قد تبدأ ست كرات معلقة حركتها معًا، ثم تتفرق مواضعها، ثم تجتمع في ترتيب البداية. كيف نختار فترات مختلفة تسمح بهذه العودة؟ سنصمم نموذجًا من ستة بندولات مستقلة، ونحدد موعدًا حسابيًا للرجوع، ثم نغير طول واحد منها لنرى ما الذي يختل. المطلوب فهم جدول الأطوال والحركة، وليس بناء جهاز يضمن دقة زمنية في الواقع.
الخلاصة السريعة
- اخترنا 20 ثانية موعدًا للعودة، وأعداد دورات من 10 إلى 15.
- لكل بندول فترة تساوي 20 مقسومة على عدد دوراته المختار.
- أطوالنا المحسوبة تتناقص من نحو 99.396 إلى 44.176 سنتيمترًا.
- عند 10 ثوان تتوزع الزوايا بين طرفين، فلا يطابق الشكل البداية.
- عند 20 ثانية يعود النموذج المثالي كله إلى زاوية البداية والسرعة الصفرية.
- إطالة بندول الدورات الاثنتي عشرة بنسبة 1% تؤخر عودته؛ الأرقام التالية حسابية وليست قياسًا لجهاز.
ماذا تعني موجات البندول هنا؟
يعرض مختبر هارفارد بندولات بسيطة غير مقترنة، تختلف فتراتها وتعود معًا بعد إتمام أعداد صحيحة من الدورات. [1]
نأخذ مبدأ العودة ونضع أرقامًا خاصة بنا. ليس بين بندولات مثالنا نابض، ولا نضيف قوة من كرة إلى أخرى. لذلك لا نفسر تبدل الرسم بأن طاقة تنتقل على امتداد الصف في حسابنا؛ نحسب حركة كل بندول من فترته وبدايته، ثم نعرض النتائج بجوار بعضها.
نسمي كل بندول بعدد دوراته في نافذتنا: 10 و 11 و 12 و 13 و 14 و 15. هذه أسماء حسابية، وليست أطوالًا بالسنتيمتر أو أرقامًا لسرعات ثابتة. نجعل بداية الجميع عند زاوية موجبة مقدارها 5 درجات وبسرعة صفر، ونقيس الزمن من لحظة التحرير المشتركة المفترضة.
ابدأ بعدد الدورات ثم استخرج الطول
في نموذج البندول البسيط ذي الزاوية الصغيرة، تكون الفترة تقريبًا T = 2π√(L/g)؛ نفترض كتلة نقطية وخيطًا مهمل الكتلة، ونستبعد التخميد من حسابنا. [2]
نختار قيمة حسابية للجاذبية g = 9.81 m/s²، ثم نريد للبندول المسمى n أن يكمل n دورات في 20 ثانية. إذن T = 20/n. نعيد ترتيب علاقة الفترة لنحصل على الطول:
للبندول 10 تكون الفترة ثانيتين والطول نحو 0.993961 متر، أي 99.396 سنتيمترًا. للبندول 15 تكون الفترة نحو 1.33333 ثانية والطول نحو 0.441760 متر. لا نطرح مقدارًا ثابتًا من الطول بين كل بندولين؛ المطلوب اختلاف منتظم في عدد الدورات، والعلاقة بالطول تتضمن مربعًا.
| الدورات n | الفترة، ثانية | الطول، سم |
|---|---|---|
| 10 | 2.00000 | 99.396 |
| 11 | 1.81818 | 82.146 |
| 12 | 1.66667 | 69.025 |
| 13 | 1.53846 | 58.814 |
| 14 | 1.42857 | 50.712 |
| 15 | 1.33333 | 44.176 |
الأرقام في الجدول مقربة للعرض. احتفظنا بالقيم غير المقربة عند توليد الرسوم. لا تستبدل فترة البندول 11 بـ«1.8» ثم تتوقع المطابقة نفسها بعد عشرات الدورات؛ تغيير القيمة يغير موعده. كما أن هذه أطوال النموذج من نقطة التعليق إلى الكتلة، لا أطوال خيط مقصوص مع عقد وتجهيزات.
اقرأ اللقطات دون الخلط بين الزاوية والطول
نستعمل في الرسم كمية بلا وحدة نسميها u: زاوية البندول مقسومة على 5 درجات. القيمة 1 تعني زاوية البداية، و 0 تعني المرور بالاتزان، و −1 تعني الطرف المقابل. طول كل مسار مرسوم متساوٍ لأنه يعرض هذه النسبة، لا ارتفاع الكرات أو المسافة التي قطعتها.
في النموذج الخطي الذي اخترناه نحسب:
عند 5 ثوان تعطي البندولات بالترتيب: سالب واحد، صفرًا، واحدًا، صفرًا، سالب واحد، صفرًا. لكن وجود 11 و 13 عند الصفر لا يعني أن حركتيهما متفقتان؛ الأول يمر نحو الزاوية الموجبة، والثاني نحو السالبة. اللقطة تخبرك بالموضع، وتحتاج اتجاه الحركة إذا أردت مقارنة الحالة كاملة.
عند 10 ثوان تكمل الأعداد الزوجية دورات صحيحة، وتقف عند زاوية البداية. أما الأعداد الفردية فتكمل عددًا صحيحًا ونصف دورة، فتكون عند الطرف الآخر. لهذا نرى تناوبًا بين 1 و −1. ليس هذا رجوعًا للمجموعة كلها رغم انتظام الصورة.
لماذا تكون العودة الأولى عند 20 ثانية؟
عند 20 ثانية يكمل كل بندول عدد الدورات الذي سميناه به، فتعود الزاوية إلى 5 درجات وتصبح السرعة صفرًا. ويمكن التحقق من أن موعدًا موجبًا أصغر لا يعيد الجميع إلى حالتهم الابتدائية في نموذجنا.
خذ البندولين 10 و 11 وحدهما. يلزم أن يكون كل من 10t/20 و11t/20 عددًا صحيحًا كي يرجعا إلى طرف البداية. طرح العددين يعطي t/20 عددًا صحيحًا أيضًا. أصغر زمن موجب يحقق ذلك هو 20 ثانية، وهو يحقق الشرط لبقية المجموعة؛ إذن ليس 10 أو 5 موعد العودة الكاملة.
إذا بدأت البندولات بزوايا أو سرعات مختلفة، تبقى فترات النموذج الخطي كما حسبناها؛ وعند 20 ثانية يعود كل بندول إلى حالته الابتدائية الخاصة به. لكن هذه العودة لا تعني أن زوايا الجميع تصبح متساوية. اخترنا في مثالنا زاوية بداية واحدة وسرعات صفرية، لذلك يجتمع الرجوع الفردي مع تطابق الزوايا في تلك اللحظة. تغيير شروط البداية يغير شكل المجموعة المرسوم، ولا يلغي دورية الحل الخطي.
اختبر طولًا لا يطابق الجدول
لنزد طول البندول 12 وحده بنسبة 1%، مع إبقاء بقية الفرضيات. تصبح فترته مضروبة في √1.01، أي نحو 1.674979 ثانية بدل 1.666667. بعد 20 ثانية يكمل نحو 11.940446 دورة، فلا يصل إلى دورته الثانية عشرة بعد.
في تلك اللحظة تكون u للبندول المعدل نحو 0.930805، فتكون زاويته نحو 4.654 درجة. معدل تغير u موجب ونحو 1.371124 s⁻¹، أي إنه ما زال متجهًا نحو طرف البداية. أما الموعد الذي يكمل فيه اثنتي عشرة دورة فهو نحو 20.099751 ثانية. هذه نتائج المثال المحسوب، ولا نختزلها في عبارة «الخطأ 1%»؛ تغير الطول ليس هو نفسه تغير الفترة أو الزاوية.
إذا التقطت صورة عند الثانية 20 فقد تبدو الكرات متقاربة من ترتيبها الأول، لكن التدقيق العددي يكشف فرقًا في موضع هذه الكرة وحركتها. استخدم المعطيات والمعيار المعلن للعودة، لا الانطباع البصري وحده. ولم نحسب هنا موعد عودة مشتركًا جديدًا للمجموعة المعدلة.
ما الذي اختبرناه وما الذي بقي خارج النموذج؟
أعدنا حساب الفترات من الأطوال، وقارنا اللقطات بالحل الجيبي، ثم حللنا معادلات النموذج الخطي بطريقة عددية مستقلة لمراجعة المواضع والسرعات. تحققنا أيضًا من العودة إلى الحالة الخاصة بكل بندول عند إعطاء المجموعة زوايا وسرعات ابتدائية مختلفة، ومن أن زيادة الطول تخص البندول 12 وحده. كل ذلك فحص لحسابنا ورسومه؛ لم نعلق كرات أو نسجل فيديو لتجربة.
علاقة الفترة المستعملة تقريب لزاوية صغيرة، والعودة الدقيقة عند 20 ثانية تخص الحل الخطي بلا تخميد الذي عرّفناه. لا ننقل هذه الدقة إلى جهاز فعلي يتأثر بسعة الحركة والاحتكاك ودقة الأطوال والتحرير. تستطيع إعادة التمرين بأعداد دورات أخرى، لكن اكتبها أولًا، ثم احسب أطوالها وبرهن موعد العودة بدل نسخ شكل يبدو جميلًا.