إذا عرفت منتصف قطعة وطولها، فقد استطعت تقييد طرفيها دون استرجاعهما بصورة وحيدة. سننشئ ثلاث قطع مختلفة بمنتصف اثنين وواحد وطول عشرة، ثم نكتب دائرة الإمكان. بعد ذلك نضيف ميل أربعة أثلاث ونميز تعيين زوج النقطتين من تسمية أحد الطرفين.
الخلاصة السريعة
المنتصفM=(2,1) والطول10 لا يحددان الطرفين وحدهما. اخترA على دائرة مركزهاM ونصف قطرها5، ثم اجعلB=2M−A. الميل4/3 يحدد الزوج(5,5) و(−1,−3)، وشرطx_A>2 يختار اسمA للنقطة(5,5).
- الأزواج(7,1) و(−3,1)، و(2,6) و(2,−4)، و(5,5) و(−1,−3) كلها تحققM والطول10. الأول أفقي، والثاني رأسي بميل غير معرف، والثالث ميله4/3.
- اكتبA=M+(u,v) وB=M−(u,v)، فيكونu²+v²=25. الأسرةA=(2+5cosθ,1+5sinθ)،B=(2−5cosθ,1−5sinθ) تشمل جميع الاتجاهات في نموذجنا.
- إضافة نصف دورة إلىθ تبدلA وB دون تغيير القطعة الهندسية. الميل المعلوم يحدد اتجاه الخط ولا يحسم اسمي الطرفين؛ شرط تسمية إضافي يختار أحد الحلين الموقّعين.
- للميل4/3 نحصل علىu=±3 وv=±4 بالإشارة نفسها. للميل المنتهيm عامةu=±5/√(1+m²)،v=mu؛ الحالة الرأسية تعالجu=0 مباشرة دون قسمة على صفر.
- اختيارA=(7,1) وB=(2,6) مستقلين من الدائرة يعطي منتصفًا(4.5,3.5) وطول√50؛ تساوي البعدين عنM وحده لا يكفي. يجب اختيار طرفين متقابلين.
- إذا عرفناA=(4,4)، فرض المنتصفB=(0,−2) وطول√52، فلا يوافق شرط10. وعند الطول صفرA=B=M، ولا يوجد ميل معرف أو اتجاه قطعة غير صفرية.
- الرسوم والأعداد مؤلفة في محاور ديكارتية متعامدة ووحدة مشتركة. مقياس المحورين متساوٍ؛ الصورة لا تعطي اتجاهًا أو دقة أو بيانات قياس جديدة.
حدد المنتصف والطول وما لم يعط بعد
يعرف مرجع ماث وورلد منتصف القطعة بأنه النقطة التي تقسمها إلى جزأين متساويين في الطول، ويعرض في الإحداثيات الديكارتية حساب إحداثيي المنتصف من متوسطي إحداثيي الطرفين. نستعمل هذين المعنيين في مسألة أصلية، ولا ننقل رسومات المرجع أو إنشاءاته بالفرجار أو أمثلته عن المثلثات. سنسأل عن استرجاع الطرفين عندما نعرف المنتصف والطول بدل أن نبدأ بطرفين معلومين. [1]
نختار نقطة المنتصف M=(2,1)، وطول القطعة عشرة، ونبحث عن طرفين A وB في مستوى ذي محورين متعامدين ووحدة طول مشتركة. جميع الأعداد دقيقة في المثال، ولم نحول قياسات تقريبية أو إحداثيات على خريطة إلى بيانات مثالية. لا يعطينا السؤال ميل القطعة أو اتجاهها أو اسم الطرف الذي يقع إلى اليمين. لذلك لا نضيف هذه المعلومات من رسم نختاره نحن ثم ندعي أنها كانت ضمن المعطيات.
الفرق بين العثور على مثال واسترجاع حل وحيد أساسي هنا. إذا كتبت نقطتين تحققان المنتصف والطول، فقد أنشأت حلًا ممكنًا، لكنك لم تثبت أنهما الطرفان الوحيدان. سنعرض ثلاثة أمثلة مختلفة، ثم نكتب الأسرة التي تغطي جميع الاحتمالات. وبعد ذلك نضيف ميلًا معلومًا ونفحص هل يحدد زوج النقطتين فقط أم يحدد كذلك أيهما يحمل الاسمA وأيهما يحمل الاسمB.
استخرج الطرف الثاني من الأول والمنتصف
اكتب A=(x_A,y_A) وB=(x_B,y_B). شرط المنتصف في مثالنا يعطي x_A+x_B=4 وy_A+y_B=2. فإذا اخترنا الطرف الأول، أصبح الطرف الثاني B=(4−x_A,2−y_A). هذه العلاقة تحفظ المنتصف لكنها لا تستعمل شرط الطول بعد. لذلك يجب أن نفحص بعد اختيارA هل ينتج طول عشرة بالفعل، ولا نعد كل اختيار عشوائي للطرف الأول حلًا لجميع شروط السؤال.
يمكن فهم العلاقة كإزاحتين متعاكستين عنM. إذا كان A=(2+u,1+v)، وجب أن يكون B=(2−u,1−v). انتقالA عن المنتصف له المركبتانu وv، وانتقالB له المركبتان−u و−v. ليس المطلوب أن يتساوى بعد النقطتين عنM فقط؛ المطلوب أيضًا أن تكونا على جهتين متقابلتين بالصيغة التي تحفظ متوسط الإحداثيات. سنرى لاحقًا كيف يفشل اختيار نقطتين مستقلتين من دائرة لها المركز نفسه.
لاحظ أن الإحداثي السالب ممكن في هذا المستوى. إذا أعطتنا الصيغة طرفًا إحداثيه الأفقي سالب ثلاثة، فذلك يحدد موضعًا يسار أصل المحور، ولا يجعل طول القطعة سالبًا. المنتصف له إحداثيان، والطول عدد غير سالب، ولا تتبادل هذه الكميات أدوارها. حافظ كذلك على ترتيب الأفقي ثم الرأسي في كل زوج؛ تبديل ترتيب أحد الزوجين دون الآخر يغير المسألة بدل أن يختصر كتابتها.
أدخل الطول لتحديد دائرة الإمكان
الفرق بين الطرفين المكتوبين حولM هو A−B=(2u,2v). لذلك مربع طول القطعة في محاورنا المتعامدة يساوي4u²+4v². نطلب أن يساوي مئة، لأن طول القطعة عشرة، فنحصل على u²+v²=25. كل طرف يبعد عنM خمس وحدات، ويكون الطرف الآخر صورته المقابلة عبرM. العدد خمسة هو نصف طول القطعة، وليس طولها الكامل أو إحداثيًا يجب وضعه على أحد المحورين في كل حل.
مجموعة اختيارات الطرف الأول هي الدائرة (x_A−2)²+(y_A−1)²=25. اختر نقطة على هذه الدائرة، ثم احسب الطرف الثاني من علاقة المنتصف؛ عندئذ تحقق الطول أيضًا. أما اختيار نقطة داخل الدائرة أو خارجها فيحافظ على المنتصف بعد الانعكاس، لكنه ينتج طولًا أصغر أو أكبر من عشرة. بهذا نميز وظيفة كل شرط: المنتصف يربط الطرفين، والطول يحدد مقدار الإزاحة منM إلى أي منهما.
لا نقول إن القطعة نفسها منحنى دائري؛ هي قطعة مستقيمة لكل اختيار من اختيارات الطرفين. الدائرة تصف الأماكن الممكنة للطرف الأول عندما نسمح بتغير اتجاه القطعة مع بقاء منتصفها وطولها ثابتين. يمكن أن نعرض قطعًا كثيرة تمر بالمركز في صورة واحدة أو في لوحات منفصلة، لكن كل منها حل مختلف. وصف مجموعة الحلول لا يحولها إلى مسار جسم نتحكم فيه أو إلى قياسات نفذناها.
تحقق من ثلاث قطع مختلفة
الاختيار الأفقي هو A=(7,1) وB=(−3,1). متوسط الإحداثيين الأفقيين(7−3)/2=2، ومتوسط الرأسيين واحد، فيبقى المنتصفM. الفرق بين الطرفين أفقيًا عشرة ورأسيًا صفر، فيكون الطول عشرة. هذه قطعة ذات ميل صفر، لكنها ظهرت لأننا اخترنا إزاحة(5,0)، وليس لأن إحداثيي المنتصف أو الطول ألزمَا القطعة بأن تكون أفقية.
الاختيار الرأسي هو A=(2,6) وB=(2,−4). المتوسط الأفقي اثنان والرأسي(6−4)/2=1، والفرق الرأسي عشرة. لا توجد هنا قيمة عددية منتهية للميل المحسوب كنسبة فرق الرأسي إلى فرق الأفقي، لأن المقام صفر. هذا الحل لا يناقض شرط الطول أو المنتصف، وإنما يبين أن المعطيات الأصلية تسمح بقطعة رأسية إلى جانب القطعة الأفقية. لا نصف الميل غير المعرف بأنه صفر لمجرد تساوي الإحداثيين الأفقيين.
والاختيار المائل هو A=(5,5) وB=(−1,−3). متوسط الأفقيين اثنان ومتوسط الرأسيين واحد، والفرق بين الطرفين(6,8). مربعا الفرقين36 و64 مجموعهما مئة، فيكون الطول عشرة. ميل هذه القطعة8/6=4/3. تحققت المعطيات نفسها في ثلاثة أزواج مختلفة، لذلك لا يوجد استرجاع وحيد للطرفين من المنتصف والطول وحدهما. الأسماءA وB في الأمثلة اختيارات معلنة سنراجع أثر تبديلها.
| الاختيار المؤلف | الطرفA | الطرفB | الطول | الميل |
|---|---|---|---|---|
| أفقي | (7,1) | (−3,1) | 10 | 0 |
| رأسي | (2,6) | (2,−4) | 10 | غير معرف |
| مائل | (5,5) | (−1,−3) | 10 | 4/3 |
اكتب الأسرة التي تشمل جميع الاتجاهات
يمكن التعبير عن الإزاحة ذات الطول خمسة بالصيغة d=(5cosθ,5sinθ). تصبح A=(2+5cosθ,1+5sinθ)، وB=(2−5cosθ,1−5sinθ). مجموع إحداثيي الطرفين يعطي شرط المنتصف مباشرة، ومربع طولd يساوي25 لأن cos²θ+sin²θ=1. لذلك تحقق كل زاوية نختارها زوجًا بطول عشرة ومنتصفM. هذه طريقة إنشاء حلول أصلية، وليست تقريرًا عن اتجاه قطعة لم نعط معلوماته.
وفي الاتجاه المعاكس، كل حل في مثالنا له إزاحةd ذات طول خمسة كما أثبتنا من شرط الطول. يمكن وصف هذه الإزاحة بزاوية في المستوى، فتدخل في الأسرة نفسها. لهذا لا نعرض الأسرة بوصفها جزءًا من الحلول فقط؛ هي تغطي جميع الأوضاع الممكنة في النموذج الديكارتي المعلن. نستعمل قيمًا حقيقية للزاوية والإحداثيات، ولا نفرض أن جميع النقط تقع عند إحداثيات صحيحة لأن الأمثلة الثلاثة الأولى فعلت ذلك.
عندθ=0 نحصل على القطعة الأفقية، وعندθ=90° على الرأسية. أما الإزاحة(3,4) فتحقق طول خمسة وتنتج القطعة المائلة التي عرضناها. يمكن اختيار زاوية أخرى ذات إحداثيات كسرية أو غير صحيحة، ويبقى الزوج مقبولًا. لا تجعل شبكة الرسم التي تظهر الأعداد الصحيحة قيدًا جديدًا على السؤال؛ التدريج يساعد في القراءة لكنه لا يحدد جميع الأماكن التي يمكن أن يقع فيها الطرف الأول.
فرق بين الزوج الهندسي وتسمية الطرفين
إذا أضفت نصف دورة إلى الزاوية، تغيرت إزاحةd إلى−d. عندئذ تتبادل النقطتانA وB، لكن القطعة الهندسية التي تصل بينهما تبقى نفسها. إذن بعض اختيارات الزاوية تعطي زوجًا مرتبًا مختلفًا بالأسماء دون أن تعطي قطعة جديدة. إذا كنت تعد القطع غير المسماة، فلا تعد التبديل وحده قطعة ثانية. وإذا كان السؤال يطلب إحداثياتA بالتحديد، فلا تتجاهل أن تغيير الأسماء يؤثر في الجواب الذي ستكتبه.
في مثال القطعة المائلة يمكنك كتابة الزوجA=(5,5)،B=(−1,−3)، أوA=(−1,−3)،B=(5,5). كلاهما يوافق المنتصف والطول والميل4/3. الميل لا يتغير عند التبديل لأن البسط والمقام ينقلبان في الإشارة معًا، فتبقى النسبة نفسها. معرفة خط اتجاه القطعة لا تساوي معرفة اتجاه المتجه منB إلىA، ولا تحدد أي نقطة سماها صاحب السؤال بالحرفA دون معلومة أخرى.
إذا عرضت الأسرة بالزوايا من صفر إلى دورة كاملة دون تقييد الأسماء، فاذكر هذه الازدواجية. يمكن تمثيل القطع غير المرتبة بنصف دورة مناسب مع استبعاد أحد الطرفين من مجال الزوايا لتجنب التكرار، لكننا لا نحتاج إلى ذلك لاختبار وجود حلول متعددة. ما نحتاجه هو الفصل في الجواب بين عبارة زوج النقطتين وبين عبارة النقطةA. التصريح بالمقصود يمنع تقديم حل صحيح للقطعة بوصفه تعيينًا غير مبرر لأحد اسمي طرفيها.
أضف ميلًا معلومًا واسترجع الزوج
لنضف شرطًا صريحًا أن الميل يساوي4/3. مع الإزاحةd=(u,v)، يكون فرق الطرفين(2u,2v)، ولذلك يكون الميلv/u عندماu غير صفري. نحصل على v=(4/3)u. نعوض في u²+v²=25 فتصبح u²+(16/9)u²=25، أي(25/9)u²=25. إذنu²=9 وu=±3، وتتبعهv=±4 بالإشارة نفسها. هذان الاختياران يصفان الزوج الهندسي ذاته مع تبادل الأسماء.
لذلك صار زوج النقطتين الوحيد تحت هذا الشرط هو(5,5) و(−1,−3). لا نختارu=3 فقط لأن الجذر الموجب يبدو معتادًا في حساب طول؛ المتغيرu مركبة موقعة، وليس مقدارd. عند استخراج جذر معادلةu²=9 يجب إبقاء الاحتمالين، ثم استعمال شرط آخر إذا أردنا تسميةA. إهمال الحل السالب هنا يخفي غموض التسمية بدل أن يثبت أنه غير موجود في السؤال.
بصورة عامة، لميل منته معلومm وطول عشرة نحصل على u=±5/√(1+m²) وv=mu. يمكن لهذه الصيغة أن تعين زوجًا غير مرتب على المستقيم الذي يمر بالمنتصف وله الميل المحدد. لكنها لا تشمل القطعة الرأسية بوضع رقم كبير مكان ميل غير معرف؛ للحالة الرأسية نستعملu=0 وv=±5 مباشرة. الحفاظ على هذا الفصل أوضح من محاولة القسمة على صفر ثم إعطاء نتيجة عددية لا تملك معناها في النموذج.
استعمل شرط تسمية معلنًا
إذا أعطى السؤال بالإضافة إلى الميل4/3 أن الإحداثي الأفقي للطرفA أكبر من اثنين، نختارu=3. يصبحA=(5,5) وB=(−1,−3). الآن جاء اختيار الاسم من شرط إضافي واضح، لا من ترتيب عرضنا للأمثلة أو لون نقطة في الصورة. كان بإمكان السؤال أن يطلبA يسارM، فنختار الحل الآخر. هذان جوابان لسؤالين مختلفين في شرط التسمية، وليسا خلافًا في حساب المنتصف أو الميل.
يعرض الرسم الثاني القطعة على المستقيم ذي الميل4/3 ويضع الشرط x_A>2 بجوار النقطة المختارة. المركزM معروف، ونقطتا التقاطع مع دائرة نصف قطرها خمسة تحددان الزوج. لكن حرفA لا يأتي من كون النقطة أعلى في الصورة وحده؛ يأتي من الشرط المكتوب الذي اخترناه لهذه النسخة. لو حذفت الشرط، وجب أن تعرض الزوج دون أن تزعم أن أسماءه ثبتت من الميل والطول فقط.
افحص كذلك توافق شرط التسمية مع بقية المعلومات. في القطعة الرأسية كلتا النقطتين لهما إحداثي أفقي اثنان، فلا يمكن تعيينA بشرط x_A>2 مع بقاء تلك القطعة. عندئذ يوجد تناقض في الشروط الجديدة، لا صعوبة نحلها بإمالة القطعة دون إعلان تغييرها. يمكن أن يختار شرط رأسي مثل y_A>1 الطرف العلوي في الحالة الرأسية، لكن هذا شرط مختلف يحتاج إلى ذكره صراحة.
لا تختَر طرفين مستقلين من الدائرة
قد يقول قارئ إن كل طرف يبعد خمس وحدات عنM، فيختارA=(7,1) وB=(2,6) من الدائرة. كل نقطة على بعد خمسة فعلًا، لكن منتصفهما هو(4.5,3.5)، وليس(2,1). وطول القطعة الواصلة بينهما√50، وليس عشرة. هذا المثال يكشف أن دائرة الأماكن الممكنة ليست ترخيصًا باختيار الطرف الثاني مستقلًا عن الأول؛ العلاقةB=2M−A تربطهما وتفرض أن يكونا متقابلين.
تساوي بعد نقطتين عنM يضعهما على دائرة مشتركة، لكنه وحده لا يثبت أنM يقع على القطعة بينهما أو يقسمها إلى نصفين. في مثالنا التعويض بمتوسط الإحداثيات يكشف الخطأ سريعًا. إذا اخترتA أولًا، فاحسبB من صيغة الانعكاس، ثم اختبر الطول. بهذا لا تحتاج إلى تخمين موضع مقابل من الرسم، ولا تستخدم مجرد تساوي علامتي طول من المركز لإثبات كل شروط المسألة دفعة واحدة.
الفرق بين اختيارين مستقلين واختيار مرتبط يظهر أيضًا في عد الحلول. لدينا حرية اتجاه واحدة بعد تثبيت المنتصف والطول، لا حرية نقطتين غير مرتبطتين على الدائرة. كل اختيار للطرف الأول يعين الثاني بالانعكاس، ثم قد ينتج اختيار مقابل الزوج نفسه مع تبديل الأسماء. لا تقدم مساحة القرص أو أي نقطتين من محيطه بوصفهما مجموعة حلول السؤال؛ الأماكن الممكنة للطرف الأول والعلاقة بين الطرفين وظيفتان مختلفتان يجب الإبقاء عليهما.
اختبر طرفًا معلومًا مع شرط الطول
إذا أعطيناA=(5,5) والمنتصفM، فإن الطرف الثاني من العلاقةB=(4−5,2−5) يساوي(−1,−3). تحقق الطول عشرة كما رأينا. لا نحتاج إلى الميل لإيجادB في هذه الحالة، لأن الطرف الأول والمنتصف يعينانه مباشرة. ومع ذلك يكون اختبار الطول ضروريًا إذا ظل ضمن شروط السؤال؛ لا نفترض أن المعلومات الإضافية كلها متوافقة لمجرد أن إحدى العلاقات أعطت جوابًا وحيدًا.
جرب الطرف المعلومA=(4,4) معM نفسه. تعطي صيغة المنتصفB=(0,−2). الفرق بينهما(4,6)، فيكون الطول√52=2√13، وليس عشرة. إذن لا يوجد زوج يحقق هذا الطرف المعلوم والمنتصف والطول عشرة معًا. لا يصلح أن نمدB على مستقيم حتى يصبح الطول عشرة ثم نحتفظ بادعاء أن المنتصف لم يتغير؛ بمجرد تثبيتA وM كانت نقطةB قد تحددت، وتحريكها يغير شرطًا من المعطيات.
هذا الاختبار مثال على فحص توافق المعلومات قبل استرجاع مجهول. قد نجد حلًا لعلاقة المنتصف، لكن ذلك لا يثبت وجود حل لجميع الشروط. اكتب العلاقات كلًا على حدة، ثم عوض بالمرشح في البقية. إذا فشل اختبار الطول، فاذكر التناقض في البيانات المعلنة بدل تقديم نقطة معدلة بصمت. جميع النقط في هذا التدريب مؤلفة، فلا نفسر الفشل بوصفه خطأ جهاز أو شخص حقيقي لم نر بياناته.
راجع القطعة الصفرية ومقياس الرسم
إذا أصبح طول القطعة صفرًا مع بقاء منتصفهاM، فإنu²+v²=0، ولا يمكن لمربعين حقيقيين غير سالبين أن يجمعا إلى صفر إلا إذا كانu=v=0. تتطابق النقطتانA=B=M. هنا يوجد زوج إحداثيات محدد لكنه لا يعطي اتجاه قطعة غير صفرية أو ميلًا معرفًا؛ نسبة فروق الإحداثيات تصبح0/0. لا تسمي هذا الميل صفرًا أو تستعمله لتحديد اتجاه أفقي من قطعة اختزلت إلى نقطة.
في الرسم الأول نستخدم ثلاث لوحات بمقياس متساوٍ للمحورين داخل كل لوحة، ونرسم الدائرة المشتركة والقطعة المناسبة. تشابه طول الوحدات في الاتجاهين ضروري لقراءة الشكل بوصفه دائرة ولرؤية معنى الطول عشرة هندسيًا. لو مددنا عرض الصورة وحده، فقد تبدو الدائرة بيضاوية دون تغير المعادلة التي حسبناها. لذلك لا نستخرج طولًا جديدًا من شكل تغير حجمه على الشاشة أو من عدد البكسلات دون معرفة المقياس.
كل الرسوم حسابات من نموذج ديكارتي ذي محورين متعامدين ووحدة مشتركة، وليست إحداثيات جغرافية أو قياسات لمسافة على سطح منحني. لا نعمم صيغة المسافة العددية هنا على أي أرقام تحمل اسمي محورين في تطبيق آخر دون فحص مرجعها. داخل المسألة التي صرحنا بها، الأعداد والصيغ كافية للحساب، والصورة تبين الحلول ولا تضيف اتجاهًا أو دقة إلى المعطيات. إن تغير النظام أو دقة القيم وجب إعادة تحديد السؤال قبل استعمال النتيجة.
اكتب جوابًا يميز الإمكان من الاسترجاع
ابدأ بشرط المنتصف لتربط الطرفين، ثم أدخل الطول لتحدد بعد كل منهما عنM. اعرض أكثر من زوج أو الأسرة الكاملة عندما تريد بيان عدم الوحدة، ولا تقدم أول مثال وجدته بوصفه الحل الوحيد. إذا وصل ميل معلوم، استخرج الزوج مع إبقاء الاحتمالين الموقّعين للمركبة. وبعد ذلك اسأل هل أعطي شرط يسمّي طرفًا بعينه، أم أن الجواب المطلوب زوج نقاط دون ترتيب الحرفين.
في مثالM=(2,1) وطول عشرة، يمكن للطرف الأول أن يقع في أي موضع من دائرة نصف قطرها خمسة، والطرف الثاني ينعكس إلى الموضع المقابل. إضافة الميل4/3 تعين الزوج(5,5) و(−1,−3)، وإضافة x_A>2 تسميA. اختيار نقطتين مستقلتين من الدائرة قد يخالف المنتصف والطول، وإعطاءA=(4,4) يجعل طول عشرة غير متوافق معM. وعند الطول الصفري تتطابق النقطتان دون ميل أو اتجاه محدد.
المرجع يدعم معنى المنتصف ومتوسط إحداثيي الطرفين، أما الدائرة والأسرة والأمثلة وفحص الميل والتسمية والتوافق فحسابات أصلية لهذه المقالة. لم ننقل إنشاءات المرجع أو صوره أو أمثلته عن مثلثات ومواضع أخرى. النتيجة التي نحتفظ بها هي أن المنتصف والطول يحددان قيودًا مفيدة على الطرفين، وأن استرجاع الزوج أو تسميته يحتاج إلى معلومات مختلفة بحسب المطلوب. لكل معلومة إضافية وظيفة نختبرها بدل افتراض أنها تحسم جميع المجهولات.
المصادر ومتابعة القراءة
- ماث وورلد: منتصف القطعة وإحداثياه الديكارتيان (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.