ارسم مستطيلًا عرضه 8 سم وارتفاعه 6 سم، ثم احذف من منتصف أعلاه مربعًا ضلعه 4 سم. تبقى قصاصة تشبه حرف U. أين مركز كتلتها: في القاعدة العريضة، أم بين الذراعين؟ سنحسبه أولًا، ثم نخطط لقياسه بتعليق القصاصة مرتين. وستجد أن الموضع المحسوب لا يحتوي ورقًا أصلًا.
الخلاصة السريعة
- في قصاصتنا الموحدة، المساحة 32 cm² والمركز G=(4,2.5) سم، محسوبًا من الزاوية السفلى اليسرى.
- علّق القصاصة من نقطة، وسجل اتجاه الشاقول، ثم كرر من نقطة أخرى؛ تقاطع الخطين يحدد مركز الكتلة.
- مركز الكتلة قد يقع في فراغ خارج مادة الشكل، كما يحدث في تجويف مثالنا.
- كل تعليق منفصل: تدور الورقة بين الوضعين، بينما يبقى الخيط رأسيًا في الغرفة.
- الحساب يفترض ورقة موحدة وفتحات مهملة المساحة؛ الأرقام هنا نتائج نموذج، وليست قراءات تجربة فعلية.
ابنِ القصاصة وحدد إحداثياتها
استخدم ورقة مقوّاة رقيقة متجانسة، ومسطرة وقلمًا ومقصًا، ودعامة تثبيت تسمح بحرية الدوران، وخيطًا في طرفه ثقل صغير. في مخططنا يبدأ x من اليسار إلى اليمين، ويزداد y من الأسفل إلى الأعلى. الزاوية السفلى اليسرى هي (0,0)، والعليا اليمنى (8,6).
المربع المحذوف يمتد من x=2 إلى x=6، ومن y=2 إلى y=6. بذلك تكون سماكة القاعدة 2 سم، وعرض كل ذراع 2 سم. علّم موضعي ثقبين صغيرين داخل الذراعين: A=(1,5) وB=(7,5). لا تثبت ثقل الشاقول على القصاصة نفسها؛ سيأتي حساب يوضح أثر إضافة كتلة إليها.
قبل القص، يمكنك كتابة أسماء الأجزاء على مخطط منفصل: القاعدة مستطيل 8×2، والجزء العلوي من كل ذراع مستطيل 2×4. هذه الأجزاء لا تتداخل. إذا اعتبرت كل ذراع بارتفاع 6 سم ثم أضفت القاعدة كاملة، فستعد المربعين السفليين مرتين وتحصل على مساحة خاطئة.
احسب المركز من ثلاثة مستطيلات
موضع مركز الكتلة متوسط موزون بالكتل، لا متوسطًا عاديًا لمواضع الأجزاء. يكتب لكل إحداثي Σ(mᵢxᵢ)/Σmᵢ. في ورقة متجانسة السمك والكثافة تتناسب كتل الأجزاء مع مساحاتها، فتختزل النسبة المشتركة ويمكن استخدام المساحات أوزانًا. مرجع المتوسط الموزون.
| الجزء | المساحة سم² | مركزه بالسنتيمتر |
|---|---|---|
| القاعدة | 16 | (4,1) |
| الذراع الأيسر فوق القاعدة | 8 | (1,4) |
| الذراع الأيمن فوق القاعدة | 8 | (7,4) |
المجموع 16+8+8=32. يبقى المركز أفقيًا على x=4 بسبب تناظر جانبي القصاصة، ويؤكد المتوسط ذلك. أما رأسيًا، فلا يصح متوسط 1,4,4 العادي؛ كتلة القاعدة ضعف كتلة الجزء العلوي من كل ذراع:
xG = (16×4 + 8×1 + 8×7)/32 = 4
yG = (16×1 + 8×4 + 8×4)/32 = 2.5المتوسط غير الموزون يعطي (1+4+4)/3=3، أي أعلى بنصف سنتيمتر من الإجابة. النقطة الصحيحة G=(4,2.5) تقع أعلى القاعدة بنصف سنتيمتر، وبين الذراعين. هذه إحداثيات نقطة في الفراغ؛ لا تضع علامة عليها وكأن ورقًا موجود هناك.
افحص الحساب بطريقة الطرح
المستطيل الكامل مساحته 48 ومركزه (4,3). المربع المحذوف مساحته 16 ومركزه (4,4). اطرح إسهام المربع من إسهام المستطيل قبل القسمة على المساحة الباقية:
area = 48 − 16 = 32
xG = (48×4 − 16×4)/32 = 4
yG = (48×3 − 16×4)/32 = 2.5الإشارة السالبة هنا طريقة لحذف مساحة سبق احتسابها؛ لا نفترض وجود مادة سالبة الكتلة. يساعد هذا الفحص في اكتشاف خطأ شائع آخر: طرح مساحة الفجوة من المقام مع إبقاء عزم المستطيل كاملًا في البسط، وهو ما كان سيعطي 144/32=4.5 بدلًا من 2.5.
علّق من A، ثم من B
ثبّت القصاصة من ثقب واحد ودعها تستقر بحرية. علّق الشاقول من نقطة التثبيت نفسها أمامها، وحدد علامتين على امتداد الخيط. أزلها وارسم الخط بين العلامتين. كرر من الثقب الثاني. هذه طريقة عرض جامعة كاليفورنيا في سانتا كروز.
في الاتزان المستقر يقع مركز الكتلة أسفل نقطة التعليق على الخط الرأسي. تعرض جامعة تكساس الفكرة من ثقوب مختلفة، وتوضح موضع المركز حتى حين لا يقع داخل المادة. يمكن إظهار موضع تقاطع الخطوط على ورقة مرجعية خلف الشكل.
في قصاصتنا يمتد جزء من الخيط عبر الفجوة. ضع علامتين حيث يمر أمام المادة، ثم أعد القصاصة إلى وضع الرسم فوق ورقة أخرى، وانقل حدها ومواضع العلامات إليها لتكمل الخط عبر المساحة الخالية. استخدم الورقة الأخرى بعد التعليق؛ لصقها بالقصاصة أثناء التعليق يصنع جسمًا مختلفًا عن جسم الحساب.
الخط الخارج من A=(1,5) إلى المركز المحسوب يحقق 5x+6y=35. والخط الخارج من B=(7,5) يحقق −5x+6y=−5. بجمع المعادلتين نجد 12y=30؛ وبطرحهما نجد 10x=40. التقاطع إذن (4,2.5)، مطابق لحساب المساحات.
لماذا لا يبدو الخطان رأسيين في الرسم الأول؟
الرسم الأول يسجل أثرَي الخيط في إطار الورقة، بعد إعادتها إلى وضع واحد. أثناء التعليق من A تدور القصاصة بنحو 50.19 درجة مع عقارب الساعة عن الوضع المرجعي. وعند التعليق من B تدور بالمقدار نفسه عكسها. هذه زوايا حسبها النموذج وليست تعليمات لتدوير القصاصة يدويًا.
قبل الدوران يكون المتجه من A إلى G هو (3,−2.5)؛ طوله √(9+6.25)=√61/2، أي نحو 3.905 سم. بعد الدوران يصبح متجهًا رأسيًا إلى أسفل بالطول نفسه. مجرد رسم خط رأسي تحت الثقب في الوضع المرجعي، دون السماح للقصاصة بالدوران، سيعطي خطًا آخر غير خط التعليق الحقيقي.
ماذا لو أضفت كتلة إلى أحد الجانبين؟
لنفرض، كمثال حسابي مستقل، أن كتلة القصاصة 4 غرامات وأنك ثبتَّ كتلة صغيرة مقدارها غرام واحد عند (7,5). نهمل أبعاد الكتلة المضافة ونجعل موضعها هذه النقطة. يصبح مجموع الكتلتين 5 غرامات، ونحسب:
x = (4×4 + 1×7)/5 = 4.6
y = (4×2.5 + 1×5)/5 = 3انتقل المركز 0.6 سم إلى اليمين و0.5 سم إلى أعلى. ليس المطلوب أن تزن الورقة أربعة غرامات بالفعل؛ الأرقام فرضية تبين لماذا لا تقارن جسمًا أضفت إليه مشبكًا أو دعامة ملتصقة بنتيجة قصاصة موحدة وحدها.
التحقق والسجل العملي
اتفق حساب المستطيلات المضافة، وحساب المستطيل ناقص الفجوة، وصيغة مركز المضلع، ومتوسط مراكز 32 مربعًا وحديًا على G=(4,2.5). فحصنا الدورانين بالمركز المحسوب للمضلع بعد الدوران، وحفظا المساحة وأطوال الحواف الست عشرة في المجموع. اجتازت القصاصة أيضًا تسع حالات تكبير وإزاحة مع النتائج المتوقعة.
عند التنفيذ اكتب موضعي الثقبين، وإحداثيات تقاطع الخطين المقروءة على ورقة المرجع، ثم قارنها بـ(4,2.5). سجل إن كانت القصاصة تنثني أو يلامس الخيط سطحها أو يمنع المثبت دورانها بحرية. هذه ملاحظات على شروط النموذج؛ لا نعطيها مقدار خطأ افتراضيًا بلا قياس. يمكن إضافة تعليق ثالث لفحص تقارب الخطوط، مع إبقاء القصاصة نفسها.
الاختبار هنا حسابي ولم نعلّق قصاصة حقيقية. إذا أجريت النشاط، اترك نتائجك كما قستها، ولا تستبدلها بالأرقام النظرية. يكشف الفرق بينهما جودة التنفيذ وحدود افتراض تجانس الورقة وإهمال الثقوب.