تغيير قيمة واحدة: هل يتغير مدى قائمتنا؟

ثبت القائمة واسم البطاقة قبل الحساب

يعرف MathWorld المدى الإحصائي بطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة. أمثلة التغيير في هذه الورقة مؤلفة. ^[1]

في قائمتنا الأصغر 2 والأكبر 7، ولذلك نكتب 7−2=5. ظهور السبعة مرتين لا يجعلها أربع عشرة عند اختيار الأكبر. هذه مهمة مقارنة الطرفين، لا جمع القيم ولا عد البطاقات التي تشترك في قيمة واحدة.

نسمي مواضع البطاقات الأول والثاني والثالث والرابع. البطاقة الثالثة تحمل سبعة، والرابعة تحمل سبعة أيضًا، لكنهما ظهوران محفوظان في السجل. لو طلبنا استبدال الثالثة، فلا يشمل ذلك الرابعة لمجرد اتفاق القيمة. تحديد الموضع جزء من معطيات هذه الورقة.

يسجل الرسم الرئيسي ثلاث حالات متتابعة بأربع بطاقات في كل حالة. ترتيب البطاقات يحفظ موضع التغيير، ولا يلزم أن يكون ترتيبًا تصاعديًا بعده. لا نعد أرقام المعادلة أسفل الصف بطاقات إضافية؛ إنها تبين حساب القائمة المعروضة.

غيّر القيمة الداخلية دون تغيير الطرفين

ابدأ بنسخة مستقلة من القائمة الأولى، واستبدل البطاقة الثانية ذات القيمة 4 بالقيمة 5. تصير القيم 2 ثم 5 ثم 7 ثم 7. الأصغر ما زال 2، والأكبر ما زال 7، فيبقى الحساب 7−2=5.

لقد تغيرت إحدى القيم بالفعل، لكن الجواب عن سؤال المدى لم يتغير. لا نستنتج من ثبات الجواب أن القائمة نفسها ثابتة، ولا نضيف الفرق بين أربعة وخمسة إلى المدى القديم تلقائيًا. أعد تحديد الطرفين بدل معالجة أي تغير كأنه زيادة مباشرة في النتيجة.

للمراجعة، غط خانة المدى في السجل وقارن القيم الأربع. يمكنك العثور على الطرفين دون إعادة ترتيب كل البطاقات؛ وإن رتبتها، احتفظ بنسخة المواضع الأصلية أولًا. الترتيب يساعد في القراءة، لكنه لا يحدد وحده البطاقة التي قصدنا استبدالها.

استبدل ظهورًا من الطرف المكرر

عد الآن إلى القائمة الأولى نفسها، لا إلى نسخة المثال الداخلي. نستبدل البطاقة الثالثة من 7 إلى 5، فتصير القيم 2 ثم 4 ثم 5 ثم 7. البطاقة الرابعة بقيت سبعة، وهي أكبر من جميع القيم الأخرى. إذن المدى مرة أخرى 7−2=5.

قد يقول سجل خاطئ: «غيرت القيمة الكبرى، إذن اختفت السبعة». هذا الوصف تجاهل الظهور الثاني. نصححه بتسمية البطاقة الثالثة التي تغيرت، ثم الإشارة إلى الرابعة التي لم تتغير. لا نحذف كل تكرار لقيمة لمجرد أنها كانت مكتوبة في البطاقة المختارة.

الرسم الداخلي يعرض الظهورين الأصليين عند السبعة بإشارتين منفصلتين فوق الموضع نفسه. لا يمثل ارتفاع الإشارتين قيمتين عدديتين مختلفتين؛ كلاهما يحمل سبعة. المسافة الأفقية من اثنين إلى سبعة تعين فرقنا خمسة في خط الأعداد المؤلف.

قارن المثالين السابقين: استبدلنا قيمة داخلية مرة، وظهورًا من القيمة الكبرى مرة. بقي المدى خمسة في الحالتين، لكن سببي متابعة البطاقات مختلفان. اكتب القائمة الناتجة بجانب الجواب كي يستطيع المراجع رؤية الظهور الذي حفظ الطرف.

أزل الطرف المنفرد وأعد اختيار الأكبر

نتابع من حالة 2 ثم 4 ثم 5 ثم 7 التي خرجت من استبدال البطاقة الثالثة. الآن نستبدل الرابعة بالقيمة 3. تصير القيم 2 ثم 4 ثم 5 ثم 3. لم تبق سبعة، والأكبر بين القيم الناتجة هو خمسة، لا أربعة لمجرد أنها تسبق الثلاثة في السطر.

الأصغر ما زال اثنين، ولذلك المدى 5−2=3. لا نطرح الفرق بين سبعة وثلاثة من المدى القديم فنحصل على واحد؛ ذلك يتجاهل البطاقة ذات الخمسة التي أصبحت الطرف الأكبر. إعادة المقارنة في القائمة الجديدة تكشف موضع هذا الخطأ.

يمكن مراجعة الجواب بترتيب قيم الحالة الأخيرة: اثنان وثلاثة وأربعة وخمسة. الطرفان ظاهرَان، والفرق ثلاثة. لكن لا تعِد تسمية مواضع السجل بعد هذا الترتيب، ثم تدعي أن البطاقة الثانية الأصلية هي الثلاثة؛ لقد نقلت البطاقات للعرض، ولم تغير تاريخ الاستبدال.

اختبر طرفًا جديدًا والطرف الأصغر

نبدأ مثالًا مستقلًا بالقائمة الأولى 2 ثم 4 ثم 7 ثم 7. نستبدل البطاقة الثانية بـ 11. تصبح القيم 2 ثم 11 ثم 7 ثم 7. القيمة التي كانت داخلية أصبحت أكبر من السبعتين؛ نحسب 11−2=9، فلا يكفي السؤال عن اختفاء أكبر قيمة قديمة.

وفي نسخة أخرى من البداية، نستبدل الأولى ذات القيمة 2 بـ 4. القائمة الناتجة 4 ثم 4 ثم 7 ثم 7؛ الأصغر أربعة والأكبر سبعة، فيكون المدى 7−4=3. احتفاظنا بظهورين للسبعة لا يمنع تغير الطرف الأصغر في هذه الحالة.

عند مراجعة أي نسخة، أبق البطاقات التي لم تتغير، ثم قارن القيمة الجديدة بها لاختيار الطرفين. إذا كانت القائمة تضم قيمة واحدة فقط، فاستبدالها يبقيها قائمة مفردة، والأكبر والأصغر فيها القيمة نفسها، فالفرق صفر. لا نستعمل هذه المراجعة لقائمة فارغة بلا قيم.

حل تمرينًا واحفظ مسار كل نسخة

نؤلف تمرينًا بالقيم 1 ثم 3 ثم 3 ثم 7. المدى الأول 7−1=6. استبدل الرابعة من 7 إلى 5؛ تصبح القيم 1 ثم 3 ثم 3 ثم 5، فيكون المدى 5−1=4. اكتب سبب اختيار الخمسة قبل وضع النتيجة في الخانة الأخيرة.

ثم ابدأ نسخة مستقلة من التمرين الأصلي، واستبدل البطاقة الثانية من 3 إلى 6. تصير القيم 1 ثم 6 ثم 3 ثم 7، ويبقى المدى 7−1=6. اختلاف الجوابين لا يناقض الحساب؛ النسختان تستبدلان بطاقتين مختلفتين وتنتجان قائمتين مختلفتين.

اختم السجل باسم النسخة، والقائمة قبل التغيير، وموضع البطاقة، وقيمتها الجديدة، والقائمة بعده، والطرفين، والفرق. راجع أن عدد البطاقات بقي ثابتًا وأنك لم تستبدل ظهورين معًا. بهذه الخطوات يكون لكل جواب مسار واضح، بدل رقم منفصل لا نعرف أي قائمة يصف. قارن كل نسخة بأصلها المحدد قبل اعتماد سطرها الأخير.