يمكن تحديد الكرة الأثقل بين تسع كرات بوزنتين ثابتتين: نقارن أولًا الكرات ١، ٢، ٣ بالكرات ٤، ٥، ٦، ثم نقارن ١، ٤، ٧ بالكرات ٢، ٥، ٨. يحدد زوج النتيجتين رقم الكرة، بشرط أن تكون هناك كرة أثقل واحدة فقط، وأن تتساوى كتل البقية.
الخلاصة السريعة
نفّذ المقارنتين المحددتين دون تغيير الخطة بناءً على النتيجة الأولى، ثم ابحث عن صف النتيجتين في الجدول. لا يحتاج هذا الحل إلى قراءة الكتل بالغرام، لكنه يفترض ميزان كفتين مثاليًا.
- اللغز المعروف يفترض تسع كرات متشابهة، واحدة أثقل وثماني كرات متساوية؛ أما الخطة هنا فمقارنتان مقررتان مسبقًا.
- في المقارنة الأولى: ١، ٢، ٣ يسارًا مقابل ٤، ٥، ٦ يمينًا. وفي الثانية: ١، ٤، ٧ يسارًا مقابل ٢، ٥، ٨ يمينًا.
- احتفظ بترتيب النتيجتين؛ مثلًا «اليسار أثقل، ثم اليمين أثقل» يعني الكرة ٢.
- لكل كرة زوج مختلف من المواضع؛ وتوازن المقارنتين يعني الكرة ٩، لأنها الوحيدة التي تبقى خارجهما.
- في المثال العددي، إذا كانت الكرة ٥ كتلتها ٢١ غرامًا والبقية ٢٠، يصبح اليمين أثقل في المقارنتين.
- لا تستخدم الجدول إذا كانت الكرة المختلفة قد تكون أخف، أو كانت هناك كرتان مختلفتان؛ هذه الشروط قد تعطي جوابًا خاطئًا.
ما الذي نعرفه قبل بدء اللغز؟
يعرض مشروع NRICH بجامعة كامبريدج لغز تسعة أوزان، أحدها أثقل قليلًا، والمطلوب تحديده بوزنتين. وتتضمن الحلول المنشورة اختيار المقارنة الثانية بعد معرفة المجموعة المشتبه بها. سنفحص هنا ترتيبًا ثابتًا مختلفًا: تُكتب المقارنتان كاملتين قبل رؤية أي نتيجة. هذا عرض مستقل للجدول وحسابه، وليس ادعاءً بابتكار اللغز المعروف. [1]
رقّم الكرات من واحد إلى تسعة، وأبقِ الرقم ملازمًا للكرة حين تنقلها. لا يهم اللون ولا ترتيبها على الطاولة؛ الرقم مجرد اسم يمنع تبديل الأشياء في سجل الحل. سنسمّي الكفتين «اليسار» و«اليمين» كما يراهما الشخص الذي ينفذ الخطة. إن وقف شخص مقابل الميزان فعليه استخدام التسميتين المتفق عليهما، كي لا يكتب النتيجة المعاكسة لمجرد أنه ينظر من الجهة الأخرى.
في هذه المسألة لا نبحث عن مقدار الزيادة، ولا نريد ترتيب جميع الكرات من الأخف إلى الأثقل. المطلوب هو اسم واحد، كأن تقول «الكرة الخامسة». لذلك ستتكون ورقة الإجابة من خانتين للنتائج وخانة أخيرة لرقم الكرة. اكتب قبل البدء أن الخانة الأولى تخص المقارنة الأولى؛ فالنتيجة ليست قائمة كلمات يجوز تبديل ترتيبها، بل وصف لتجربتين محددتين لهما كرات مختلفة.
يمكنك متابعة البرهان بالورقة وحدها، ثم استعمال أرقام افتراضية للتأكد من المجاميع. هذا مناسب إذا لم تتوفر مجموعة كرات تحقق الشروط فعلًا. الصورة الرئيسية توضح الأدوات بصورة مولدة، ولا تثبت أن تجربة وزن أُجريت أو أن الكرات المصورة مختلفة الكتلة. وستبقى أمثلة الغرامات في الشرح حسابات مؤلفة، لا قراءات مأخوذة من ميزان حقيقي أو مواصفات لمنتج مطلوب شراؤه.
اكتب المقارنتين قبل أن ترى النتيجة
جهّز المقارنة الأولى بوضع الكرات ذات الأرقام واحد واثنين وثلاثة في الكفة اليسرى، وأربعة وخمسة وستة في اليمنى. تبقى سبعة وثمانية وتسعة خارج الميزان. سجّل واحدة من العبارات الثلاث: «اليسار أثقل»، أو «اليمين أثقل»، أو «توازن». لا تستنتج رقم الكرة الآن؛ فهذه النتيجة تعطي مجموعة من ثلاثة أرقام، وما زالت المقارنة الثانية مطلوبة للفصل بينها داخل تلك المجموعة.
أفرغ الكفتين تمامًا، ثم أعد الترتيب للمقارنة الثانية وفق الجدول، مهما كانت النتيجة الأولى. ضع واحدًا وأربعة وسبعة في اليسار، واثنين وخمسة وثمانية في اليمين، واترك ثلاثة وستة وتسعة خارج الميزان. ليست هذه دعوة لإعادة وزن المجموعة التي مالت سابقًا؛ بل توزيع جديد يعبر المجموعات الثلاث. الكرة الأولى تدخل اليسار مرتين، بينما الكرة الرابعة تنتقل من اليمين إلى اليسار.
| المقارنة | اليسار | اليمين | خارج الميزان |
|---|---|---|---|
| الأولى | ١، ٢، ٣ | ٤، ٥، ٦ | ٧، ٨، ٩ |
| الثانية | ١، ٤، ٧ | ٢، ٥، ٨ | ٣، ٦، ٩ |
تخيل الأرقام في مربع من ثلاثة صفوف: الصف الأول واحد واثنان وثلاثة، والثاني أربعة وخمسة وستة، والثالث سبعة وثمانية وتسعة. المقارنة الأولى تميز الصف، والثانية تميز العمود. هذه طريقة لتذكر توزيعنا، وليست شرطًا يلزمك بوضع الكرات على شكل مربع. قد تضعها في أكياس مرقمة أو ترسمها في دفتر؛ المهم أن تبقى عضوية كل كفة كما يحددها الجدول حرفيًا.
لاحظ أننا نضع العدد نفسه من الكرات في جانبي كل مقارنة. فإذا افترضنا مؤقتًا أن كل كرة عادية كتلتها عشرون غرامًا، يكون الأساس ستون مقابل ستين. الزيادة الوحيدة ستظهر في الكفة التي تحمل الكرة الخاصة. أما إذا وضعت كرتين في جانب وثلاثًا في الآخر، فلن يبقى هذا الأساس المتساوي موجودًا، ولن يكون ميل الميزان بالضرورة علامة على وجود الكرة الخاصة في الجانب الأثقل.
اقرأ النتيجتين معًا
استخدم الجدول التالي بعد تنفيذ المقارنتين. العمود الأول هو ما سجلته للمقارنة الأولى، والثاني ما سجلته للثانية، والثالث هو الجواب. مثلًا، إذا مال اليسار أولًا ثم مال اليمين، فاختر الصف الذي يجمع هاتين العبارتين بهذا الترتيب؛ ستجد الرقم اثنين. لا تبحث عن كفة كانت أثقل مرتين فقط، فبعض الأجوبة تتضمن انتقال الكفة الأثقل، وبعضها يتضمن توازنًا في إحدى المقارنتين أو كليهما.
| نتيجة الأولى | نتيجة الثانية | الكرة |
|---|---|---|
| اليسار أثقل | اليسار أثقل | ١ |
| اليسار أثقل | اليمين أثقل | ٢ |
| اليسار أثقل | توازن | ٣ |
| اليمين أثقل | اليسار أثقل | ٤ |
| اليمين أثقل | اليمين أثقل | ٥ |
| اليمين أثقل | توازن | ٦ |
| توازن | اليسار أثقل | ٧ |
| توازن | اليمين أثقل | ٨ |
| توازن | توازن | ٩ |
لنفكك جواب الكرة الثانية دون الاعتماد على حفظ الصف. حين يكون اليسار أثقل في المقارنة الأولى نحصر الاحتمال في واحد واثنين وثلاثة. في المقارنة الثانية يدخل واحد يسارًا، واثنان يمينًا، ويبقى ثلاثة خارج الميزان. إذا ظهر الميل إلى اليمين، فالرقم اثنان هو الوحيد من المجموعة المشتبه بها الموجود هناك. وجود خمسة وثمانية معه لا يخلق شكًا جديدًا؛ فقد استبعدتهما نتيجة المقارنة الأولى.
وإذا كان اليمين أثقل أولًا ثم تحقق التوازن، نبدأ من أربعة وخمسة وستة. توزع المقارنة الثانية أربعة إلى اليسار وخمسة إلى اليمين، ولا تضع ستة على الميزان. التوازن يستبعد وجود الزيادة في أي من الكفتين، فيبقى ستة. احرص على قراءة «لم تدخل المقارنة الثانية» داخل المجموعة المناسبة، لا داخل جميع الأرقام؛ وإلا ستضيف ثلاثة وتسعة إلى الجواب رغم أن النتيجة الأولى استبعدتهما بالفعل.
أما التوازن مرتين فلا يعني أن المسألة خالية من كرة خاصة. تحت شرط وجود كرة أثقل واحدة، تحدد النتيجة الأولى المجموعة سبعة وثمانية وتسعة، ثم تستبعد الثانية سبعة وثمانية لأن كلًا منهما موضوع في كفة. يبقى تسعة خارج المقارنتين، لكنه معروف بالاستبعاد. هذه نتيجة كاملة دون وزن الكرة التاسعة نفسها؛ مصدر معرفتنا هو مكانها المختلف في الخطة، لا مشاهدة مقدار كتلتها مباشرة.
لماذا لا تتكرر الإجابة لكرتين؟
لنمنح كل كرة وصفًا من جزأين، هما موضعها في المقارنة الأولى ثم موضعها في الثانية. وصف الأولى «يسار، يسار»، ووصف الثانية «يسار، يمين»، ووصف الثالثة «يسار، خارج». نكمل بالطريقة نفسها فنحصل على الأوصاف التسعة الموجودة في الجدول. لا توجد كرتان تحملان الوصف نفسه. ولهذا، عندما نعرف أين ظهرت الزيادة في كل مرة، يمكننا الرجوع إلى رقم واحد بدل مجموعة أرقام متشابهة.
يمكن إثبات ارتباط الموضع بالنتيجة بكتلة رمزية لا تعتمد على مثال العشرين غرامًا. سمّ كتلة الكرة العادية «ك»، ومقدار الزيادة الموجب «ز». إذا دخلت الكرة الخاصة اليسار، صار مجموع اليسار ثلاثة أمثال «ك» مضافًا إليها «ز»، ومجموع اليمين ثلاثة أمثال «ك». وإذا بقيت خارج الميزان تساوى المجموعان. لذلك لا يغير مقدار الزيادة الموجب عنوان النتيجة في النموذج المثالي؛ يغير فرق الكتلة فقط.
ينطبق الحساب نفسه على المقارنة الثانية لأنها تضم ثلاث كرات مقابل ثلاث أيضًا. نجمع معلومتين مستقلتين عن موضع الكرة في توزيعين مختلفين. ليس المطلوب إجراء حساب احتمالات أو افتراض أن اختيار الكرة عشوائي؛ حتى لو تعمد شخص إخفاء الزيادة في أصعب رقم يظنه، يظل لكل رقم صف موجود في الجدول. نحن نفحص ضمان التعرف على جميع الحالات، ولا نقيس فرصة أن يصيب التخمين في مرة واحدة.
وتوجد طريقة سريعة لكشف خطة ثابتة سيئة: قارن وصفي أي كرتين فيها. إذا اشتركتا في الموضع نفسه في المقارنتين، فلن يفرق السجل بينهما. فلو كررت المقارنة الأولى كما هي بدل تنفيذ الثانية المقترحة، سيكون وصف واحد واثنين وثلاثة «يسار، يسار» للجميع. قد تحصل على نتيجتين صحيحتين، لكنهما تكرران المعلومة نفسها. المشكلة عندئذ في تصميم المقارنة، لا في صدق قراءة الميزان أو ترتيب كتابة النتائج.
مثال عددي وتجربة ورقية قابلة للفحص
افترض أن الكرة الخامسة كتلتها واحد وعشرون غرامًا، وأن كل كرة أخرى كتلتها عشرون. في المقارنة الأولى يجمع اليسار عشرين مع عشرين مع عشرين، فيكون المجموع ستين. يجمع اليمين عشرين مع واحد وعشرين مع عشرين، فيكون واحدًا وستين. إذن النتيجة الأولى «اليمين أثقل». لم نحتج إلى هذه الأرقام لحل اللغز، لكنها تجعل مراجعة توزيع الكرات وحساب أثر الزيادة أمرًا واضحًا أمام القارئ.
في المقارنة الثانية يكون اليسار واحدًا وأربعة وسبعة، وكلها عادية في هذا المثال، فيبقى مجموعه ستين. أما اليمين فيضم اثنين وخمسة وثمانية، فيصبح مجموعه واحدًا وستين مرة أخرى. ابحث الآن عن «اليمين أثقل، اليمين أثقل» فتجد خمسة. إذا كتبت أربعة بدل خمسة، راجع خانة المقارنة الثانية: الرقم أربعة يقع في اليسار، وكان سيجعل النتيجة الثانية مختلفة لو كان هو الكرة الخاصة.
جرّب تمرينًا آخر بإعطاء الكرة الثامنة الكتلة الزائدة نفسها. ستتوازن المقارنة الأولى لأن ثمانية خارجها، ثم يصبح اليمين أثقل في الثانية. اكتب الجواب من الجدول قبل النظر إلى رقم الكرة الذي اخترته للتجربة. بعد ذلك انقل الزيادة إلى الثالثة؛ سيصبح اليسار أثقل أولًا وتتحقق المساواة ثانيًا. هذان التمرينان يفحصان حالتي خروج الكرة من المقارنة الأولى وخروجها من الثانية، بدل تكرار حالة الخمسة وحدها.
ولمراجعة الخطة كاملة، أنشئ تسعة أسطر في دفتر: في السطر الأول اجعل الزيادة عند واحد، وفي التالي عند اثنين، حتى تصل إلى تسعة. احسب مجموع كل كفة للمقارنتين واكتب النتيجتين، ثم طابقهما بجدول الحل. ينبغي أن يعطي كل سطر رقمه نفسه، وأن تختلف أزواج النتائج التسعة. هذا فحص للحساب على نموذج مؤلف؛ ولا يحوّل الكرات المتوفرة في المنزل تلقائيًا إلى مجموعة دقيقة تحقق افتراضات اللغز.
متى يقود الجدول إلى جواب خاطئ؟
إذا كانت الكرة الأولى أخف بدل أن تكون أثقل، فسيكون اليمين أثقل في المقارنة الأولى، واليمين أثقل في الثانية أيضًا. هذه النتيجة تشير إلى خمسة في جدولنا، مع أن المختلفة هي واحد. يمكن رؤية الخطأ عدديًا بجعل الأولى تسعة عشر غرامًا والبقية عشرين: يصبح اليسار تسعة وخمسين مقابل ستين مرتين. لذلك يجب أن تعرف اتجاه الاختلاف قبل استخدام الجدول؛ كلمة «مختلفة» وحدها لا تكفي لتعويض كلمة «أثقل».
كذلك، إذا كانت الأولى والخامسة أثقل بالمقدار نفسه، تتعادل الزيادتان في المقارنة الأولى، ثم تتعادل الزيادتان في الثانية. سيظهر «توازن، توازن»، وهو صف الكرة التاسعة، رغم أنها عادية في هذا المثال. لا يكتشف الجدول عدد الكرات المختلفة، بل يعمل داخل شرط العدد الواحد. وإذا كانت الكرات التسع متساوية أصلًا فستظهر النتيجة نفسها أيضًا؛ وجود صف في الجدول لا يثبت تلقائيًا صحة الشروط التي بُني عليها.
ومن أخطاء التنفيذ نقل الكرة إلى كفة مخالفة للخطة أو قلب ترتيب النتيجتين عند التسجيل. النتيجة «يسار ثم يمين» تعني اثنين، بينما «يمين ثم يسار» تعني أربعة. لذلك اكتب بجانب كل ملاحظة رقم المقارنة وقائمة الكرات التي وضعتها فعلًا. إن اكتشفت بعد الوزن أنك بدلت موضعي كرتين، فلا تستعمل جدول الخطة الأصلية كما لو أن شيئًا لم يتغير؛ أصلح السجل أو أعد النشاط بشروط معلومة.
تنتهي المهمة عندما تحصل على رقم يوافق السجل والشروط معًا. تستطيع شرح جوابك بجملة محددة، مثل: «رجحت كفة اليمين أولًا فبقيت أربعة وخمسة وستة، ثم توازن الميزان فبقيت ستة». هذه الجملة أوضح من القول إنك اخترت رقمًا بدا مناسبًا، وتسمح لشخص آخر بمراجعة استدلالك. احتفظ بجدول التوزيع إلى جانب جدول النتائج؛ فكل جواب صحيح هنا مرتبط بهذين التوزيعين، وليس بأي مقارنتين عشوائيتين بين الكرات.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.