عند د بدل ج، فقد يبقى المجموع ثلاثة عشر، لكن الجدول لن يكون تطبيقًا صحيحًا للترتيب الذي حسبناه للبواقي الأربع.
الوزن صفر يعطينا حصة نظرية صفرًا في هذا الإعداد. فمثلًا، مع ثلاث وحدات ووزنين خمسة وصفر، تذهب الوحدات الثلاث إلى المجموعة الأولى ولا تحصل الثانية على شيء. إذا أردت ضمان وحدة للمجموعة الثانية، فقد أضفت شرطًا جديدًا يجب التعامل معه صراحة. أما إذا كانت الأوزان كلها أصفارًا، فلا يوجد مجموع موجب نقسم عليه لتكوين الحصص النسبية، ويجب الرجوع إلى المدخلات بدل اختراع توزيع ناتج عن قسمة غير معرفة.
السقف الخاص بالمجموعة يغير المسألة أيضًا. نتيجة أ في مثال الثلاثة عشر خمسة صناديق، لكن لو قيل إنها لا تستطيع استلام أكثر من أربعة، فلن يكون تسليم الخمسة ممكنًا. لا تنقل الصندوق الزائد إلى صف تختاره دون توثيق؛ ستحتاج إلى قاعدة لإعادة توزيع ما تجاوز السقف، وربما إلى مراجعة حصص بقية المجموعات. شرح تلك المسألة المقيدة يحتاج مدخلات إضافية، فلا نعرض جدولنا البسيط حلًا لها.
احفظ مع الجدول عدد الوحدات والأوزان الأصلية والحصص قبل التقريب والبواقي وقاعدة التعادل ووقت اعتماد النسخة. بهذه المعلومات يستطيع قارئ آخر إعادة الحساب وفهم مصدر أي فرق. وتذكر أن حفظ المجموع يثبت توافق الأعداد مع المخزون، لكنه لا يثبت وحده مناسبة الأوزان أو عدالة السياسة أو تساوي قيمة الصناديق. الطريقة تنجز جزءًا محددًا من القرار؛ أما شروط التوزيع الفعلي فيجب الاتفاق عليها بوضوح قبل التسليم.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.