لديك شخصية ورقية واحدة، وتريدها أن تظهر كبيرة في بداية المشهد ثم تصغر قبل خروجها. هل تقص نسخة ثانية؟ سنخطط بدلًا من ذلك ثلاثة مواضع للقصاصة بين مصدر ضوء وشاشة ثابتين. ثم نطلب ارتفاعًا محددًا للظل ونحسب مكان الوقوف المناسب، قبل أن نراجع ما يتغير عندما يكون المصدر ممتدًا.
الخلاصة السريعة
- في نموذجنا ارتفاع القصاصة 8 سم، والمسافة من المصدر إلى الشاشة 120 سم.
- عند إبعاد القصاصة عن المصدر 30 ثم 60 ثم 90 سم، تكون ارتفاعات الظل 32 ثم 16 ثم نحو 10.67 سم.
- ظل بارتفاع 24 سم يحتاج وضع القصاصة عند 40 سم من المصدر، أي 80 سم من الشاشة.
- تغيير موضع القصاصة وحده يكفي لتغيير التكبير في هذا المثال؛ طولها ثابت.
- النموذج النقطي يعطي حدًا هندسيًا واحدًا؛ المصدر الممتد يحتاج فحص منطقة الحجب الجزئي.
ارسم ترتيبًا تستطيع حسابه
يعرض معهد الفيزياء تكون الظلال على شاشة حين تعترض أجسام ضوء المصباح، ويستخدم خطوط الأشعة المستقيمة في الشرح. [1] سنختار ترتيبنا وأبعاده بأنفسنا، ونحسبه هندسيًا.
ضع المصدر الافتراضي عند الصفر، والشاشة عند 120 سم على محور أفقي. القصاصة مسطحة ومعتمة، وموازية للشاشة، وارتفاعها 8 سم. يقع مركزها على المحور في الحالات الثلاث الأولى، ويقع المصدر في مستوى منتصف ارتفاعها. نبقي المصدر والشاشة ثابتين، ونغير فقط بُعد القصاصة عن المصدر.
نفترض أولًا أن الضوء يأتي من نقطة واحدة، وأن الأشعة مستقيمة ولا توجد عدسة أو إضاءة أخرى أو انعكاسات مؤثرة. نهمل الحيود، ولا نحسب مقدار السطوع. هذه شروط الحساب الذي نتتبعه؛ لا تعني أن كل مصباح منزلي يطابق النقطة المرسومة أو أن كل قماش شاشة يعطي حافة مثالية.
مد خطي الحافتين إلى الشاشة
في الحالة أ تقع القصاصة عند 30 سم. ارسم خطًا من المصدر إلى طرفها العلوي، ثم مدّه إلى الشاشة. كرر ذلك مع الطرف السفلي. المسافة الأفقية إلى الشاشة أربعة أمثال المسافة إلى القصاصة: 120/30 = 4. لذلك يتضاعف كل ارتفاع عن المحور أربع مرات.
طرفا القصاصة عند 4 سم فوق المحور و4 تحته، فيصل الخطان إلى 16 فوقه و16 تحته. ارتفاع الظل بينهما 32 سم. لا تقل إن الظل ارتفاعه 16 فقط؛ ذلك بُعد أحد الطرفين عن المنتصف، ونحن طلبنا المسافة بين الطرفين.
لنرمز لبُعد القصاصة بالحرف d، ولارتفاع الظل بالحرف H. الخط المار بالمصدر يحقق النسبة نفسها عند القصاصة والشاشة، فيكون H/8 = 120/d، ومنه H = 960/d. نستعمل السنتيمتر لكل الأطوال، ويجب أن تكون القصاصة بين المصدر والشاشة: 0 < d < 120.
| الحالة | من المصدر إلى القصاصة | من القصاصة إلى الشاشة | ارتفاع الظل |
|---|---|---|---|
| أ | 30 سم | 90 سم | 32 سم |
| ب | 60 سم | 60 سم | 16 سم |
| ج | 90 سم | 30 سم | نحو 10.67 سم |
في ب صار عامل التكبير 2، وفي ج أصبح 4/3. إذا تحركت من أ إلى ب، ينخفض الارتفاع إلى النصف. لكن الحركة من ب إلى ج لا تخفضه إلى النصف مرة أخرى؛ المقلوب في العلاقة يجعل الزيادتين المتساويتين في المسافة تعطيان تغيرين مختلفين في الارتفاع.
حدد الحجم المطلوب ثم اختر الموضع
افترض أن فتحة الديكور تستوعب ارتفاعًا قدره 24 سم. في حسابنا نحل 24 = 960/d فنجد d = 40 سم. هذه مسافة تبدأ من المصدر. المسافة المتبقية إلى الشاشة هي 120 − 40 = 80 سم؛ سجل القيمتين مع اسمي طرفيهما.
لو أخطأت ووضعت القصاصة على بُعد 40 سم من الشاشة، لصار بُعدها من المصدر 80 سم، وأصبح ارتفاع الظل 12 سم فقط. الرقم 40 صحيح في الحل الأول، لكنه يصير وصفًا لموضع آخر حين تغير نقطة القياس. يمكن كشف الخطأ قبل أي تنفيذ بإعادة جمع المسافتين إلى 120.
وإذا طلبت ظلًا بارتفاع 6 سم من القصاصة نفسها، فتعطي المعادلة d = 160. هذا يتجاوز موضع الشاشة، فلا يمثل حلًا داخل الترتيب الذي اخترناه. خلال وجود القصاصة بين النقطة والشاشة يكون التكبير أكبر من واحد. لا يكفي الحصول على عدد موجب لإعلان أن موضعه صالح.
حرّك الشخصية داخل مستوى واحد
ثبت الآن القصاصة عند بُعد 40 سم، حيث عامل التكبير 3. إذا رفعت مركزها 5 سم مع إبقائها موازية للشاشة، يرتفع مركز الظل 15 سم. يبقى الارتفاع الكلي 24 سم: طرفا القصاصة عند 1 و9 فوق المحور، وطرفا الظل عند 3 و27. الفارق 27 − 3 = 24.
هذه حركة إلى أعلى في مخططنا، وليست تغييرًا في العمق. لذلك تغير موضع الظل ولم يتغير ارتفاعه. إذا غيرت العمق والارتفاع معًا، احسب العامل الجديد أولًا ثم موضع الطرفين؛ لا تخلط انتقال المركز بتكبير الشخصية. ولم نمثل هنا إمالة القصاصة خارج مستواها، لأنها تغير المسافات التي استعملناها للنقطتين.
عندما لا يكون المصباح نقطة
يميز عرض جامعة Maryland، مع مصدر ممتد، منطقة يحجب الجسمُ فيها المصدرَ كله، وأخرى يحجب فيها جزءًا منه فقط. الأولى ظل تام والثانية شبه ظل. [2] لهذا لا نعطي كلمة «الحافة» معنى واحدًا دون تحديد المنطقة المقصودة.
نجرب هذا التغيير عند موضع الأربعين: نجعل المصدر قطعة رأسية طولها 4 سم، والقصاصة في المنتصف كما كانت. رمز q لارتفاع نقطة من المصدر، وy لارتفاع نقطة من القصاصة. يلتقي الخط الواصل بينهما بالشاشة عند Y = q + 3(y−q) = 3y−2q.
لنقطة المصدر العليا q=2 يقع ظل القصاصة بين −16 و8 سم. ولنقطة المصدر السفلى q=−2 يقع بين −8 و16. وتغطي نقاط المصدر الواقعة بين الطرفين مجالات وسيطة. الجزء المشترك بين الجميع من −8 إلى 8، وارتفاعه 16 سم؛ فيه يحجب الجسم كل المصدر المباشر.
أما مجموع المنطقة المتأثرة فيمتد من −16 إلى 16، وارتفاعه 32 سم. على كل طرف شريط عرضه 8 سم يحجب جزءًا من المصدر. هكذا لم تعد نتيجة 24 سم من النموذج النقطي اسمًا لارتفاع الظل التام أو للامتداد الكامل في هذا المثال الآخر. احتجنا وصف المصدر قبل اختيار الرقم.
حوّل الحساب إلى بطاقة مشهد
اكتب بطاقة أ: مصدر نقطي مفترض، شاشة عند 120، قصاصة ارتفاعها 8 عند 30، وظل متوقع ارتفاعه 32. واكتب بطاقة ب بالموضع 60 والارتفاع 16. إذا أردت مقارنة تجربة حقيقية لاحقًا، احتفظ بموقع المصدر والشاشة وطريقة قياس الحافة في البطاقة، ثم سجل ما ظهر فعلًا بجانب التوقع.
الرسوم والأرقام هنا محسوبة، ولم نصب مصباحًا أو نصور دمية. تستطيع مراجعتها بمسطرة على مخطط ترسمه بمقياس معلوم، أو بإعادة مد خطوط الطرفين. النتيجة التي نحتاجها للتخطيط واضحة: القصاصة الواحدة تكفي للأحجام الثلاثة المحددة، بشرط المواضع والافتراضات التي استعملناها، ولا نبدل بُعدها عن الضوء ببُعدها عن الشاشة.