قد تعطيك نسبة مئوية مقربة أكثر من عدد صحيح ممكن حتى إذا عرفت المجموع. سنبدأ بمجال القيمة التي يمكن أن تعرض34٪، ثم نبحث عن أعداد الحالات داخله ونتحقق بإعادة حساب نسبها. الأمثلة مؤلفة، ونعلن قاعدة التقريب ونوع العد قبل تفسير النتائج.
الخلاصة السريعة
استرجع مجال النسبة وفق قاعدة التقريب المعلنة، واضرب حدوده في المجموع ثم اختر الأعداد الصحيحة المتفقة؛ قيمة العرض وحدها لا تسترجع دائمًا قيمة أصلية واحدة. [1]
- نفترض عدًا صحيحًا متساوي الأوزان ومجموعًاN موجبًا، وتقريب أقرب عدد صحيح مع رفع المنتصف للأعداد غير السالبة. العرض34٪ يعني33.5≤100n/N<34.5.
- معN=80 يصبح26.8≤n<27.6، والحل الوحيد27؛ نسبته الدقيقة33.75٪ تعرض34. معN=200 يصبح67≤n<69، فالحلان67 و68.
- معN=1000 الحلول335 إلى344 وعددها10؛ الحد345 غير مشمول في القاعدة المختارة. معN=3 لا يوافق أي عدد صحيح العرض34 تحت هذه الشروط.
- إذا أُعلن تقريب أقرب عُشر وعرض34.0٪ معN=1000، صار339.5≤n<340.5 والحل340. الصفر المكتوب وحده لا يثبت سياسة ناشر غير معلنة.
- عند حسم التعادل إلى العدد الزوجي،34.5 أيضًا تصبح34؛ معN=1000 يشمل المجال345 ويصير عدد الحلول11. لا تبدل قاعدة المنتصف دون مراجعة الأطراف.
- مجموعة الأعداد المتوافقة ليست فترة ثقة أو توزيع احتمال. راجع المجموع ونوع الوزن وقاعدة العرض؛ لا تجعل0.34N وحده دليلًا على العدد الأصلي.
- تقاطع المجال مع0≤n≤N: عندN=1000 يعطي عرض0٪ الحلول0–4، وعرض100٪ يعطي995–1000. وفي تمريني50 مع34٪ و9 مع67٪ الحلان17 و6؛ لا تستخدم المقام صفرًا.
ثبت المجموع وما تعنيه النسبة المعروضة
توضح وثائق roundwork أن التقريب يفقد بعض المعلومات، وأن استرجاع حدود القيمة الأصلية يتوقف على قاعدة التقريب وعدد المنازل وشمول الأطراف. سنطبق هذه الفكرة في مسألة مؤلفة: نعرف مجموع الحالات، ونبحث عن الأعداد الصحيحة التي تعطي نسبة معروضة محددة، دون تشغيل الحزمة أو نقل أمثلتها. [1]
نفترض مجموعًا موجبًا من الحالات نرمز إليه N، وعددًا صحيحًا من حالات فئة معينة نرمز إليه n. لكل حالة الوزن نفسه، والعدد بين صفر وN. النسبة الدقيقة هي p=100n/N. الذي وصل إلينا في التمرين هو عرض مقرب إلى34٪، وليس بالضرورة النسبة الدقيقة34٪. لا نبحث عن أسماء الحالات أو تفاصيلها، بل عن القيم العددية المتفقة مع هذه البيانات تحت قاعدة عرض نعلنها صراحة.
نختار التقريب إلى أقرب عدد صحيح من النسبة المئوية، مع رفع المنتصف الدقيق للأعداد غير السالبة. وفق هذا الاختيار33.5 تصبح34، و34.5 تصبح35. القيم الواقعة بين الحدين تعرض34. ذكر القاعدة مهم لأن طريقة أخرى لحسم المنتصف قد تغير إدخال أحد الحدين في مجالنا. لا نفترض من شكل الرقم وحده أن ناشرًا فعليًا استخدم هذه الطريقة؛ هي جزء من شروط مسائلنا المؤلفة.
استرجع مجال النسبة قبل ضربها في المجموع
إذا كان الرقم المعروض34 تحت القاعدة المحددة، فإن النسبة الدقيقة تحقق 33.5≤p<34.5. الحد الأدنى مشمول لأنه يقرب إلى34، والأعلى غير مشمول لأنه يقرب إلى35. ثم نعوض p=100n/N، فنكتب 33.5≤100n/N<34.5. ولأن N موجب نضرب في N/100 دون عكس علامتي المقارنة. هكذا يصبح المجال 0.335N≤n<0.345N، وبعد ذلك نختار الأعداد الصحيحة الواقعة داخله ضمن صفر إلىN.
هذا المسار يختلف عن حساب0.34N ثم تقريب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. الرقم34 نقطة واحدة من مجال نسب يمكن أن تعرضه، وليس بالضرورة النسبة التي بدأت بها العملية. ضرب نقطة العرض في المجموع قد يعطي قيمة مناسبة في بعض الحالات، وقد يخفي بدائل صحيحة أو يعطي عددًا لا يوافق العرض أصلًا في حالة أخرى. لذلك نحتفظ بمجال النسبة أولًا، ثم نضيف شرط أن n عدد صحيح.
الفارق بين34 و33.5 نصف نقطة مئوية في مقياسنا، وليس نصفًا بالمئة من العدد34 نفسه. نصف بالمئة من34 يساوي0.17، وسيعطي مجالًا آخر إذا استعملته خطأ حول النقطة المعروضة. نراجع هنا حدود التقريب إلى أقرب نسبة مئوية كاملة، لا نسبة خطأ نسبية اخترناها للقياس. الأعداد الدقيقة والكسور في هذا التمرين تكفي لتعليل الأطراف دون تحويل الحدود إلى تخمين بصري من صورة.
افحص حالة تعطي عددًا واحدًا
إذا كان المجموعN=80 نحصل على26.8≤n<27.6. العدد الصحيح الوحيد داخل هذا المجال هو27. إذن الشروط المحددة للعرض34٪ والمجموع80 وقاعدة التقريب تجعل27 العدد الممكن الوحيد في المثال. لا نقول إن كل نسبة مقربة تعطي عددًا وحيدًا، ولا نبدل النسبة الدقيقة بقيمة العرض. لقد أضاف المجموع وشرط الأعداد الصحيحة معلومات جعلت هذا المجال يضم قيمة واحدة.
نتحقق إلى الأمام:100×27/80=33.75٪، وتعرض34 عند التقريب الذي اخترناه. أما26 فتعطي32.5٪، وتعرض33؛ و28 تعطي35٪ وتعرض35. لذلك لا تدخل القيمتان المجاورتان في مجموعة الحلول. ضرب0.34 في80 يعطي27.2، وهو ليس عدد حالات صحيحًا. لو قربته إلى27 فستجد الحل الصحيح هنا، لكن صحة هذه المصادفة لا تثبت أن إجراء تقريب الناتج يسترجع دائمًا كل القيم الممكنة.
إذا أخبرنا أحد أن النسبة34٪ دقيقة غير مقربة والمجموع80، فستكون المسألة مختلفة: n=27.2 لا يوافق شرط العدد الصحيح تحت نموذج الحالات المتساوية الأوزان. هذا لا يثبت وجود خطأ في أي بيانات واقعية مجهولة؛ قد يكون تعريف النسبة أو نوع الوزن مختلفًا، أو قد يكون الرقم معروضًا بتقريب لم يصرح به. في تدريبنا نذكر القاعدة التي نستعملها، ونفسر فقط ما يوافقها أو لا يوافقها.
افحص حالة تعطي بديلين صحيحين
إذا تغير المجموع إلىN=200، مع بقاء العرض34٪ وقاعدة التقريب نفسها، صار المجال67≤n<69. الأعداد الصحيحة الممكنة67 و68. الأول يعطي33.5٪ بالضبط، وهو عند الحد الأدنى المشمول، ويعرض34. والثاني يعطي34٪ ويعرض34 أيضًا. العدد69 يعطي34.5٪، لكنه يعرض35 تحت اختيار رفع المنتصف، لذلك نستبعده. تغير المجموع وحده جعل الجواب متعددًا بدل الحالة الوحيدة التي رأيناها مع80.
الحساب0.34×200=68 يختار أحد الحلين الممكنين لكنه لا يستبعد67. إذا كتبنا68 بوصفه العدد المسترجع الوحيد فقد أضفنا دقة لا يتيحها العرض. الجواب الذي يطابق الشروط هو مجموعة القيمتين، ويمكن وصفهما في عبارة «67 أو68 حالة». لا يعني ذلك أن نصف كل حالة مجهول أو أن ناتج الحساب نفسه عشوائي؛ نحن نعرف بديلين صحيحين للعدد تحت المعلومات المحدودة التي اخترناها.
يجوز أن تضيف معلومة أخرى فتحسم أحد البديلين، مثل تصريح في حالة جديدة بأن العدد أقل من68، فيبقى67. لكن هذه معلومة مستقلة، وليست مستنتجة من نسبة34 وحدها. سجّل ما أضفته إلى المسألة حتى يفهم القارئ لماذا صارت الإجابة أكثر تحديدًا. لا نستعمل هنا احتمالات لترجيح67 على68، ولا نملك بيانات تقول إن أحدهما أكثر حدوثًا؛ المجال يبين التوافق الحسابي فقط.
حل عشرة أعداد عند مجموع ألف
إذا كان المجموعN=1000 صارت حدود العدد335≤n<345. جميع الأعداد الصحيحة من335 إلى344 متفقة مع العرض34٪ تحت قاعدة رفع المنتصف. عددها عشرة:335 و336 و337 و338 و339 و340 و341 و342 و343 و344. لا ندخل345 لأنه على الحد الأعلى المستبعد. هذه ليست قائمة قيم نختار منها الأكثر احتمالًا؛ هي جميع الأعداد التي لا يمكن استبعادها من المعلومات الحسابية المحددة في المثال.
نراجع طرفين من المجموعة:335 من1000 تعطي33.5٪، فتُعرض34، و344 تعطي34.4٪، فتُعرض34 أيضًا. أما334 فتعطي33.4٪ وتُعرض33، و345 تعطي34.5٪ وتُعرض35. القيم الداخلية تزيد بمقدار0.1 نقطة مئوية لكل زيادة واحدة في العدد، لذلك تبقى ضمن مجال العرض34 إلى أن نصل إلى الحد الأعلى. احتفظ بالحدين وعلامتي المقارنة بدل كتابة «من335 إلى345» دون تنبيه إلى استبعاد الطرف الثاني.
الضرب المباشر0.34×1000 يعطي340، وهو حل ممكن لكنه ليس الحل الوحيد. لا نسمّيه العدد الحقيقي للحالات لمجرد أنه نقطة وسطية مألوفة في المجال. اختيار قيمة واحدة يحتاج إلى معلومة إضافية أو غرض معلن مختلف عن استرجاع جميع الاحتمالات المتفقة. في الرسم الأول تظهر نقاط الأعداد العشرة داخل مجال النسبة؛ اللون يميز التوافق مع قاعدة العرض، ولا يمثل نسبة احتمال أو قياسًا لمجموعة بيانات فعلية.
فسر مجموعة فارغة عند مجموع ثلاثة
اخترN=3 مع العرض34٪ والقاعدة نفسها. يصبح مجال العدد1.005≤n<1.035، ولا يوجد عدد صحيح داخله. يمكن مراجعة جميع الخيارات: العدد0 يعطي0٪، والعدد1 يعطي100/3٪، والعدد2 يعطي200/3٪، والعدد3 يعطي100٪. عند أقرب نسبة مئوية كاملة تعرض هذه القيم0 و33 و67 و100، ولا تعرض34. هذه نتيجة تخص المقام والقاعدة ونوع العد التي صرحنا بها، وليست استنتاجًا عن جدول مجهول الشروط.
الضرب0.34×3 يعطي1.02، وقد يدفعك إلى تقريب العدد إلى1. لكن1 من3 تعرض33 تحت قاعدة مثالنا، فلا يحقق الناتج بعد التقريب الرقم الذي بدأنا منه. هنا يظهر لماذا لا يكفي تقريب حاصل ضرب قيمة العرض في المجموع: قد تحصل على عدد حالات صحيح، لكنه لا يعيد إنتاج النسبة المعروضة. نختبر الحل إلى الأمام بدل الاكتفاء بأنه عدد صحيح قريب من القيمة التي حسبناها.
إذا جاءك تقرير فعلي يجمع بين هذه القيم، راجع ما إذا كان المجموع3 هو المقام الصحيح، وهل النسبة مقربة بالقاعدة نفسها، وهل الحالات لها أوزان متساوية، وهل أضيف تعديل آخر إلى العرض. لا نعلن من هذا التمرين وحده أن الكاتب أخطأ أو أن البيانات مزورة. المجموعة الفارغة تقول إن شروط نموذجنا مجتمعة لا تتيح عددًا صحيحًا مناسبًا؛ قد تحتاج قراءة التقرير إلى معلومات لا نملكها في المثال.
قارن التقريب إلى صحيح وإلى عُشر
نبقيN=1000 لكن نعلن الآن أن العرض34.0٪ ناتج عن تقريب أقرب عُشر من النسبة، مع رفع المنتصف. المسافة بين قيمتي عرض متجاورتين0.1 نقطة مئوية، فنصفها0.05. لذلك33.95≤p<34.05. وبعد تحويلها إلى العدد نحصل على339.5≤n<340.5. العدد الصحيح الوحيد340، ونسبته الدقيقة34٪. في هذا النموذج جعلت دقة العرض الإضافية المجال أضيق من المجال الذي احتوى عشرة حلول عند أقرب عدد صحيح.
تحقق من المجاورين:339 من1000 تعطي33.9٪، فلا تعرض34.0 عند أقرب عُشر؛ و341 تعطي34.1٪، ولا تعرض34.0 أيضًا. الرسم الثاني يقارن مجموعة الحلول335 إلى344 في العرض الصحيح بمجموعة الحل340 في العرض ذي المنزلة الواحدة. نقطتا339.5 و340.5 هما حدود للعدد قبل شرط الأعداد الصحيحة، وليستا نصف حالتين موجودتين في البيانات. نحن نستخدم مجالًا مستمرًا كخطوة للوصول إلى مجموعة أعداد صحيحة.
لا تستنتج سياسة ناشر من وجود صفر بعد الفاصلة وحده. قد تكون34.0 طريقة تنسيق لرقم قُرب أولًا إلى عدد صحيح، أو قد تعبر عن قاعدة أقرب عُشر بالفعل. نحن أعلنّا القاعدة الثانية في هذه المسألة، ولذلك صح المجال33.95 إلى34.05. وإذا لم تُذكر القاعدة في موقف آخر فاطلبها أو أبق استنتاجك مشروطًا. زيادة عدد المنازل المكتوبة لا تمنح معلومات جديدة إذا لم تكن نتيجة دقة إضافية في الحساب.
راجع المنتصف إلى الزوجي عند الحدين
نغير طريقة حسم التعادل في حالةN=1000 والعرض الصحيح34. في القاعدة التي تختار العدد الزوجي عند المنتصف،33.5 تقع بين33 و34 فتختار34، و34.5 تقع بين34 و35 فتختار34 أيضًا. لذلك يكون مجال النسبة33.5≤p≤34.5، مع إدخال الطرفين لهذه القيمة الزوجية المعروضة. مجال العدد335≤n≤345، فتزيد مجموعة الحلول إلى أحد عشر عددًا بدل العشرة في اختيار رفع المنتصف.
المثال لا يقول إن المجال مغلق الطرفين لكل رقم معروض تحت هذه القاعدة. عند عرض35، تقع34.5 بين34 و35 فتختار34، وتقع35.5 بين35 و36 فتختار36؛ فلا يدخل أي منهما في مجال35. لكننا نركز على34 لنرى أثر اختيار الطرف الأعلى في الحالة الأصلية. تسمية القاعدة شرط مؤثر، ولا تكفي عبارة «أقرب عدد صحيح» وحدها لحسم المنتصف الدقيق عندما نحتاج جميع الأعداد الممكنة.
نحسب الأمثلة بكسور دقيقة لا بتقريبات عشرية وسيطة، حتى لا نحول قيمة تقع عند المنتصف إلى قيمة أعلى أو أدنى منه بسبب خطوة عرض أخرى. لم نشغل roundwork أو نتنبأ بما سيعيده برنامج معين لأرقام ذات تمثيل داخلي مختلف. المقارنة هنا بين قاعدتين رياضيتين معلنتين للأعداد غير السالبة. إذا أردت تفسير نتيجة أداة فعلية فراجع إعداداتها وتمثيل مدخلاتها بدل اعتبار مخططنا اختبارًا لذلك البرنامج.
ميز التوافق الحسابي من الثقة الإحصائية
مجموعة335 إلى344 في مثالنا تعني أن هذه الأعداد جميعًا تعطي العرض34 عند القاعدة والمقام المختارين. لا تعني أن العدد الحقيقي عشوائي بالتساوي بينها، أو أن لدينا احتمالًا معينًا بأن يقع فيها. ولم نسحب عينة أو نبن تقديرًا لمجتمع أكبر. الحدود جاءت من عكس قاعدة عرض، ثم من شرط العدد الصحيح، لا من طريقة تقدير أو من مستوى ثقة ذكره تقرير إحصائي.
يمكن أن يتضمن تقرير واقعي تقديرًا من عينة أو أوزانًا أو فترة ثقة، لكن هذه مسائل مختلفة تحتاج بيانات وتعريفات أخرى. إذا كانت النسبة تمثل تقديرًا موزونًا فلا يلزم أن تُكتب100n/N بعدٍّ صحيح متساوي الأوزان. لا نضيف مجال تقريبنا إلى فترة ثقة مجهولة ثم نعطي جوابًا دقيقًا من غير أساس. نوضح ما يجيب عنه تمريننا: التوافق مع شكل عرض معلن تحت نموذج عدّ محدد.
يمكنك كتابة نتيجة الحالة الأصلية بهذه الصيغة: «تحت أقرب نسبة مئوية كاملة مع رفع المنتصف، ومع مجموع1000 وعد متساوي الأوزان، العدد الممكن من335 إلى344». هذه العبارة تحمل الشروط مع الجواب، فلا تبدو استرجاعًا قطعيًا لعدد لم نره. وإذا تغير المقام أو قاعدة العرض فعد إلى الخطوة الأولى. ليس الرقم34 وحده هو الذي أنتج المجموعة، بل اجتماع المعطيات التي فصلناها في الدرس.
افحص المقام والوزن والتعديلات الأخرى
يشترط الحساب أن يكونN مجموع الحالات الذي استعملته النسبة، وليس عددًا قريبًا منه في صفحة أخرى. لو حُسبت نسبة من80 إجابة مكتملة فلا تعوض مقام100 مسجل في قائمة المدعوين دون تحقق. ستصبح حدود العدد مختلفة لأنك بدلت سؤال الحساب. لا نستنتج المقام من كلمة «المشاركين» وحدها إذا كان التقرير يفرق بين من دُعي ومن أجاب أو بين إجابات سؤالين. نحتاج التعريف الذي يربط الرقم المعروض بمجموعه.
يشترط كذلك أن تكونN موجبة وأن يكونn عددًا صحيحًا بين صفر وN. إذا كانN=0 فالقسمة100n/N غير معرفة في نموذجنا، ولا يتيح العرض34 استخدام الصيغة. وإذا تعلقت النسبة بأوزان أو بمبالغ قابلة للكسور، فإن خطوة اختيار الأعداد الصحيحة قد لا تكون مناسبة. قبل أن تسمي المجموعة فارغة أو متعددة اسأل هل العد الذي افترضته جزء من المسألة أصلًا، أم أنك أضفته إلى قيمة لا تصف حالات مفردة.
إذا كانت النسبة قد تغيرت بقاعدة أخرى، كاقتطاع المنازل بدل تقريب الأقرب أو تعديل معلن في العرض، فلا تستخدم مجال33.5 إلى34.5 تلقائيًا. هذا المجال مشتق من القاعدة المحددة فقط. ولا نجعل أثر تعديل مجهول جزءًا من حساب دقيق نستطيع عكسه. كل ما نحتاجه في التدريب معلن؛ أما التقرير الذي لا يبين خطواته فقد يترك بعض الشروط غير معروفة، ويجب أن تبقى هذه الحدود ظاهرة في الاستنتاج.
تدرب ثم تحقق إلى الأمام
التدريب الأول: مجموع50 وعرض34٪ إلى أقرب عدد صحيح مع رفع المنتصف. يصبح المجال16.75≤n<17.25، فالحل17. النسبة الدقيقة100×17/50=34٪ تحقق العرض. التدريب الثاني: مجموع9 وعرض67٪ بالقاعدة نفسها. حدود النسبة66.5≤p<67.5، وحدود العدد5.985≤n<6.075، فالحل6. النسبة100×6/9 تساوي200/3٪، وتعرض67. القيم جديدة ومؤلفة، والطريقة تتبع الحدود والعدد الصحيح لا تخمين الناتج.
راجع طرفي مقياس النسب في مثال إضافي. معN=1000 وعرض0٪ يكون مجال النسبة قبل تقاطع الشرط−0.5≤p<0.5. لكن النسبة لا تقل عن صفر في نموذج العد، فتكون الحلول0 إلى4. ومع عرض100٪ نحصل قبل التقاطع99.5≤p<100.5، ونبقيp≤100، فالحلول995 إلى1000. لا نقبل عددًا سالبًا أو أكثر من المجموع لأن مجال التقريب وحده امتد إلى خارج حدود نموذجنا.
عند كل جواب احسب النسبة الدقيقة من العدد المرشح وأعد تقريبها تحت القاعدة المختارة، ثم افحص أقرب عدد مستبعد عند كل طرف. التحقق الأمامي يكشف خطأ علامة مقارنة أو نسيان حد المجموع. لكنه لا يعفيك من تعليل شمول جميع الأعداد في المجموعة؛ نحتاج أيضًا إلى المجال الذي يثبت اكتمالها. في هذه المقالة طابقنا أعداد الأمثلة المحددة مع شروطها باستخدام كسور دقيقة، ولم نجمع مشاهدات أو نتائج أشخاص.
اختم بسجل للشروط والنتيجة
احتفظ في ورقة الحل بالرقم المعروض وعدد منازله، وقاعدة حسم المنتصف، والمجموع وتعريفه، ثم مجال النسبة ومجال العدد والأعداد الصحيحة المقبولة. اذكر هل الحد الأدنى مشمول وهل الحد الأعلى مشمول؛ فرق مساواة واحدة أدخل345 في المقارنة مع التقريب إلى الزوجي، واستبعده في قاعدة رفع المنتصف. وإذا كانت المجموعة فارغة فلا تحول الرقم المعروض إلى أقرب عدد حالات دون التحقق من أن النسبة الناتجة تعيد العرض.
نتائج34٪ في أمثلتنا متنوعة:27 وحده عند مجموع80، و67 أو68 عند200، وعشرة أعداد من335 إلى344 عند1000، ولا عدد عند3. إعلان أقرب عُشر للعرض34.0 مع1000 أعطى340 وحده، وتغيير المنتصف إلى الزوجي في العرض الصحيح أضاف345. هذه النتائج لا تتعارض؛ كل منها يحمل مقامه ودقته وقاعدته. المقارنة تعلمنا لماذا يحتاج الاسترجاع إلى معلومات أكثر من النسبة القصيرة المكتوبة.
جميع الأعداد والمجالات والصور في الدرس مؤلفة. رجعنا إلى وثائق المصدر لفكرة فقد المعلومات وحدود الاسترجاع المرتبطة بقاعدة التقريب، ولم ننقل شفرته أو أمثلته ولم نشغل حزمه. النتيجة حسابية محددة بشروط معلنة، وليست استنتاجًا عن سجلات أو احتمالات أو أداء نشر حقيقي. اكتب الجواب مع شروطه، وراجعها عندما تستعمل الطريقة في مسألة جديدة، حتى لا تضيف إلى رقم العرض دقة لم تمنحك إياها البيانات.
| المجموع | العرض والقاعدة | الأعداد الصحيحة الممكنة |
|---|---|---|
| 80 | 34٪، صحيح، المنتصف لأعلى | 27 |
| 200 | 34٪، صحيح، المنتصف لأعلى | 67 أو68 |
| 1000 | 34٪، صحيح، المنتصف لأعلى | 335 إلى344 |
| 3 | 34٪، صحيح، المنتصف لأعلى | لا يوجد |
| 1000 | 34.0٪، أقرب عُشر، المنتصف لأعلى | 340 |
| 1000 | 34٪، صحيح، المنتصف إلى الزوجي | 335 إلى345 |
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.