قد يكفي باقيان معلومان لاسترجاع باقي جديد دون معرفة كثير الحدود الأصلي. سنختار القاسمينx−1 وx+2 والباقيين أربعة وسبعة، ونحدد الباقي على حاصل ضربهما. ثم ننشئ أصولًا مختلفة بالمعطيين نفسيهما، ونرى لماذا يحتاج هذا الاسترجاع إلى جذرين مختلفين وشرط درجة الباقي.
الخلاصة السريعة
الباقيان4 علىx−1 و7 علىx+2 يعطيانP(1)=4 وP(−2)=7. باقي القسمة علىD=(x−1)(x+2) من الصورةαx+β؛ بحلα+β=4 و−2α+β=7 نحصل علىR=−x+5، بينما يبقى الأصلP غير محدد.
- نعمل بكثيرات حدود حقيقية وباقٍ صفري أو أقل درجة من القاسم. التعويض في الهويةP=DQ+R عند جذريD يعطي قيمتيR من قيمتيP، دون قسمة على صفر.
- اختلاف الجذرين1 و−2 يجعل الباقي الخطي وحيدًا. استخدام+2 بدل−2 ينتج جوابًا خاطئًا؛ R=−x+5 يحقق4 و7 في المدخلين الصحيحين.
- الأصول−x+5 وx²+3 و2x²+x+1 وx³+x²−3x+5 تحقق الباقي نفسه علىD، باختيارQ=0 و1 و2 وx. قيمP عند مدخلات أخرى قد تختلف.
- الأسرة الكاملةP=−x+5+DQ توضح الجزء المجهول. شرط أن درجةP لا تتجاوز واحدًا يعطيP=−x+5، وشرط تربيعي أحادي المعامل الأعلى يعطيP=x²+3؛ التربيعية وحدها لا تختار الأصل.
- القاسمانx−1 و2x−2 لهما جذر1 نفسه. P=4 وP=x+3 يعطيان باقي4 لكل منهما، لكن باقيي المنتج2(x−1)² مختلفان، فلا تكفي معلومة واحدة متكررة.
- باقيان صفريان عند الجذرين المختلفين يعطيانR=0، لكنP قد يكونD أو2D غير صفريين. وR(6)=−1 مسموح؛ شرط الباقي هنا عن الدرجة، لا عن حد الباقي العددي في قسمة الصحيحين.
- الصور والمعاملات والقواسم مؤلفة، ولا نقرأ درجة مجهولة من الرسم أو نسترجعP من نقطتين بلا قيد. سم المطلوب: قيمة الباقي، أو صيغته، أو الأصل تحت شروط إضافية.
سمِّ المقسوم والقاسم والخارج والباقي
يعرض مرجع ماث وورلد علاقة باقي قسمة كثيرات الحدود بالخارج والقاسم على الصورة P=QD+R. نستعمل هذه الهوية فقط، مع أمثلة أصلية نختار فيها كثيرات حدود ذات معاملات حقيقية. في القسمة المعتادة التي نقصدها، يكون الباقي صفرًا أو من درجة أقل من درجة القاسم. لا ننقل مثال المرجع أو أوامره البرمجية أو نجعل صورة كسر جبري بديلًا عن تسمية الباقي المطلوب. [1]
المعطيان في مثالنا هما أن باقي قسمةP(x) علىx−1 يساوي أربعة، وباقي قسمته علىx+2 يساوي سبعة. لا نعرف صيغةP ولا درجته بعد. المطلوب باقي قسمته على حاصل الضربD=(x−1)(x+2)=x²+x−2. هذا القاسم من الدرجة الثانية، ولذلك نبحث عن باقي من الصورةR(x)=αx+β، مع السماح بأنα قد يكون صفرًا. لا نختار باقيًا ثابتًا لمجرد أن الباقيين الأولين عددان ثابتان.
فرّق بين استرجاع هذا الباقي واسترجاعP نفسه. قد تسمح المعلومات بتعيينR بصورة وحيدة بينما تسمح بأصول كثيرة، لأن الخارجQ في الهوية لم يعط. سنحسبR أولًا، ثم نختار أصولًا مختلفة للتحقق من أن الباقي المشترك لا يثبت المقسوم الأصلي. كل الأعداد والقواسم والرسوم هنا مؤلفة للتدريب، ولا نحلل قياسات أو بيانات جرى تقريبها.
حوّل الباقيين إلى قيمتين بالتعويض
من القسمة الأولى نكتبP(x)=(x−1)U(x)+4. عند التعويضx=1 ينعدم الحد الذي يحتوي القاسم، فنحصل علىP(1)=4. ومن الثانية نكتبP(x)=(x+2)V(x)+7. عندx=−2 ينعدمx+2، فتكونP(−2)=7. هذا استدلال من هوية القسمة في مثالنا، ولا يتطلب معرفة الخارجينU وV أو إجراء قسمة طويلة علىP مجهول الصيغة.
الآن نكتب هوية قسمةP على حاصل الضرب: P(x)=D(x)Q(x)+R(x). لأنD(1)=D(−2)=0، فإنR(1)=P(1)=4 وR(−2)=P(−2)=7. إذن الباقي الخطي المجهول يمر بقيمتين معلومتين عند مدخلين مختلفين. تساويP وR عند هذين المدخلين لا يعني أنهما الدالة نفسها على كل مدخل، وإنما نتج عن انعدام القاسم عندهما في الهوية المحددة.
لا تعوض بالموجب اثنين عند قراءة القاسمx+2؛ جذره سالب اثنين. قد يخفي مثال خاص هذا الخطأ إذا كانP يعطي قيمتين متساويتين عند±2، لكن ذلك ليس مضمونًا. أحد أصولنا لاحقًاP=2x²+x+1 يعطيP(−2)=7 وP(2)=11. لذلك اكتب قيمة المدخل التي تجعل القاسم صفرًا قبل استعمال الباقي المعطى، ولا تستخرجها من الرقم الظاهر بعد علامة الجمع دون مراعاة الإشارة.
حل معادلتي الباقي الخطي
نعوضR(x)=αx+β في القيمتين فنحصل علىα+β=4 و−2α+β=7. يمكن حل النظام بالتعويض: من الأولىα=4−β، ثم−2(4−β)+β=7، فيكون−8+3β=7. نحصل علىβ=5، ثمα=−1. إذن باقي القسمة علىD هوR(x)=−x+5. اكتب كثير الحدود كاملًا؛ العدد خمسة وحده هو حده الثابت وليس جواب السؤال عن الباقي الخطي.
نفحص النتيجة بالتعويض: R(1)=−1+5=4، وR(−2)=2+5=7. ونفحص كذلك الدرجة؛ R من الدرجة الأولى، وهي أقل من الدرجة الثانية للقاسم. هذان الفحصان يقومان بوظيفتين مختلفتين: القيمتان تربطان الباقي بالمعطيين، وشرط الدرجة يمنع إضافة مضاعف منD ثم تسمية التعبير الأطول باقيًا معتادًا. لا يكفي أن تحقق الصيغة القيمتين إذا أهملت شرط الدرجة.
لو أخطأنا واخترناx=2 بدل−2، لصارت المعادلتانα+β=4 و2α+β=7، وتعطيانR=3x+1. هذه الصيغة تحقق الشرط الخطأ عند الموجب اثنين، لكنها تعطيR(−2)=−5 بدل سبعة. إعادة التعويض في جذري القاسم الفعليين تكشف المشكلة سريعًا. لا نعدل الباقي سبعة كي نوافق الحساب الخاطئ؛ المعطيات ثابتة في المثال، والخطوة التي تحتاج إلى تصحيح هي اختيار جذر القاسم.
لماذا لا يوجد باقي خطي ثانٍ؟
افترض أن باقيين من الدرجة الأقل من اثنين حققا القيمتين نفسيهما. فرقُهما كثير حدود من الصورةax+b، وينعدم عند1 وعند−2. من التعويض نحصل علىa+b=0 و−2a+b=0، فيلزمa=0 وb=0. إذن الفرق صفري والباقيان متساويان. هذا برهان للوحدة في النطاق الذي نحتاجه، لا مجرد عرض حل وجدناه ثم افتراض أنه الوحيد.
الشرط الحاسم هو اختلاف المدخلين مع تقييد درجة الباقي. إذا تركنا الدرجة بلا قيد، أمكن إضافةc(x−1)(x+2) إلى−x+5، فتظل القيمتان أربعة وسبعة عند الجذرين، لكن التعبير الجديد قد يصير تربيعيًا. لا نسميه باقيًا عاديًا على القاسم من الدرجة الثانية عندما يكونc غير صفري؛ إنه كثير حدود يوافق القيمتين مع إهمال شرط الدرجة. البيانات وحدها لا تمنع هذه الإضافة، وشرط الباقي هو الذي يستبعدها.
يمكن تصوير الباقي الخطي بأنه الخط الذي يمر بالنقطتين(1,4) و(−2,7). لكننا لا نحتاج إلى استخراج ميله من بكسلات الرسم لأن المعادلتين تعطيانه بدقة. وإذا كانت القيم في سؤال آخر تقريبية، فلا تنقل هذا الجواب العددي الدقيق دون معالجة دقتها. في مثالنا القواسم والبواقي أعداد وصيغ معلومة، والوحدة التي أثبتناها تتبع هذه المعطيات وشرط الدرجة المعلن.
أنشئ أصولًا مختلفة بالباقي نفسه
اكتبP(x)=−x+5+D(x)Q(x)، واختر للخارجQ قيمة أو كثير حدود. إذا اخترتQ=0 حصلت علىP0=−x+5. وإذا اخترتQ=1 حصلت علىP1=x²+3. وإذا اخترتQ=2 حصلت علىP2=2x²+x+1. هذه الأصول الثلاثة مختلفة، لكن الهوية في كل حالة تعرض الباقي−x+5 مباشرة، وهو أقل درجة منD. اختلاف الأصل لا يغير الباقي الذي استرجعناه من المعلومات المعطاة.
تحقق منP2 بصورة مفصلة: عند1 يعطي2+1+1=4، وعند−2 يعطي8−2+1=7. كما أنP2−R=2x²+2x−4=2D. وبالنسبة إلىP1، فإنP1−R=x²+x−2=D. أماP0 فهوR نفسه، وخارجه علىD صفر. هذه علاقات كاملة بين كثيرات حدود، وليست مساواة عند نقطتين فقط، لذلك تثبت الباقي والخارج في كل مثال اخترناه.
ولإنشاء أصل من درجة أعلى اخترQ=x، فتحصل علىP3=x³+x²−3x+5. عند1 يساوي أربعة، وعند−2 يساوي سبعة، وباقيه علىD ما زال−x+5. لا نحتاج إلى أن تكون جميع الأصول من الدرجة نفسها كي تبقى المعطيات صحيحة، لأن السؤال لم يعط درجةP. قيمةP(0) مثلًا تكون خمسة فيP0، وثلاثة فيP1، وواحدًا فيP2، فيظهر أن الباقيين لا يسترجعان هذه القيمة العامة للأصل.
| الخارج الذي اخترناهQ | الأصلP | P(1) | P(−2) | الباقي علىD |
|---|---|---|---|---|
| 0 | −x+5 | 4 | 7 | −x+5 |
| 1 | x²+3 | 4 | 7 | −x+5 |
| 2 | 2x²+x+1 | 4 | 7 | −x+5 |
| x | x³+x²−3x+5 | 4 | 7 | −x+5 |
اقرأ الأسرة كلها من هوية القسمة
أي اختيار لكثير حدود حقيقيQ ينتج أصلًا يوافق الباقيين، لأنD ينعدم عند1 و−2. وفي الاتجاه الآخر، إذا كان أصلP يوافق المعطيين، فإن باقيه المعتاد علىD يجب أن يكونR=−x+5 كما أثبتنا. لذلك يمكن كتابتهP=DQ+R لخارج ما. الأسرة ليست أربعة أمثلة فقط؛ الأمثلة الأربع تمثل اختيارات بسيطة للخارج الذي بقي مجهولًا في السؤال.
هذا يميز المعلومات التي عرفناها من التي لم نعرفها: الباقي على حاصل الضرب ثابت، والخارج غير محدد، ومن ثم المقسوم الأصلي غير محدد. لا نحول جملة الباقي معلوم إلى جملة كثير الحدود معلوم. كذلك لا نستنتج من اختيارQ ثابتًا في مثالين أن الخارج يجب أن يكون ثابتًا؛ مثالQ=x يبين أن هذا قيد إضافي لو أردناه. اكتب كل معلوم ومجهول باسمه قبل تحويل النتيجة إلى جواب نهائي.
الرسم الأول يعرض الأصول الأربع على محورين مشتركين، ويضع علامتين عند القيمتين المعطاتين. تختلف المنحنيات بين المدخلين وخارجهما، رغم اجتماعها عند النقطتين. الخطP0 هو الباقي نفسه في هذا المثال، لكن المنحنيات الأخرى أصول وليست بواقي مختلفة علىD. المفتاح الذي يذكر اختيارQ يساعد على قراءة هذه الوظيفة، فلا نعامل كل منحنى في الصورة بوصفه جوابًا بديلًا عن الباقي الذي حسبناه.
متى تحدد معلومات إضافية الأصل؟
إذا أضاف السؤال أن درجةP لا تتجاوز واحدًا، صارP نفسه باقيًا مناسبًا علىD، فيلزمP=−x+5. ويمكن رؤية ذلك من الأسرة: إذا كانQ غير صفري، فإنD×Q من درجة لا تقل عن اثنين، ولا يستطيع جمعR ذي الدرجة الأولى إزالة الحد الأعلى لذلك الضرب. إذن يجب أن يكونQ صفريًا. جاء استرجاع الأصل الوحيد هنا من قيد الدرجة، لا من تغيير الباقيين أو إضافة نقطة إلى الرسم.
وإذا أضاف أنP تربيعي ومعامله الأعلى واحد، يكونQ ثابتًا يساوي واحدًا لأنD أحادي المعامل الأعلى. فنحصل علىP=x²+3. أما قوله تربيعي فقط فلا يثبت هذا المعامل؛ يمكن اختيار أيc غير صفري للخارج الثابتQ=c، فتكونP=cx²+(c−1)x+5−2c. كل هذه الأصول تربيعية وتوافق المعطيين، لذلك لا نسترجعP1 بمجرد معرفة الدرجة الثانية دون القيد الإضافي على المعامل.
من المفيد فصل هذه الأسئلة في البطاقة: ما باقي القسمة علىD؟ وما أصلP تحت شرط درجة معين؟ وما معامل أعلى معلوم؟ قد يعطى جواب واحد للأول وعدة أجوبة للثاني، أو يصير الثاني وحيدًا بعد إضافة قيد واضح. لا تضف أحادية المعامل الأعلى لأنها تجعل الحساب أسهل أو لأنها ظهرت في أول مثال. المعلومة التي لم يذكرها السؤال لا تتحول إلى شرط بمجرد أننا استعملناها في إنشاء نموذج.
جذر واحد مكرر لا يعطي معلومتين مستقلتين
لنفترض في مسألة أخرى أن القاسمينx−1 و2x−2، وباقي القسمة على كل منهما أربعة. كلا القاسمين ينعدم عند المدخل1 نفسه، فالمعطيان يثبتانP(1)=4 فقط. حاصل ضربهما2(x−1)² من الدرجة الثانية، لكن تكرار الجذر لم يعط قيمة ثانية عند مدخل مختلف. لا تعيد نظام المعادلتين السابق باستبدال−2 بواحد ثم تتوقع أن يبقى الحلانα وβ محددين بالطريقة نفسها.
اخترP=4 أوP=x+3. كلاهما يعطيP(1)=4، وكلاهما له باقي أربعة علىx−1 وعلى2x−2. في الحالة الثانية يمكن كتابةx+3=(x−1)+4، وكذلكx+3=(2x−2)/2+4. لكن القسمة على حاصل الضرب من الدرجة الثانية تتركP نفسه باقيًا في هذين الأصلين لأن درجتيهما أقل من اثنين. إذن الباقيان على حاصل الضرب هما أربعة وx+3، وهما مختلفان رغم تطابق المعطيين الأولين.
هذا المثال المضاد لا يقول إن القسمة على حاصل الضرب غير ممكنة؛ إذا عرفناP كاملًا أمكن حسابها. الذي فشل هو استرجاع باقي حاصل الضرب من معطيين يكرران قيمة واحدة فقط. في مسألتنا الأصلية كان الجذران1 و−2 مختلفين، فنتجت معادلتان مستقلتان للباقي الخطي. لذلك نحافظ على شرط الجذرين المختلفين في النتيجة بدل حذفه عند إعادة صياغة القاعدة العامة.
انعدام الباقيين لا يعني أصلًا صفريًا
إذا كان باقيP علىx−1 صفرًا وعلىx+2 صفرًا، فإن باقيه الخطي علىD يحققR(1)=R(−2)=0. من برهان الوحدة السابق يكونR=0، أي إنP مضاعف منD في الهوية. لكن ذلك لا يفرضP=0؛ يمكن أن يكونP=D أوP=2D، وهما أصلان غير صفريين ولهما باقي صفري على حاصل الضرب. ما استرجعناه هنا انعدام الباقي، وليس انعدام جميع معاملات الأصل.
عندما نقول إنD يقسمP دون باق في هذا النطاق، نعني وجود خارج كثير حدودQ يجعلP=DQ. لا نختارQ=0 تلقائيًا؛ هذا الاختيار وحده يعطي الأصل الصفري. وفي الحالات غير الصفرية التي درسناها كانQ هو الجزء الذي يفسر اختلاف الأصول مع ثبات باقيها. يظل من المهم تسمية الكمية التي انعدمت، حتى لا يتحول فحص صحيح لباقي القسمة إلى خبر غير صحيح عن المقسوم.
يمكن أيضًا أن ينعدم أحد الباقيين فقط، فيلزم للباقي الخطي المرور بالصفر عند الجذر المرتبط به، لكنه لا يلزم أن يكون كثير حدود صفريًا. خذ معطيينR(1)=0 وR(−2)=6، فيكونR=−2x+2. هذا مثال مؤلف جديد يبين أن الصفر في خانة واحدة ليس الصفر في الباقي كله. نعيد حل المعادلتين بالمعطيين الفعليين، ولا نستعير جواب−x+5 من المسألة التي اختلفت بواقيها.
لا تطبق حد الباقي العددي على قيم كثير الحدود
باقيناR=−x+5 يأخذ عندx=6 القيمة سالب واحد. لا يجعله ذلك باقيًا غير صالح في قسمة كثيرات الحدود التي عرفناها؛ شرطنا عن درجة الباقي، وليس عن وقوع كل قيمه بين صفر وقيمة القاسم العددية. كذلك يأخذR قيمًا كبيرة عند مدخلات أخرى دون أن ترتفع درجته عن واحد. لا تنقل حدود الباقي في قسمة أعداد صحيحة إلى هذا السؤال من مجرد تشابه اسم الباقي.
تظهر معطيات الباقيين الثابتين أربعة وسبعة لأن قاسميهما من الدرجة الأولى، أما القاسمD من الدرجة الثانية فيسمح بباقٍ خطي. اختلاف نوع التعبير المتبقي يتبع درجة القاسم في هذا النطاق. إذا طلبت قيمةR عند مدخل معين، فنعوض بعد أن نسترجع صيغته، وإذا طلبتR نفسه فلا نختصره إلى قيمة واحدة. الاستدلال الذي استعمل نقطتين لا يجعل هاتين النقطتين المجال الوحيد الذي يمكن تعويضه في كثير الحدود.
ولا نكتبP/D بوصفه دالة معرفة عند جذريD دون فحص، لأن الكسر يحتاج إلى مقام غير صفري عند التقييم. الهويةP=DQ+R هي علاقة بين كثيرات حدود وتظل صحيحة عند الجذرين، ولهذا استعملناها في التعويض. الفرق بين هوية القسمة وصورة الكسر يحفظ صلاحية الخطوة: لم نقسم على صفر عندما استخرجناP(1) أوR(−2)، وإنما عوضنا في مجموع وضرب معرفين.
راجع جدولك والرسم والمجال المعلن
ابدأ بكتابة القاسمين وجذريهما والباقيين المعروفين. اضرب القاسمين وحدد الدرجة القصوى للباقي المجهول، ثم اختر معاملين للباقي الخطي في هذه المسألة. عوض في الجذرين المختلفين، وحل النظام، وبعده افحص القيمتين ودرجة النتيجة. إذا أردت إنشاء أصل للتحقق، فاخترQ واستخدمP=DQ+R، ثم اكتب أن هذا اختيار توضيحي لا استرجاع وحيد للمقسوم.
الرسم الثاني يفصل الحالة الأصلية ذات الجذرين المختلفين عن حالة الجذر المكرر. اللوحة الأولى تعرض الباقي−x+5 والنقطتين المحددتين له، والثانية تعرض الباقيين المحتملين أربعة وx+3 في المثال الآخر، المتساويين عند المدخل1 فقط. لا نجمع معلومات اللوحتين في مسألة واحدة؛ القواسم والمعطيات مختلفة. جميع الخطوط مولدة من الصيغ التي أعلنّاها، وليس الرسم قياسًا تجريبيًا أو تقديرًا لدرجة كثير حدود مجهول من صورته.
قد لا يكون القاسم في سؤال آخر حاصل ضرب قاسمين خطيين بجذرين حقيقيين مختلفين، وقد تكون المعطيات أقل أو أكثر أو درجة الباقي مختلفة. عندئذ لا نعد المعادلتين اللتين استعملناهما وصفة لكل قسمة. غرض هذه المقالة محدود بمثالنا والتعميم الذي يبرره اختلاف الجذرين ودرجة المنتج، مع مثال مضاد لتكرار الجذر. هذا يتيح جوابًا قابلًا للتحقق دون تعميم يتجاوز ما أثبتناه أو استدعاء خوارزمية برمجية لم نستخدمها.
احتفظ بالباقي واستقلال الأصل عنه
في السؤال الأصلي، الباقيان أربعة وسبعة عند القاسمينx−1 وx+2 يثبتان القيمتينP(1)=4 وP(−2)=7. لذلك يكون باقي القسمة علىD=x²+x−2 هو−x+5 بصورة وحيدة. ومع ذلك يمكن أن يختلفP بإضافة أي مضاعف منD. اشتراط درجة لا تتجاوز واحدًا يسترجع الأصل الخطي، واشتراط تربيعي أحادي المعامل الأعلى يسترجعx²+3، لكن هذه معلومات إضافية لا يحملها الباقيان وحدهما.
عند الجذر المكرر تتكرر معلومة واحدة، فلا يسترجع باقي المنتج من الباقيين على النحو نفسه. وعند الباقيين الصفريين نعرف أنP مضاعف منD، ولا نعرف أنه صفري. وقد يكون للباقي الخطي قيمة سالبة عند مدخل آخر دون مخالفة شرط الدرجة. هذه فروق تتعلق بنوع المجهول وبشروط القسمة والمعطيات، وليست اختلافًا في صحة هويةP=DQ+R التي بدأنا منها.
المرجع يدعم علاقة المقسوم بالخارج والقاسم والباقي، أما المعادلتان والأسرة والأصول والقواسم والرسوم والاختبارات فمن إنشاء المقالة. لم ننقل مثال المصدر أو صورًا منه، النتيجة التي نحتفظ بها واضحة: التعويض في جذري القاسمين المختلفين يحدد الباقي الخطي للمنتج، لكنه لا يسترجع المقسوم الأصلي إلا إذا وصلت معلومة إضافية تقيد الخارج أو الدرجة.
المصادر ومتابعة القراءة
- ماث وورلد: الباقي وعلاقة المقسوم بالقاسم والخارج (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.