كامة دائرية لامركزية: احسب ارتفاع التابع قبل صنع النموذج

إذا ثقبت دائرة في مركزها ثم أدرتها، فلن ترى الارتفاع الذي تتوقعه في هذا المثال. القرار الحاسم يقع قبل القص: أين تثقب القرص، وما عرض القطعة التي ستستند إليه؟ سنرسم تصميمًا أصليًا بأبعاد معلنة ونحسب مواضعه، ثم نحدد ما يجب اختباره إذا حوّلته إلى نموذج من الورق المقوى.

الخلاصة السريعة

• نختار قرصًا نصف قطره 3 سم، ومحورًا يبعد 1 سم عن مركزه.
• في نموذجنا المثالي يرتفع وجه التابع من 2 إلى 4 سم فوق المحور؛ الشوط 2 سم.
• قرص نصف قطره 4 سم مع الابتعاد نفسه يغيّر الارتفاع إلى 3–5 سم، ويبقي الشوط 2 سم.
• قاعدة عرضها 3 سم تستوعب موضع القمة في كل الزوايا المحسوبة؛ عرض 1 سم لا يحقق ذلك.
• الأرقام ناتجة عن نموذج هندسي واختبار برمجي، ولم نصنع الآلية أو نقس احتكاكها أو حملها.

ما الذي يدور وما الذي ينزلق؟

تغيّر الكامة حركة التابع بواسطة شكل سطح التلامس. للتابع أشكال، منها الوجه المسطح؛ ويلزم إبقاء التلامس، بالجاذبية أو قيد مناسب. التابع المنزلق يتحرك في مسار مقيّد. [1]

نحدد نسختنا بدقة: قرص دائري يدور في مستوى رأسي، وقاعدة أفقية فوقه متصلة بقضيب لا نسمح له بالميل أو الدوران. يظهر القرص من الجانب كدائرة، وتظهر القاعدة كقطعة مستقيمة خضراء. نفترض أجسامًا صلبة وتلامسًا مستمرًا، ونحسب المواضع فقط. إذا سمحت للقضيب بالميل فقد غيّرت الشكل الذي يصفه الرسم.

سمّ مركز الثقب O، ومركز الدائرة C. المسافة بينهما هي 1 سم وليست نصف القطر. ارسم دائرة حول C بنصف قطر 3 سم، ثم ضع O على بعد سنتيمتر واحد إلى يسار C في وضع البداية. ضع سهمًا صغيرًا على القرص يميز هذا الوضع؛ الدائرة وحدها لا تخبرك من أين بدأت عدّ الزوايا.

جهّز مخططًا يمكن نقله إلى الكرتون

يقترح دليل Exploratorium إطارًا مقوّى في الزوايا، ومحورًا يحمل الكامة، ودليلًا للقضيب الرأسي، وقاعدة تتبع القرص. اترك مواضع التثبيت قابلة للتعديل حتى تفحص الحركة، ثم ثبّتها. [2]

على ورقتنا نختار إطارًا داخليًا عرضه 12 سم وارتفاعه 12 سم. نضع O على بعد 6 سم من الحافة اليسرى و5 سم من أرضية الإطار. يصل القرص خلال الدوران إلى مسافة 4 سم من O؛ لذا يبقى غلاف دورانه بين 2 و10 سم أفقيًا، وبين 1 و9 سم رأسيًا. تلك مراجعة خلوص هندسية، لا قياس لقالب مصنوع.

ارسم قاعدة عرضها 3 سم متمركزة فوق O، واجعل الخط الرأسي للقضيب مارًا به. في هذه الأبعاد تتحرك أسفل القاعدة بين 7 و9 سم فوق أرضية الإطار. لا تضع حاجزًا ثابتًا في ذلك المجال. راجع الأبعاد بمسطرة الورقة؛ صورة الهاتف ليست قالبًا مضمون القياس، حتى لو حملت الرسم نفسه.

في البناء التجريبي يفيد دليل من مصاصة لتقليل تمايل القضيب، وقد يحتاج التابع وزنًا يساعد رجوعه إلى القرص. يقترح الدليل فحص الآلية وتعديلها قبل إضافة الشخصية المتحركة. [2]

لنرسم شخصية صغيرة كقمر فوق القضيب، ونجعل الهدف صعوده وهبوطه فقط. نحتفظ بموضعه على الورقة علامةً بصرية قبل اختيار زخارف قد تغيّر الكتلة. هذا اقتراح تصميم، وليس تقريرًا بأن نموذجًا مزخرفًا عاد تلقائيًا إلى موضعه؛ يحتاج ذلك تجربة القطعة التي تصنعها بالفعل.

أربع محطات تشرح الارتفاع

في وضع الصفر يقع C يمين O، وعلى الارتفاع نفسه. أعلى الدائرة يقع 3 سم فوق O. بعد ربع دورة عكس عقارب الساعة يصير C فوق O بسنتيمتر؛ نضيف إليه نصف القطر 3، فيصير ارتفاع القمة 4. بعد نصف دورة يعود C إلى ارتفاع O من اليسار، فيعود H إلى 3.

بعد ثلاثة أرباع دورة يقع C تحت O بسنتيمتر، فتكون القمة عند 2 سم فوق O. الفرق بين أعلى قيمة وأدناها هو 2، لا 4 ولا 6. الستة قطر القرص؛ والأربعة أعلى ارتفاع من المرجع الذي اخترناه. لا تحمل هذه الأعداد الثلاثة المعنى نفسه رغم ظهورها في رسم واحد.

لزاوية بين المحطات نكتب مركز الدائرة C=(cos θ, sin θ) بالسنتيمتر نسبة إلى O. أعلى الدائرة يزيد على إحداثي مركزها الرأسي بثلاثة؛ لذلك H=3+sin θ. أما الصعود من أدنى موضع فـS=1+sin θ. عند 45° نحصل على H نحو 3.707107 وS نحو 1.707107؛ اختلافهما ثابت بمقدار 2.

غيّر شيئًا واحدًا واكتب ما يبقى

أعد التصميم بنصف قطر 4 سم وابتعاد 1 سم. يصبح الأعلى 5 والأدنى 3، ويظل الفرق 2. ستحتاج مساحة مختلفة داخل الإطار؛ لا يكفي اتفاق الشوط لقبول القطعة الأكبر في المخطط السابق. فقد صار غلاف القرص يمتد إلى 5 سم من O بدل أربعة.

وفي بديل آخر أبقِ نصف القطر 3، وانقل الثقب إلى بعد نصف سنتيمتر من C. يصبح المجال 2.5–3.5 سم والشوط 1 سم. وإذا تطابق O مع C تمامًا، بقي H مساويًا 3 في كل زاوية، والشوط صفر. هذه الحالة تفسر لماذا لا ينتج مجرد تدوير دائرة حول مركزها حركة الرفع التي رسمناها.

عموم صيغة تجربتنا مع نصف قطر R وابتعاد e هو H=R+e sin θ، فيتراوح بين R-e وR+e. جاء الشوط 2e من طرح الحدين. هذا اشتقاق لشكلنا الدائري وتابعه الأفقي؛ ليس قاعدة نطبقها على كامة بأي محيط أو تابع يميل حول مفصل.

لماذا يهم عرض القاعدة؟

تتحرك قمة دائرتنا أفقيًا مع C، من سنتيمتر يسار O إلى سنتيمتر يمينه. قاعدة بعرض 3 سم تمتد إلى 1.5 سم في الاتجاهين، فتغطي موضع القمة بهامش نصف سنتيمتر عند أقصى انزياح. أما قاعدة بعرض 1 سم فتنتهي عند نصف سنتيمتر؛ تقع القمة خارجها عندما يكون مقدار الإزاحة الأفقية أكبر من ذلك.

عند زاوية الصفر يقع C عند (1,0). حافة القاعدة الضيقة اليمنى عند x=0.5. من معادلة دائرة نصف قطرها ثلاثة يكون ارتفاع الحد هناك √(9-0.5²)، أي نحو 2.958040، لا 3. هذا الفارق الصغير يكفي لإبطال تطبيق صيغة القمة في موضع لم تعد تغطيه القاعدة.

عند فحص الزوايا الصحيحة من 0 إلى 359 وجدنا القمة خارج القاعدة الضيقة في 238 وضعًا، مقابل صفر للقاعدة العريضة. العدد يصف عينتنا ذات الخطوة درجة واحدة؛ لا نقدمه عددًا لكل الزوايا المستمرة. عند الحدين المناسبين تكون القمة على الحافة، ولذلك استخدمنا شرط «أكبر من» مع سماحية حسابية صغيرة.

ما الذي اختبرناه وما الذي تختبره بيدك؟

حسب البرنامج كل موضع بطريقتين: من ارتفاع المركز، ومن تدوير نقاط محيط القرص ثم استخراج أعلاها. استعمل 360 نقطة محيطية عند كل من 360 زاوية، أي 129600 تحويل. تطابقت الارتفاعات ضمن خطأ عددي أقل من جزء من تريليون سنتيمتر؛ تلك دقة العمليات على النموذج وليست دقة قص الكرتون.

عند التجربة راقب انزلاق المحور، وتمايل القضيب، ورجوع التابع، وصلابة الإطار. يذكر دليل النشاط هذه المواضع ضمن مشكلات البناء الشائعة. [2]

أدر نموذجك ببطء وقارن العلامات الأربع بجدولنا، مع إبقاء الوجه أفقيًا. إذا توقف القضيب مرتفعًا فلا تسجل الفرق مباشرة على أنه خطأ في معادلة الدائرة؛ افحص أولًا هل استمر التلامس وهل بقي القيد كما رسمته. لم يحسب ملفنا الاحتكاك أو قوة الدوران أو سرعة تشغيل مقبولة، ولم يختبر مادة أو ثقبًا أو تثبيتًا فعليًا.

المصادر

1. Carnegie Mellon — Introduction to Mechanisms: Cams
2. Exploratorium — Cardboard Automata

أُعد النص والأبعاد والرسومان وبرنامج التحقق بمساعدة الذكاء الاصطناعي. لم ننفذ تصنيعًا أو تجربة حمل، ولا ننسب المادة إلى مراجعة بشرية مستقلة.