الدالة الجذرية: المجال والمدى والرسم بأمثلة محلولة

ابدأ بمعنى الجذر والمجال

يرمز الجذر التربيعي الرئيسي إلى الناتج غير السالب. ولذلك تتطلب الصيغة √g(x) أن يكون g(x)≥0. أما الجذر التكعيبي الحقيقي فيسمح بالموجب والسالب والصفر. المجال يخص المدخلات التي تعرف عليها الصيغة، والمدى يخص القيم التي تحققها فعلا. انتقال المنحنى وانعكاسه أو تمدده قد يغير موقعه ونواتجه؛ افحص الصيغة المحددة. [1] [2]

مثال أصلي: انتقال وانعكاس واتجاه امتداد

اخترنا الصيغة A(x)=2√(7−x)−3. لنبدأ بشرط الواقع داخل الجذر: سبعة ناقص المدخل يجب أن يكون غير سالب. ننقل المدخل إلى الطرف الآخر فنحصل على أن المدخل لا يتجاوز سبعة. إذن المجال (−∞,7]. تدخل النهاية سبعة لأنها تجعل الجذر صفرا، ثم يصبح الناتج سالب ثلاثة. هذا المثال يكشف لماذا لا نقول إن الدالة الجذرية كلها تعطي ناتجا غير سالب: الذي لا يكون سالبا هو الجذر الرئيسي نفسه، أما الصيغة الكاملة فتضربه ثم تطرح ثلاثة. عند المدخل ستة يكون ما تحت الجذر واحدا، فيكون الناتج سالب واحد. وعند ثلاثة يصبح ما تحت الجذر أربعة، فيكون الناتج واحدا. وعند سالب اثنين يصبح ما تحت الجذر تسعة، فيكون الناتج ثلاثة. كل قيمة حسبناها تعود إلى الصيغة نفسها ولا تعتمد على قراءة تقريبية من صورة.

نستنتج أولا أن الناتج لا يقل عن سالب ثلاثة، لأن الجزء المضروب في اثنين غير سالب. لكن هذا يعطي حدا للمدى فقط، ولا يثبت وحده أن كل قيمة أعلى منه ممكنة. لإكمال البرهان، خذ ناتجا تريد الوصول إليه وسمه y، مع الشرط y≥−3. تصبح المعادلة y+3=2√(7−x). الطرف الأيسر غير سالب، فيمكن تربيعه بعد القسمة على اثنين. ينتج المدخل الشاهد x=7−((y+3)/2)². هذا المدخل لا يتجاوز سبعة، ولذلك يقع في المجال الذي وجدناه. بالتعويض في الصيغة، يعيد الجذر القيمة غير السالبة (y+3)/2، ثم تعيد العمليات الناتج المطلوب. بهذا ثبت أن المدى كله هو [−3,∞)، وليس مجرد قائمة من القيم الأربع التي جربناها.

قراءة الاتجاه دون قلب المجال والمدى

في المثال السابق، إن زدنا المدخل ضمن مجاله، نقصت الكمية سبعة ناقص المدخل، ومن ثم نقص الجذر والناتج. لذلك يتحرك المنحنى إلى أسفل عند قراءته من اليسار إلى اليمين. وجود النهاية عند المدخل سبعة يعني أن الرسم يمتد في جهة المدخلات الأصغر منها، وليس أن النواتج سالبة كلها. سجل على ورقة منفصلة سهم القراءة ونقطة النهاية: المدخل سبعة، الناتج سالب ثلاثة. ثم ضع النقاط التي حسبناها وتأكد أن كل نقطة تلائم الاتجاه. إذا وضعت نقطة المدخل ستة أعلى من نقطة المدخل ثلاثة فقد عكست ترتيب النواتج. هذه مراجعة تستعمل الحساب قبل الرسم. واختيار نافذة محدودة للعرض لا يضيف نهاية جديدة إلى المجال؛ حافة الصورة ليست قيدا رياضيا في تعريف المثال.

مثال أصلي: مجال منفصل ومدى متصل

لنأخذ B(x)=√(x²−4x+3). نفكك ما تحت الجذر إلى (x−1)(x−3). إذا كان المدخل أصغر من واحد أو يساويه، يكون العاملان غير موجبين، وحاصل ضربهما غير سالب. وإذا كان المدخل أكبر من ثلاثة أو يساويه، يكون العاملان غير سالبين، ويصلح الجذر أيضا. أما بين الواحد والثلاثة، فأحد العاملين موجب والآخر سالب، فيكون الحاصل سالبا. المجال إذن (−∞,1]∪[3,∞). لا نضم الفترة المحذوفة بسبب أنها تقع بين نقطتين صالحتين؛ الصلاحية هنا تأتي من إشارة التعبير عند كل مدخل. يمكن اختبار المدخل اثنين: يعطي ما تحت الجذر سالب واحد، فيكشف الفجوة مباشرة. وعند الواحد والثلاثة يساوي التعبير صفرا، لذلك تدخل النهايتان في المجال.

مع ذلك، لا توجد فجوة مماثلة في المدى. جميع النواتج غير سالبة، ونريد إثبات إمكان كل ناتج غير سالب، لا الاكتفاء برؤية شكل المنحنى. اكتب x²−4x+3=(x−2)²−1. إذا كان الناتج المطلوب t≥0، يكفي اختيار x=2+√(t²+1). الجذر في هذا الشاهد لا يقل عن واحد، فيكون المدخل ثلاثة أو أكبر، أي داخل الفرع الأيمن من المجال. وعند التعويض يصير التعبير تحت الجذر t²، ثم يعيد الجذر الرئيسي t. المدى لذلك [0,∞). يوجد أيضا الشاهد x=2−√(t²+1) على الفرع الأيسر، وهو لا يتجاوز الواحد. وجود مدخلين لبعض النواتج لا يخرق تعريف الدالة؛ كل مدخل ما زال يعطي ناتجا واحدا. الفجوة التي حذفناها من محور المدخلات لا تنتقل تلقائيا إلى محور النواتج.

كيف تختار نقاطا تكشف الفرعين

ابدأ بنقطتي المدخل الواحد والمدخل الثلاثة، وناتجهما صفر. ثم خذ المدخل صفر: يعطي الجذر التربيعي لثلاثة. المدخل أربعة يعطي الناتج نفسه، لأن البعدين عن العدد اثنين متساويان في التعبير الذي أكملنا مربعه. وبالمثل، المدخل سالب واحد والمدخل خمسة يعطيان الجذر التربيعي لثمانية. لا تحول هذه القيم إلى أعداد صحيحة بالتقريب المبكر؛ احتفظ بالجذر أو استخدم تقريبا معنونا عند الحاجة. ضع المدخل اثنين بوصفه قيمة غير مسموحة، لا نقطة على المحور عند الناتج صفر. الخطأ في وضعه يولد جسرا بين الفرعين لم تحدده الصيغة. وعندما تستخدم برنامجا للرسم، اجعل الفرعين مسارين منفصلين؛ وصل آخر نقطة من الفرع الأيسر بأول نقطة من الأيمن يعرض خطا زائفا عبر الفجوة. هذه التفاصيل تخص مثالنا المحسوب، وليست وصفا لصورة مأخوذة من مصدر.

مثال أصلي: جذر يحدد نصف دائرة

الصيغة التالية C(x)=√(16−(x+1)²). شرط المجال يجعل مربع مجموع المدخل وواحد لا يتجاوز ستة عشر: (x+1)²≤16. وهذا يعني −4≤x+1≤4، ثم −5≤x≤3. في المجال كله، لا يزيد ما تحت الجذر على ستة عشر، ولا يقل عن صفر، فتقع النواتج بين صفر وأربعة. تتحقق القيمة أربعة عند المدخل سالب واحد، حيث يختفي المربع من الفرق. وتتحقق القيمة صفر عند المدخلين سالب خمسة وثلاثة. وعندما نربع علاقة الناتج، نحصل على (x+1)²+y²=16، مع بقاء شرط y≥0. إنها نقاط نصف دائرة علوي مركزه سالب واحد على محور المدخلات ونصف قطره أربع وحدات في هذا النموذج. لا نرسم نصفها السفلي، لأن الصيغة الأصلية تختار الجذر الرئيسي.

لإثبات المدى دون ترك احتمال قيم مفقودة بين الحدود، خذ أي y بين صفر وأربعة. تكون الكمية 16−y² غير سالبة، ونستطيع اختيار x=−1+√(16−y²). يتراوح هذا المدخل بين سالب واحد وثلاثة، فيبقى داخل المجال الأصلي. وبالتعويض يتبقى تحت الجذر y²، الذي يعطي الناتج y بسبب الشرط غير السالب. ثبت بذلك المدى [0,4]. لاحظ أن هذا البرهان يكتفي بالجزء الأيمن من نصف الدائرة لإنتاج جميع النواتج؛ لا يلزم أن نمر بكل المدخلات لإثبات أن كل ناتج في الفترة ممكن. كذلك فإن العثور على أصغر ناتج وأكبره ليس بديلا دائما عن التحقق من القيم الواقعة بينهما؛ الشاهد هنا هو الخطوة التي أكملت الدليل.

مثال أصلي: الجذر في البسط والمقام خارج الجذر

اخترنا D(x)=√(x+2)/(x−4). لدينا شرط يسمح بالجذر، وشرط يمنع انعدام المقام. الشرط الأول هو أن المدخل لا يقل عن سالب اثنين. والشرط الثاني يستبعد المدخل أربعة. نطبقهما معا، فنحصل على [−2,4)∪(4,∞). لا نستبعد سالب اثنين: عنده يصبح البسط صفرا والمقام سالب ستة، فيكون الناتج صفرا معرفا. أما أربعة فممنوع رغم أن ما تحت الجذر فيه موجب؛ فالجذر السليم لا يصلح مقاما صفريا خارج الجذر. كتابة الشرط الأول وحده لذلك تعطي مجالا أوسع مما تسمح به الصيغة. واختبار قيمة واحدة مثل الصفر لا يكشف هذه المشكلة؛ يجب تحديد القيمة التي تصفر المقام وفحصها تحديدا.

ينبغي كذلك أن تميز هذه الصيغة عن 1/√(x+2). في الصيغة الجديدة يقع الجذر نفسه في المقام، ولذلك يستبعد المدخل سالب اثنين أيضا؛ مجالها (−2,∞). مجالها ليس مجال الصيغة السابقة، حتى مع اشتراكهما في التعبير داخل الجذر. ولإيجاد مدى الصيغة الجديدة، نلاحظ أن الناتج موجب. إذا أردنا أي ناتج موجب y، نختار x=1/y²−2. الكسر الأول موجب، فيكون المدخل أكبر من سالب اثنين. وعند التعويض نحصل على الناتج المطلوب، لأن √(1/y²)=1/y عندما يكون الناتج المطلوب موجبا. مدى هذه الصيغة هو (0,∞)؛ لا تصل إلى الصفر، وإن كان الرسم قد يقترب منه. أما المثال الأول في هذه الفقرة فاستخدمناه لشرح المجال فقط، ولم ننسب إليه هذا المدى.

مثال أصلي: جذر تكعيبي يظل له استثناء

ننتقل إلى E(x)=∛((x−2)/(x+3)). المقصود هنا الجذر التكعيبي الحقيقي. لا نحتاج أن يكون الكسر غير سالب، لكن الكسر يجب أن يعرف قبل أخذ جذره، فيستبعد المدخل سالب ثلاثة. المجال هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء تلك القيمة. عند المدخل اثنين يصبح الكسر صفرا ويكون الناتج صفرا. وعند المدخل سالب نصف يصبح الكسر سالب واحد، فيكون الناتج سالب واحد. هذان المثالان يوضحان أن الصفر والسالب صالحان، لكنهما لا يثبتان المدى كله. اسأل أولا هل يمكن أن يكون الناتج واحدا؟ إذا كان الجذر التكعيبي واحدا، وجب أن يساوي الكسر واحدا أيضا. فتؤدي المساواة إلى x−2=x+3، أي مساواة سالب اثنين بثلاثة، وهذا مستحيل.

يبقى أن نثبت إمكان كل ناتج آخر. خذ أي عدد حقيقي y≠1 واكتب u=y³. في الأعداد الحقيقية، لا يكون مكعب عدد غير الواحد مساويا للواحد؛ ويمكن التحقق من ذلك بتحليل الفرق إلى y³−1=(y−1)(y²+y+1). العامل الثاني موجب لأنه يساوي (y+1/2)²+3/4. نحل معادلة الكسر u=(x−2)/(x+3) فنجد الشاهد x=(2+3u)/(1−u). مقام الشاهد غير صفري. وللتأكد أن المدخل لا يقع في القيمة الممنوعة الأصلية، نحسب x+3=5/(1−u)، وهي غير صفرية. عند التعويض في الكسر يعيد u، ثم يعيد الجذر التكعيبي الحقيقي الناتج y. إذن المدى جميع الأعداد الحقيقية باستثناء الواحد. لا يعطينا شعار قبول الجذر التكعيبي لجميع الأعداد هذه النتيجة وحده؛ قيد الكسر قبل الجذر أثر في المجال والمدى معا.

مثال أصلي: الصيغة نفسها على مجال أصغر

عد إلى المثال الأول، لكن قيد المدخلات بالفترة [3,7]. لم نغير قاعدة الحساب، وإنما تغير الجزء المسموح من المجال. عندما يتحرك المدخل من ثلاثة إلى سبعة، تتحرك الكمية سبعة ناقص المدخل من أربعة إلى صفر، ويتحرك الجذر من اثنين إلى صفر. ثم تتحرك النواتج من واحد إلى سالب ثلاثة، فيكون المدى [−3,1]. تدخل النهايتان بسبب المجال المغلق وبسبب تحقق النواتج عندهما. لإثبات كل قيمة بينهما، استعمل الشاهد السابق: إذا كان −3≤y≤1 فإن 0≤y+3≤4، ثم 0≤((y+3)/2)²≤4. لذلك يقع المدخل 7−((y+3)/2)² بين ثلاثة وسبعة. هكذا يطابق البرهان المجال الجديد بدلا من تكرار المدى القديم آليا.

ولو حذف السؤال النهاية ثلاثة وجعل المجال (3,7]، لحذفنا الناتج واحدا وحده من المدى، ليصير [−3,1). السبب أن المثال الأول متناقص، فلا يوجد مدخل آخر في هذا المجال يعطي واحدا. لا نعمم هذه النتيجة على كل دالة؛ في مثال نصف الدائرة كان الناتج صفر يحصل عند مدخلين. حذف أحدهما وحده لا يحذف الصفر من المدى ما دام الآخر باقيا. لذلك لا تكفي مطابقة الأقواس بين المجال والمدى، ولا تكفي متابعة قيمة طرف واحد من دون معرفة هل يوجد شاهد آخر للناتج. قارن الصيغة والشروط الجديدة قبل نقل نتيجة من مثال سبق حله.

مقارنة أصلية: ماذا يتغير إذا بدلنا رتبة الجذر؟

استعمل الكسر نفسه في المثال التكعيبي E، لكن خذ جذره التربيعي: G(x)=√((x−2)/(x+3)). هنا يجب أن يكون الكسر غير سالب، وأن يكون مقامه غير صفري. نفصل خط المدخلات عند سالب ثلاثة واثنين. إلى يسار سالب ثلاثة يكون البسط والمقام سالبين، فيكون الكسر موجبا. وبين سالب ثلاثة واثنين تختلف إشارة العاملين، فلا يصلح الجذر الحقيقي. وعند اثنين يعطي البسط صفرا مع مقام يساوي خمسة، فيصلح المدخل. وبعد الاثنين يكون العاملان موجبين. لذلك يصبح المجال (−∞,−3)∪[2,∞)، وهو أصغر من مجال المثال التكعيبي. استبدال الجذر هنا لم يكن تغييرا في شكل الرمز فقط؛ فرض قيدا إضافيا على نفس التعبير الكسري الذي عرفناه.

النواتج غير سالبة، لكن الواحد لا يتحقق، لأنه يتطلب أن يساوي الكسر واحدا، وقد أثبتنا استحالة ذلك. خذ ناتجا غير سالب مختلفا عن الواحد، وضع u=y². يعطينا حل الكسر الشاهد نفسه من حيث الصيغة x=(2+3u)/(1−u). إذا كان الناتج أصغر من الواحد، كانت u<1، ويبين الفرق x−2=5u/(1−u) أن المدخل اثنان أو أكبر. وإذا كان الناتج أكبر من الواحد، كان u>1، ويبين x+3=5/(1−u) أن المدخل أقل من سالب ثلاثة. في الحالتين يقع الشاهد داخل المجال الجديد، ويعيد التعويض الجذر التربيعي لمربع الناتج، أي الناتج غير السالب نفسه. المدى هو [0,1)∪(1,∞). قارنه بالمدى التكعيبي: كنا نقبل النواتج السالبة هناك، أما هنا فقد حذفتها رتبة الجذر الزوجية، وبقي الواحد مستبعدا بسبب الكسر. هذا مثال تظهر فيه فجوة في المجال واستثناء داخل المدى؛ سبب كل واحد منهما محدد ويمكن فحصه، ولا نستنتجهما من تشابه الرسمين.

اختبر المقارنة بناتجين محددين. للوصول إلى نصف في المثال التربيعي، نستعمل مربعه، وهو ربع، فنجد المدخل 11/3. عند التعويض يكون البسط خمسة أثلاث والمقام عشرين ثلثا، فتكون النسبة ربعاً ويكون جذرها نصفاً. وللوصول إلى اثنين، نستعمل المربع أربعة ونجد المدخل −14/3. يعطي التعويض البسط سالب عشرين ثلثا والمقام سالب خمسة أثلاث، فتكون النسبة أربعة وجذرها اثنين. المدخل الأول على الفرع الأيمن والثاني على الفرع الأيسر. أما المدخل سالب نصف الذي أعطى سالب واحد في المثال التكعيبي، فإنه يجعل الكسر سالب واحد ولا يصلح لهذا الجذر التربيعي. هذه القيم توضح القيود بأعداد يمكن التحقق منها يدويا، وتربط الشاهد العام بحسابات ملموسة بدلا من تركه صيغة مجردة.

مراجعة أخيرة تجمع الرسم والبرهان

ضع أمام كل مسألة ثلاثة أسطر: شروط المجال، ثم حد أو حدود للنواتج، ثم دليل على إمكان النواتج داخل المدى المقترح. في السطر الأول افصل كل شرط قبل تقاطعها. وفي السطر الثاني احتفظ باتجاه الإشارة بعد الضرب أو الطرح؛ ليس الجذر نفسه هو الناتج الكامل دائما. وفي السطر الثالث تستطيع بناء شاهد مدخل بدلالة ناتج مطلوب، كما فعلنا في الأمثلة، ثم تعيده إلى المجال وتتحقق بالتعويض. هذا التحقق يمنعك من استعمال مدخل خارج القيود أثناء إثبات المدى. وإذا اكتفيت بجدول محدود، فهو يثبت القيم التي حسبتها ويعين على الرسم، لكنه لا يثبت كل القيم التي لم تحسبها.

اقرأ الرسم على ضوء الصيغة: النقطة المصمتة عند نهاية محسوبة ليست مثل حافة نافذة العرض. والجزء الفارغ بين فرعين ليس مثل ناتج محذوف من المدى. احفظ التعبير الدقيق في الحسابات، واكتب علامة التقريب حين تستعمل عشريا لتحديد موضع نقطة. ثم ارجع إلى السؤال: هل المجال هو المجال الطبيعي للصيغة، أم هناك قيد إضافي فرضته المسألة؟ هذه الخطوة قد تغير الإجابة حتى مع ثبات الرسم الأساسي وقاعدة الحساب. الأمثلة هنا مؤلفة وحساباتها مستقلة؛ فائدتها أن ترى كيف تتعاون الشروط والشواهد والصورة، فتستطيع بناء حل يمكن مراجعته لكل صيغة جديدة تواجهها.