دائرتا أرخميدس: نصف قطر واحد وارتفاعان مختلفان

الخلاصة السريعة

إذا كان نصفا القوسين الداخليين a وb، فنصف قطر كل دائرة من التوأمتين ρ=ab/(a+b). [2] تساوي النصفين لا يفرض تساوي ارتفاعَي المركزين.

• نختار A=(0,0)، B=(9,0)، C=(25,0). أنصاف الدوائر فوق القاعدة، بأقطار9 و16 و25. العمودx=9 يقسم الفراغ، وكل دائرة صغيرة تمسه مع الخارجية وأحد القوسين الداخليين.
• في المثال ρ=72/25، ومركزا الدائرتين P=(153/25,36/5) وQ=(297/25,48/5). بعد كل مركز عن العمود72/25، لكن الارتفاعين36/5 و48/5 مختلفان.
• عمومًا، للأقطارين u وv، شرطا التماس يعطيان ρ=uv/(2(u+v)) وh1²=2uρ وh2²=2vρ. لذلك يتساوى الارتفاعان فقط عندu=v؛ الدائرتان متساويتان بالحجم حتى مع غياب تناظر القوسين.
• تماس العمود عند J1=(9,36/5) وJ2=(9,48/5). نقطتا الخارجية T1=(2025/481,4500/481) وT2=(5625/481,6000/481)، والداخليتان U1=(225/41,180/41) وU2=(225/17,120/17).
• خفض Q إلى W=(297/25,36/5) مع حفظ نصف القطر يجعل الدائرة تمس العمود والأولى، لكنها تتداخل مع القرص الداخلي الأيمن وتفقد تماس الخارجية. تساوي الارتفاعين ليس شرطًا يجوز إضافته للبناء.
• في مثالنا، التوأمتان منفصلتان؛ لا تمسان بعضهما عند نقطة واحدة على العمود. الإزاحة(2,−1) تحرك المماس إلىx=11، والتكبير2 يجعل النصف144/25 والارتفاعين72/5 و96/5؛ تبقى علاقات التماس.

ثلاثة أقواس وعمود يشترط ثلاثة تماسّات

نضع A=(0,0)، B=(9,0)، C=(25,0) على y=0، ونرسم أنصاف الدوائر العلوية ذات الأقطار AB وBC وAC. مراكز دوائرها L=(9/2,0)، N=(17,0)، O=(25/2,0)، وأنصافها9/2 و8 و25/2.

من B نرفع العمودx=9. كل واحدة من دائرتي أرخميدس تمس هذا العمود والخارجية وأحد القوسين الداخليين، وتوجد على جهة مختلفة من العمود. [1] لا نشترط تماس كل واحدة مع القوسين الداخليين معًا.

يقطع العمود الخارجية عند D=(9,12)، لأن(9−25/2)²+12²=625/4. المنطقة يساره بين الخارجية واليسرى، والمنطقة يمينه بين الخارجية واليمنى. نبحث عن دائرة داخل كل جزء، لا عن دائرتين حول الخط دون فحص الأقواس.

التماس مع الخارجية داخلي؛ بعد المركزين يساوي نصف الكبيرة ناقص نصف الصغيرة. التماس مع القوس الداخلي خارجي؛ بعد المركزين يساوي مجموع النصفين. تحديد الفرق أو المجموع يسبق التعويض في المعادلات.

نصف قطر واحد ومركزان كسريان

نصف القطر المشترك في البناء هوρ=ab/(a+b)، حيثa وb نصفا القوسين الداخليين. [2] في المثال a=9/2 وb=8، فيكون ρ=((9/2)×8)/(25/2)=72/25.

مركز اليسرى P=(153/25,36/5). بعده الأفقي عن x=9 هو9−153/25=72/25. مركز اليمنى Q=(297/25,48/5)، وبعده عن العمود297/25−9=72/25. هاتان مسافتان إلى مستقيم، لا إلى النقطة B وحدها.

بعد P عن O يساوي481/50، وهو25/2−72/25. وبعده عن L يساوي369/50، وهو9/2+72/25. أما بعد Q عن O فهو481/50 أيضًا، وعن N يساوي272/25، وهو8+72/25.

الارتفاع36/5 أكبر من72/25، وكذلك48/5؛ لذلك كلا القرصين فوق القاعدة. الدائرة اليسرى تقع كلها يسار العمود أو عليه، واليمنى يمينه أو عليه. فلا تدخل أي واحدة في نصف القرص الداخلي الواقع على الجهة الأخرى.

فرق الارتفاعين48/5−36/5=12/5. تساوي بعد المركزين عن O لا يجعل إحداثييهما الرأسيين متساويين؛ يمكن أن تكون نقطتان على دائرة مركزها O بارتفاعين مختلفين. المساواة هنا تخص حجم الدائرتين، لا موضعيهما.

اشتق نصف القطر من شروط المسافة

لنكتب AB=u وBC=v، معu وv موجبين. نصف الخارجية R=(u+v)/2. لدائرة يسار العمود نصفهاρ ومركزها(u−ρ,h1)، يكون بعد المركز عن العمودρ تلقائيًا.

التماس مع اليسرى يعطي (u/2−ρ)²+h1²=(u/2+ρ)². طرح المربعين يترك h1²=2uρ. والتماس الداخلي مع الخارجية يعطي ((u−v)/2−ρ)²+h1²=(R−ρ)².

نعوض h1² ثم ننشر المربعات. تختزل المعادلة إلى2(u+v)ρ−uv=0، فنجدρ=uv/(2(u+v)). هذا يوافقab/(a+b) عندماa=u/2 وb=v/2؛ النتيجة من الشروط وليست من قياس الرسم.

لليمين المركز(u+ρ,h2). شرط الداخلية اليمنى يعطي h2²=2vρ، وشرط الخارجية ((u−v)/2+ρ)²+h2²=(R−ρ)². الاختزال يعطي المعادلة نفسها للنصفρ، فيثبت التساوي مع اختلاف الارتفاع المحتمل.

في u=9 وv=16، نجد h1²=1296/25 وh2²=2304/25، والجذران الموجبان36/5 و48/5. نختار الإشارة الموجبة لأن البناء فوق القاعدة. عمومًا h1²−h2²=2ρ(u−v)، فتساوي الارتفاعين يتطلبu=v.

النصف المحسوب موجب وأصغر منu/2 ومنv/2. لذلك h1 وh2 أكبر منρ، ويبقى كل قرص فوق القاعدة. وبالشروط الثلاثة يصير داخل الخارجية وخارج الداخلية الموافقة؛ هذه الشروط تثبت البناء الذي وصفناه.

راجع نقاط التماس الست بالكسور

تماس العمود يقع عند J1=(9,36/5) وJ2=(9,48/5). القطعتان PJ1 وQJ2 أفقيتان، طول كل منهما72/25؛ وهما عموديتان على المماس الرأسي. ارتفاع نقطة التماس يساوي ارتفاع مركز دائرتها.

تماس اليسرى مع الخارجية T1=(2025/481,4500/481)، واليمنى T2=(5625/481,6000/481). كل نقطة تبعد25/2 عن O و72/25 عن مركز دائرتها الصغيرة. تقع على امتداد خط المركزين من جهة الدائرة الصغيرة.

مع القوس الداخلي الأيسر، نجد U1=(225/41,180/41). بعدها عن L يساوي9/2 وعن P يساوي72/25. ومع الأيمن، U2=(225/17,120/17) تبعد8 عن N و72/25 عن Q. هاتان النقطتان بين مركزي كل زوج متماسين خارجيًا.

لا نضع نقطة التماس في منتصف خط المركزين إلا إذا كان نصفا الدائرتين المتماسّتين متساويين، وهو غير متحقق مع الأقواس هنا. تقسيم القطعة يتبع نصفي القطر، وتتحقق الإحداثيات بالتعويض في معادلتي الدائرتين.

في مثالنا، التوأمتان لا تمسان بعضهما. الفرق الأفقي بين P وQ هو144/25، يساوي مجموع النصفين، لكن الفرق الرأسي12/5 غير صفري. لذلك PQ²−(144/25)²=144/25 موجب، والمسافة بينهما أكبر من مجموع النصفين.

فرض الارتفاع نفسه يفسد التماس

اخفض مركز اليمنى من Q إلى W=(297/25,36/5)، وأبقِ نصفها72/25. صار W على ارتفاع P، لكن الإحداثي الأفقي لم يتغير؛ الدائرة الحمراء ما زالت تمسx=9، الآن عندJ1 بدلJ2.

كذلك PW=144/25، مجموع النصفين؛ تصبح الحمراء مماسة لليسرى عند J1. قد يبدو هذا ترتيبًا متناظرًا حول العمود، لكنه لم يعد يحقق شروط دائرة أرخميدس اليمنى.

احسب WN²−(8+72/25)²=−1008/25. الفرق السالب يعني أن بعد W عن N أصغر من مجموع النصفين. ومع كونه أكبر من فرق النصفين، تتقاطع الدائرتان ويتداخل القرصان؛ الحمراء تدخل نصف القرص الداخلي الأيمن المستبعد.

للمقارنة مع الخارجية، WO²−(25/2−72/25)²=−1008/25 أيضًا. بعد المركز أصغر من فرق النصفين، فتقع الحمراء داخل القرص الكبير وتنفصل عن قوسه. لا يصح وصف هذا الموضع بأنه تماس داخلي لمجرد وجود الدائرة داخل الخارجية.

الصورة الثانية تعرض P وQ الصحيحين بالأزرق، وW المنقول بالأحمر. القطعة QW تبين الخفض بمقدار12/5. المماس الرأسي بقي ثابتًا؛ الخطأ هو تغيير المركز لتحقيق شرط ارتفاع لم تطلبه المسألة.

انقل المماس مع البناء واحتفظ بالمقياس

الفحص لا يتطلب تساوي u وv؛ يشترط وجود نقطة القسمة بين طرفي القطر وأن تكون أنصاف الدوائر على الجهة نفسها. عندu=v فقط يصير الارتفاعان متساويين، وتكون الدائرتان متناظرتين حول العمود. وعند تساوي الارتفاعين تتلامس الدائرتان عند نقطة مشتركة على العمود؛ أما مثال9 و16 فله نقطتان مختلفتان. غياب التناظر لا يمنع تساوي الحجم.

نقاط تماس العمود تقع بين B وD. في الحساب العام h1²=u²v/(u+v) وh2²=v²u/(u+v)، وكلاهما أصغر منuv، مربع طول BD. لذلك لا نستعمل دائرة تمس امتداد الخط أعلى القوس ونعدها داخل المنطقة.

بعد الإزاحة(2,−1)، تصير B=(11,−1)، والمماسx=11، وP=(203/25,31/5)، وQ=(347/25,43/5). الارتفاعان عن القاعدة الجديدةy=−1 يبقيان36/5 و48/5. الإحداثي الرأسي وحده ليس الارتفاع عن أي قاعدة.

التكبير الموحد2 يجعل الأقطار18 و32 و50، والنصف144/25، والمركزين(306/25,72/5) و(594/25,96/5). جميع المسافات تتضاعف، فتظل فروق الأنصاف ومجاميعها والمسافات إلى المماس متوافقة.

لإعادة البناء، حدد الأقطار وعمود القسمة، ثم استخرج النصف والارتفاعين. افحص ثلاثة تماسّات لكل دائرة، وميز التساوي في الحجم عن التناظر أو التماس بين الدائرتين. احتفظ بالكسور والوحدات إلى نهاية الحساب؛ وضوح الرسم لا يغني عن شروط المسافة.