وسيط قائمة مكررة: انسخ جميع القيم بالتساوي

حدد العملية قبل حساب الوسيط

الوسيط وسط المرتب للفردي، ومتوسط الوسطيتين للزوجي. ^[1]

نتعامل في هذه الورقة مع قوائم غير فارغة من أعداد حقيقية منتهية. كل خانة تمثل مشاهدة واحدة، بما فيها الخانات المتساوية في القيمة. الأعداد مؤلفة بلا وحدات؛ وإذا وضعت وحدة لمثال جديد، فاحتفظ بها عند النسخ. لا نستخدم قيمًا مفقودة أو أوزانًا مختلفة، ولا نحول القائمة إلى قياس لجمهور حقيقي.

نعني بالنسخ مرتين أن لكل مشاهدة في الناتج خانتين تحملان قيمتها. قائمة من ثلاث مشاهدات تصبح ستًا، وقائمة من أربع تصبح ثمانيًا. العملية تغير عدد الخانات، لكنها لا تغير العدد داخل الخانة. كتابة اثنين بدل واحد في كل خانة عملية أخرى، حتى لو سميتها مضاعفة في كلام مختصر.

إذا احتوت القائمة الأصلية مشاهدتين قيمتهما خمسة، فانسخ كلتيهما. ستجد أربع خمسات في الناتج، لا خمسَتين فقط. لا تستبدل القائمة بمجموعة قيم مختلفة قبل النسخ؛ هذا يحذف مشاهدات من المعطيات ويغير العملية التي نريد فحصها. نبدأ بالنسخ، ثم نرتب جميع الخانات ونحدد وسطها.

وتصلح العملية لقائمة من مشاهدة واحدة: الأصل أربعة، والناتج أربعة وأربعة؛ وسيطهما أربعة، لأن الخانتين تحملان القيمة القديمة نفسها دون تغيير.

انسخ القائمة الفردية كاملة

نبدأ بالقائمة المرتبة -6،1،13. عددها ثلاثة، والموضع الثاني يحمل واحدًا، فهو الوسيط. عند إنشاء نسختين من كل مشاهدة نحصل على -6،-6،1،1،13،13. أصبح العدد ستة، ولذلك نحدد الموضعين الثالث والرابع. كلاهما يحمل واحدًا، ومتوسطهما (1+1)/2=1، وهو الوسيط السابق نفسه.

لا نختار الثلاثة لأنها عدد المشاهدات القديمة، ولا الستة لأنها العدد الجديد. هذان عددان للخانات، وليسا جوابًا عن قيمة الوسط. كذلك لا نحسب متوسط -6 و13 لمجرد أنهما الطرفان؛ السؤال يطلب الوسط بعد ترتيب المشاهدات كلها، وليس متوسط الحدين في القائمة.

يعرض الرسم سطرًا للأصل وسطرًا للنسخ المتساوي. التظليل يحدد خانات الوسط التي حسبناها؛ عرض الخانة لا يمثل المسافة العددية بين قيمتها والقيمة المجاورة. لذلك تظهر -6 وواحد في خانتين متساويتين بصريًا، رغم أن الفرق العددي بينهما سبعة في المثال المكتوب.

ولمراجعة النقل، ضع علامة أمام كل مشاهدة قديمة بعد العثور على نسختيها في السطر الجديد. تحقق من زوج -6 وزوج الواحد وزوج 13. وجود ست خانات وحده لا يكفي؛ يمكن أن تكتب ست خانات بتوزيع آخر، فتفشل في تنفيذ شرط النسخ المتساوي رغم صحة العدد الكلي.

افحص القائمة الزوجية دون حذف الوسطيتين

قائمتنا الثانية -7،-1،5،17. فيها أربع مشاهدات، والموضعان الأوسطان الثاني والثالث يحملان -1 وخمسة. نحسب (-1+5)/2=2. الاثنان نتيجة المتوسط، وليس مشاهدة نضيفها إلى القائمة الأصلية. اكتب الوسيط في خانة مستقلة كي لا يتحول تقريرك عن الحساب إلى تعديل للمعطيات.

بعد النسخ المتساوي تصبح القائمة -7،-7،-1،-1،5،5،17،17. عددها ثمانية؛ الوسط بين الموضعين الرابع والخامس، وقيمتاهما -1 وخمسة أيضًا. لذلك يعود الحساب إلى (-1+5)/2=2. انتقلت رتب الوسط، لكن القيم التي تدخل في متوسطه لم تتبدل في هذه العملية.

إذا قلت إن الوسيط يجب أن يكون عددًا موجودًا في السطر، فراجع هذا المثال: الاثنان لا يظهر فيه، ومع ذلك أعطاه متوسط الوسطيتين. وإن اخترت -1 وحدها، فقد أخذت جانبًا واحدًا من الوسط الزوجي. ارجع إلى العدد ثمانية وحدد الموضعين معًا قبل كتابة النتيجة.

قارن النسخ المتساوي بنسخ قيمة واحدة

عد إلى -6،1،13، وأضف إليها نسختين من -6 وحدها، دون نسخ الواحد أو 13. القائمة المرتبة الآن -6،-6،-6،1،13. عددها خمسة، ووسطها المشاهدة الثالثة التي تحمل -6. تغير الوسيط من واحد إلى -6؛ هذه نتيجة عملية انتقائية مختلفة عن النسخ المتساوي في الرسم الأول.

لاحظ أن عبارة نسختين هنا تصف الإضافتين إلى الأصل، فيصبح عدد مرات ظهور -6 ثلاثًا. أما العملية المتساوية السابقة فأنشأت خانتين لكل مشاهدة في الناتج كله. سم العملية كاملة في الحل بدل استعمال كلمة مضاعفة وحدها، حتى يعرف القارئ ما الذي أبقيته وما الذي أضفته.

في الرسم المقارن، حافظنا على القائمة الأصلية نفسها، وغيرنا العملية فقط. لا نستنتج من المثال أن كل نسخ انتقائي يغير الوسيط بالضرورة؛ يكفي أنه يقدم حالة لا يبقى فيها ثابتًا. لذلك لا يصح نقل ضمان العملية المتساوية إلى أي قائمة زاد عدد عناصرها.

برهان الرتب للفردي والزوجي

البرهان التالي اشتقاق لعملية ورقتنا. سم عدد المشاهدات القديمة n، ورتبها أولًا. بعد نسخ كل مشاهدة مرتين، تحمل الخانتان 2j-1 و2j قيمة المشاهدة القديمة ذات الرتبة j. لا يضر تساوي قيم متجاورة؛ نتتبع الخانات نفسها دون إسقاط أي مشاهدة مكررة.

إذا كان n=2m+1، فوسط الأصل رتبته m+1. الناتج يحتوي 2n مشاهدة، ووسطه بين الرتبتين n وn+1، أي 2m+1 و2m+2. هاتان نسختا المشاهدة القديمة ذات الرتبة m+1. متوسط قيمتين متساويتين يعيد تلك القيمة، فيبقى الوسيط القديم في الحالة الفردية.

وإذا كان n=2m، فوسط الأصل بين الرتبتين m وm+1. وسط الناتج بين 2m و2m+1: الأولى النسخة الثانية من المشاهدة القديمة m، والثانية النسخة الأولى من المشاهدة القديمة m+1. إذن المتوسط يستخدم القيمتين القديمتين نفسيهما، فيثبت الوسيط في الحالة الزوجية أيضًا.

تمرين مع جواب ومراجعة

ابدأ بالقائمة -8،0،2،16. المطلوب تنفيذ عمليتين منفصلتين على الأصل: إنشاء نسختين من كل مشاهدة، ثم في حالة أخرى إضافة نسختين من 16 وحدها. قبل الحل، احسب وسيط الأصل من الصفر والاثنين: (0+2)/2=1. احتفظ بالأصل لكل حالة، ولا تنفذ الثانية على ناتج الأولى.

في النسخ المتساوي، الناتج -8،-8،0،0،2،2،16،16. الوسط بين الموضعين الرابع والخامس، أي صفر واثنين، والوسيط واحد. وفي الإضافة الانتقائية، الناتج -8،0،2،16،16،16. الوسط بين الثالث والرابع، أي اثنين و16، ومتوسطهما (2+16)/2=9. تغيرت العملية فتغير ما دخل في الحساب.

راجع جوابك بكتابة عدد الخانات ثم رتب الوسط ثم قيمه. إن كتبت واحدًا للعملية الانتقائية، فربما نقلت نتيجة النسخ المتساوي دون إعادة ترتيب الحالة الثانية. وإن كتبت تسعة للنسخ المتساوي، فافحص هل نسخت 16 أكثر من بقية المشاهدات. سجل القائمة الناتجة كاملة لتعرف موضع الخطأ بدل تبديل الجواب وحده.