![لوحتان أصليتان لصورة دائرة مدخلات وحدية تحت[[2,0],[0,3]] و[[2,4],[0,3]]، مع مخرجe2=(0,1) إلى(0,3) وإلى(4,3).](/static/article-images/27ccacd1a10a31d3a31873b17dcdbe9c1f442563392943a029b82b32f54c0cf6.webp)
هل يحدد الأثر والمحدد عناصر مصفوفة من صفين وعمودين؟ سنختار أثرًا خمسة ومحددًا ستة، ونستخرج قيمتين ذاتيتين ثابتتين، ثم نغير عنصرًا ليختلف مخرج المدخل نفسه. وسنراجع مثالًا بأثر ومحدد صفريين، ونحدد المعلومات الإضافية التي تستطيع استرجاع الأعمدة.
الخلاصة السريعة
الأثر5 والمحدد6 يحددان كثير الحدودλ²−5λ+6 والقيمتين الذاتيتين2 و3 لمصفوفة من صفين وعمودين، لكنهما لا يحددان العناصر. الأسرةAt=[[2,t],[0,3]] تحقق العددين لكلt حقيقي، وتعطي علىe2=(0,1) المخرج(t,3).
- نعمل بمصفوفات حقيقية ومتجهات عمودية في الأساس نفسه. A0e2=(0,3) وA4e2=(4,3)، وطولاهما3 و5 مع بقاء الأثر والمحدد والقيمتين الذاتيتين.
- مخرجe1=(1,0) هو(2,0) لكلAt. للقيمة الذاتية3 متجه مناسب(t,1)، فيتغير اتجاهه معt؛ لا يكونe2 نفسه متجهًا ذاتيًا لها عندماt≠0.
- طولAt e2 هو√(t²+9)، ويمكن أن يتجاوز أي سقف مشترك بزيادة|t|. كل اختيار منته يعطي مخرجًا منتهيًا؛ هذه أسرة غير متناظرة عندt≠0 وليست حكمًا عن كل بنية إضافية.
- المصفوفة المتناظرةS=[[5/2,−1/2],[−1/2,5/2]] تحقق الأثر5 والمحدد6 أيضًا، لكنها تعطي علىe1 المخرج(5/2,−1/2) بدل(2,0).
- Z=[[0,0],[0,0]] وN=[[0,1],[0,0]] لهما أثر ومحدد صفريان وقيمتان ذاتيتان صفريتان. لكن علىe2 يعطي الأول صفرًا والثاني(1,0)، وN تنعدم عند تطبيقها مرتين.
- مخرجاe1 وe2 الكاملان يعطيان عمودي المصفوفة. معرفة الأول فقط لا تكشفt، ومعرفة طول الثاني5 تتركt=±4. مخرجا(2,0) و(4,4) يخالفان شرط الأثر5 والمحدد6.
- الأعداد والصور مؤلفة. تدريب[[1,s],[0,4]] له أثر5 ومحدد4، والقطرية في السؤال الأصلي تترك ترتيب2 و3 مجهولًا. لا نغير الأساس بصمت ولا نعمم استرجاع هذا الحجم على جميع الأحجام.
سمِّ المصفوفة والعددين قبل الاسترجاع
يعرف مرجع ماث وورلد أثر المصفوفة المربعة بأنه مجموع عناصر قطرها الرئيس. في مصفوفة حقيقية من صفين وعمودين نعني بالأثر جمع العنصر العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. سنستعمل هذا المعنى في أمثلة أصلية، لا نعني بكلمة أثر هنا كل تفاصيل فعل المصفوفة على مدخل. [1]
لنكتب المصفوفةM=[[a,b],[c,d]]، بحيث يشير القوس الداخلي الأول إلى الصف الأول والثاني إلى الصف الثاني. المعطيان اللذان اخترناهما هماa+d=5 وad−bc=6. هذه الأعداد دقيقة، وعناصر المصفوفة أعداد حقيقية، وكل مقارناتنا تجري في الأساس الديكارتي نفسه. لم نعط العناصر الأربعة ولا ناتج تطبيق المصفوفة على متجه بعينه، لذلك لا نختار عناصر من عندنا ثم نزعم أن المعطيين استرجعاها بصورة وحيدة.
نستعمل متجهات عمودية: حين نكتبv=(x,y) نعني أنx في الصف العلوي وy في السفلي. تعطي المصفوفة المخرجMv=(ax+by,cx+dy). هذه الصيغة تحدد ما نقارنه عندما نختار مدخلًا واحدًا ونطبقه على مصفوفات مختلفة. لا نبدل اتفاق ترتيب الصفوف والأعمدة بين الأمثلة، ولا نغير إحداثيات المدخل بصمت أثناء المقارنة. كل مصفوفة في المثال ستعمل على المدخل نفسه ضمن الإطار نفسه.
ما الذي تعنيه القيمة الذاتية هنا؟
يعرض مرجع ماث وورلد القيمة الذاتية بوصفها عددًاλ يحققMv=λv مع متجهv غير صفري، ويبين استخراجها من شرطdet(M−λI)=0، حيثI مصفوفة الهوية. وفي حجمنا يكون المحددad−bc للمصفوفةM=[[a,b],[c,d]]. سنستخدم هذا الشرط للمصفوفات من صفين وعمودين في مثالنا، ثم نتحقق من متجهات محددة مباشرة. لا نستعمل المتجه الصفري لإثبات وجود قيمة ذاتية، لأن المعادلة معه لا تميز عددًا من آخر. [2]
نوسع المحدد في هذه الحالة: det(M−λI)=(a−λ)(d−λ)−bc. بعد جمع الحدود يكونλ²−(a+d)λ+(ad−bc). هذا التوسيع يوضح كيف يدخل الأثر والمحدد في كثير الحدود المميز لمصفوفة من صفين وعمودين. عند التعويض بمعطيينا نحصل علىλ²−5λ+6، وتتحلل العبارة إلى(λ−2)(λ−3). إذن القيمتان الذاتيتان هما اثنان وثلاثة، مع مراعاة أن ترتيب ذكرهما لا يسمي عمودًا أو اتجاهًا بعينه.
هذه معلومة قوية لكنها ليست قائمة العناصر الأربعة. لقد عرفنا كثير الحدود المميز والقيمتين الذاتيتين في هذا المثال، ولم نعرف المتجهات التي ترتبط بهما أو المخرج على كل مدخل. لا نستنتج من ظهور الرقمين اثنين وثلاثة أن المصفوفة قطرية أو أن كل متجه يزيد طوله بأحد الرقمين فقط. سننشئ أسرة لها الأثر والمحدد والقيمتان نفسيهما، بينما يتغير ناتج متجه ثابت.
ابدأ بمصفوفة قطرية ثم غيّر عنصرًا واحدًا
المصفوفة الأولى هيA0=[[2,0],[0,3]]. أثرها خمسة، ومحددها ستة، وتعمل على المدخل(x,y) لتعطي(2x,3y). للمقارنة اخترA4=[[2,4],[0,3]]. أثرها ما زال2+3=5، ومحددها2×3−4×0=6. وجود الصفر في العنصر السفلي الأيسر يجعل تغيير العنصر العلوي الأيمن هنا لا يغير هذين العددين، لكنه يغير القاعدة التي تحول بعض المدخلات.
خذ المتجهe2=(0,1)، الذي طوله واحد في محاورنا المتعامدة. يعطيA0e2=(0,3)، بينما يعطيA4e2=(4,3). الأول طوله ثلاثة، والثاني طوله خمسة لأن مربع طوله16+9=25. بقي الأثر والمحدد ثابتين، وبقي المدخل نفسه، ومع ذلك اختلف المخرج واتجاهه وطوله. هذه المقارنة تكفي لنفي أن معطيينا يحددان فعل المصفوفة على كل متجه أو يثبتان عناصرها.
أما المتجهe1=(1,0) فيعطي المخرج(2,0) مع كلتا المصفوفتين. تساوي المخرج على هذا المدخل لا يجعل التحويلين متساويين؛ وجدنا مدخلًا آخر يميزهما. في المراجعة اكتب أي مدخل اختبرت وما إذا كان هو نفسه في التجربتين الحسابيتين. لا تجعل نجاح فحص واحد دليلًا على كل المدخلات، ولا تفسر الفرق على أنه خطأ قياس، لأننا اخترنا مصفوفتين مختلفتين عمدًا من أعداد دقيقة.
اجعل التغيير أسرة كاملة
لنكتبAt=[[2,t],[0,3]] لكل عدد حقيقيt. يرمزt إلى العنصر العلوي الأيمن في الأسرة التي أنشأناها. أثر كل مصفوفة خمسة ومحددها ستة، وكثير حدودها المميز(2−λ)(3−λ)، لذلك تبقى القيمتان الذاتيتان اثنتين وثلاثًا. يمكن أن يكونt موجبًا أو سالبًا أو صفرًا، ولا يقيد الأثر والمحدد هذا العنصر في الأسرة. هذه أمثلة مترابطة توضح مقدار المعلومات التي فقدناها من العناصر.
ناتج المدخلe2 ثابت الاختيار هوAt e2=(t,3). عندt=−4 يكون(−4,3)، وعندt=0 يكون(0,3)، وعندt=4 يكون(4,3). الطول عند القيمتين السالبة والموجبة أربعة يساوي خمسة، لكن الاتجاه الأفقي للمخرج مختلف. لا يحدد الطول وحده المخرج أيضًا، كما لم يحدده الأثر والمحدد. كل مثال يستخدم أساسًا واحدًا، فلا نغير أسماء المحاور كي نجعل النتيجتين متشابهتين بعد الحساب.
لإعادة فحص الأسرة على مدخل عام، نكتبAt(x,y)=(2x+ty,3y). التغيير في المخرج يظهر عندما يكونy غير صفري، ويختفي على المدخلات ذاتy=0. لذلك يمكن أن تمر اختبارات كثيرة اختارت مدخلات على المحور الأفقي دون أن تكشف اختلافt. هذا تفسير محدد للفحص في مثالنا، وليس تقريرًا عن أداء خوارزمية أو احتمال اكتشاف خطأ في بيانات فعلية. نحن نملك الصيغ ونعرف أي جزء من المدخل يكشف العنصر المختلف.
| المصفوفة المؤلفة | الأثر | المحدد | القيمتان الذاتيتان | المخرج علىe2 |
|---|---|---|---|---|
| [[2,0],[0,3]] | 5 | 6 | 2، 3 | (0,3) |
| [[2,4],[0,3]] | 5 | 6 | 2، 3 | (4,3) |
| [[2,−4],[0,3]] | 5 | 6 | 2، 3 | (−4,3) |
افحص المتجهات الذاتية بدل تخمينها
لكلt، يحققe1=(1,0) العلاقةAt e1=2e1، فيرتبط بالقيمة الذاتية اثنين. وبالنسبة إلى القيمة ثلاثة، اختر المتجهv=(t,1)، وهو غير صفري لأن مركبته الثانية واحد. يعطي تطبيق المصفوفة(2t+t,3)=(3t,3)=3(t,1). هذا فحص مباشر لمتجه ذاتي في الأسرة، ويوضح أن اتجاهه يمكن أن يتغير معt رغم ثبات القيمة الذاتية المرتبطة به.
عندt=0 يصبح المتجه الذاتي الذي اخترناه للقيمة ثلاثة هو(0,1)، وعندt=4 يصبح(4,1). لا نحافظ على اتجاهe2 ثم نقول إنه متجه ذاتي للقيمة ثلاثة في كل الأسرة؛ عندt=4 ينتج عنه(4,3)، وهذا ليس ثلاثة أمثال(0,1). الفرق بين مدخل ثابت ومتجه ذاتي يختار بحسب المصفوفة أساسي هنا. لم نغيرe2 في مقارنة المخرجات، وإنما حسبنا بعد ذلك متجهًا آخر له خاصية ذاتية.
يمكن ضرب متجه ذاتي غير صفري بعدد غير صفري ويبقى على الاتجاه نفسه ويحقق العلاقة الذاتية نفسها. لذلك لا تعني كتابة(t,1) أننا وجدنا متجهًا وحيدًا بطول محدد، بل اخترنا ممثلًا مناسبًا للفحص. لا نستخدم تطبيع المتجه أو تبديل إشارته لإخفاء اختلاف اتجاهاته بين المصفوفات. القيمتان الذاتيتان تخبران عن أعداد في هذه العلاقات، لكنهما لا تسميان كل المتجهات التي تعمل عليها المصفوفة بالطريقة نفسها.
طول المخرج قد يتجاوز أكبر قيمة ذاتية
طولAt e2 يساوي√(t²+9). عندt=4 يبلغ خمسة، وهو أكبر من القيمة الذاتية ثلاثة، رغم أن طول المدخلe2 واحد. وعندt=10 يكون طول المخرج√109، وهو أكبر من عشرة. إذن لا نستطيع وضع سقف ثلاثة لطول كل مخرج من مدخل وحدي بناء على القيمتين الذاتيتين وحدهما في هذه الأسرة. لا نخلط بين قيمة ذاتية وبين أكبر زيادة ممكنة لطول متجه عام.
يمكن جعل√(t²+9) يتجاوز أي سقف ثابت تختاره بزيادة مقدارt. هذا لا يعني أن مصفوفة واحدة في الأسرة تحتوي عنصرًا لا نهائيًا؛ كل اختيار حقيقي منتهt يعطي مصفوفة ومخرجًا منتهيين. المقصود أنه لا يوجد حد أعلى منته مشترك لهذا الطول على جميع اختيارات الأسرة، مع بقاء الأثر خمسة والمحدد ستة والقيمتين اثنين وثلاثة. تحديد أسرة المقارنة يمنع تحويل النتيجة إلى حكم مبهم عن كل مصفوفة.
المصفوفات التي يظهر فيهاt غير صفري في أسرتنا ليست متناظرة، لأن العنصرين خارج القطر لا يتساويان. لذلك لا ننقل النتيجة غير المحدودة إلى مسألة أخرى تفرض بنية إضافية مثل التناظر دون إعادة الفحص. ولا نستنتج منها حكم استقرار أو نمو عبر خطوات زمنية؛ درسنا مخرج تطبيق واحد على مدخل معلوم. الفرق بين مقدار هذا المخرج وبين القيم الذاتية يكفي لسؤالنا عن المعلومات التي تركها الأثر والمحدد مجهولة.
أضف مثالًا متناظرًا بالأعداد نفسها
لنبين أن تقييد المصفوفة بالتناظر لا يعين عناصرها من العددين وحدهما، قارنA0 بالمصفوفةS=[[5/2,−1/2],[−1/2,5/2]]. أثرS خمسة، ومحددها25/4−1/4=6، وقيمتاها الذاتيتان اثنان وثلاثة من كثير الحدود نفسه. كل منA0 وS متناظرة، لكنهما ليستا متساويتين في الإطار الذي اخترناه. هذا مثال مستقل عن دعوى طول المخرج غير المحدود في الأسرة المثلثية.
على المدخلe1 يعطيA0 المخرج(2,0)، بينما يعطيS المخرج(5/2,−1/2). وعلىe2 يعطيS المخرج(−1/2,5/2) بدل(0,3). هذان الفرقان يكشفان اختلاف العناصر والفعل على المدخلات نفسها. لا نغير أساس المدخل أثناء التعويض، ولا نحذف المركبة السالبة لأنها تبدو صغيرة؛ وجودها جزء من المخرج الذي تصفه المصفوفة. الإحداثيات السالبة هنا اتجاهات عددية على المحور، وليست أطوالًا سالبة.
يمكن أن ترتبط مصفوفات ذات قيم ذاتية متساوية بعلاقات تغيير أساس، لكن ذلك لا يسمح بتبديل الأساس في مقارنة المخرجات دون إعلان تحويل إحداثيات المدخل أيضًا. نحن نعاملA0 وS وAt بوصفها مصفوفات تعمل في الإطار نفسه على المتجهات المكتوبة نفسها. لذلك لا نتراجع عن الفرق بحجة أن الأعداد الذاتية متساوية. إذا أردت وصف تحويل مجرد في أساسين مختلفين، فأعد تحديد المعلومات والسؤال؛ سيكون ذلك وصفًا آخر يحتاج إلى إحداثيات متسقة.
الأثر الصفري والمحدد الصفري لا يفرضان الصفر
نختار حالة مختلفة من المعطيات: الأثر صفر والمحدد صفر. المصفوفة الصفريةZ=[[0,0],[0,0]] تحقق العددين، لكن المصفوفةN=[[0,1],[0,0]] تحققهما أيضًا. الأثر فيN هو0+0، والمحدد0×0−1×0، فلا يظهر العنصر واحد في النتيجتين. مع ذلكN ليست المصفوفة الصفرية، وإثبات تساوي العددين لا يثبت أن جميع العناصر قد انعدمت. يجب فحص ما نريد استرجاعه بدل الاكتفاء بتسمية المعطى صفرًا.
على المدخلe2 نحصل علىZ e2=(0,0)، بينماN e2=(1,0). وكثير الحدود المميز في الحالتينλ²، فتكون القيمتان الذاتيتان صفريتين مع التكرار. لم تمنع هذه القيم وجود مخرج غير صفري فيN. السبب أنe2 ليس متجهًا ذاتيًا لها للقيمة صفر؛ خاصية القيمة الذاتية تخص متجهًا مناسبًا غير صفري يحقق المعادلة، ولا تنسب إلى كل مدخل بمجرد أن العدد نفسه ظاهر في كثير الحدود.
تعطيN(x,y)=(y,0)، ثمN مرة ثانية تعطي(0,0). إذن تطبيقها مرتين يختلف عن كون تطبيقها مرة واحدة هو الصفر على كل متجه. في المصفوفة الصفرية كل متجه ينعدم منذ التطبيق الأول. هذا فحص إضافي للأمثلة المؤلفة، ولا نستخدمه للادعاء بأن كل مصفوفة ذات أثر ومحدد صفريين في أي حجم تأخذ الصورة نفسها. السؤال المحدد عن صفين وعمودين يظل مربوطًا بمجاله ومعطييه.
ما المعلومات التي تسترجع الأعمدة؟
تعطي مصفوفةM=[[a,b],[c,d]] علىe1=(1,0) المخرج(a,c)، وهو عمودها الأول، وتعطي علىe2=(0,1) المخرج(b,d)، وهو عمودها الثاني. لذلك معرفة هذين المخرجين كاملين في الأساس نفسه تكفي لاسترجاع عناصر المصفوفة من صفين وعمودين. لا نحتاج عندئذ إلى تخمينt أو اتجاه متجه ذاتي؛ نقرأ الأعمدة من تطبيقين معلومين، ثم نفحص الأثر والمحدد إذا بقيَا ضمن الشروط.
معرفة المخرج الأول فقط لا تكفي في أسرتنا، لأنه(2,0) لكلt. ولو عرفت بعد ذلك المخرج الثاني(4,3)، أمكن استرجاعt=4 والمصفوفةA4 في هذه الأسرة، بل أمكن استرجاع الأعمدة مباشرة دون افتراض الأسرة. أما معرفة طول المخرج الثاني فقط بأنه خمسة فتسمح في الأسرة بـt=4 أوt=−4، لأن كليهما يعطيt²=16. الطول يترك إشارة المركبة الأفقية مجهولة، بينما المخرج الكامل يحددها.
افحص توافق البيانات الإضافية مع المعطيين الأصليين. فإذا أعطيت مخرجe1=(2,0) ومخرجe2=(4,4)، أصبحت المصفوفة[[2,4],[0,4]]، وأثرها ستة ومحددها ثمانية، فتخالف شرط خمسة وستة. لا نصلح المصفوفة بتغيير مخرج معلوم بصمت كي توافق الرقمين. ربما تكون المعلومات في سؤال آخر مختلفة أو مقربة، لكن مثالنا دقيق، ونحتاج إلى تقرير التناقض عند فشل الفحص لا إلى اختراع بيانات بديلة.
اقرأ الشكلين بوصفهما حسابات مؤلفة
الرسم الأول يقارن صور دائرة المدخلات الوحدية تحتA0 وA4 في لوحتين، مع إظهار المدخلe2 ومخرجه في كل حالة. منحنى المدخل دائرة نصف قطرها واحد، والمنحنى الناتج يمثل المخرجات التي حسبناها بتطبيق المصفوفة على مدخلات تلك الدائرة. ليس كل موضع من المنحنى متجهًا ذاتيًا، ولا نقيس أطوالًا من تجربة. العلامة على مخرجe2 تبين تحديدًا الفرق بين(0,3) و(4,3) على المدخل نفسه.
الرسم الثاني يعرض يسارًا طولAt e2 بوصفه دالة في العنصرt، مع خط مرجعي عند ثلاثة للمقارنة بالقيمة الذاتية الأكبر في هذه الأسرة. المحور الأفقي عنصر مصفوفة وليس زمنًا، ولذلك لا يصف الرسم نمو متجه عبر تكرار التطبيق. وفي اللوحة اليمنى يعرض مثال المعطيين الصفريين مع مخرجe2 للمصفوفة الصفرية وللمصفوفةN. هذه حالة أخرى لها أثر ومحدد صفر، وليست عضوًا في الأسرة ذات خمسة وستة.
أبق مقياس المحورين متساويًا في الأشكال التي تعرض اتجاهات المتجهات وصور الدائرة، حتى لا يتغير معنى الطول بصريًا بين الاتجاهين. ويظل الحساب من المركبات هو المرجع الدقيق، لا عدد البكسلات أو حجم الصورة المعروض في الهاتف. تستخدم جميع الصور أعدادًا ودوال مولدة من مثالنا، ولم نحلل بيانات مصفوفة التباس أو تغاير أو مخرجات مكتبة برمجية. لذلك لا تنقل صورنا إلى تلك التطبيقات بوصفها نتائج تخص بياناتها.
استعمل بطاقة تحافظ على الحجم والأساس والمدخل
اكتب في بطاقة الفحص حجم المصفوفة ونوع عناصرها والأساس الذي تستخدمه، ثم الأثر والمحدد المعلومين. احسب كثير الحدود المميز المناسب لهذا الحجم، وسم ما استرجعته منه. بعد ذلك افصل سؤال العناصر عن سؤال القيمة الذاتية وعن سؤال المخرج على مدخل محدد. لا تسمح للعددين بأن يقوما مقام أربع خانات لم نعرفها، ولا تجعل تغيير إطار الإحداثيات إصلاحًا صامتًا لاختلاف مخرجين.
خذ تمرينًا جديدًا على الأسرةB_s=[[1,s],[0,4]]. أثرها خمسة ومحددها أربعة، وقيمتاها الذاتيتان واحد وأربعة، لكن المخرج علىe2 هو(s,4). عندs=3 يكون طول المخرج خمسة، وعندs=0 يكون أربعة. البرهان هو حساب العناصر والمحدد وكثير الحدود والمخرج، لا استعارة القيمتين اثنين وثلاثة من الأسرة الأصلية. الثبات في الأثر وحده لا يجعل المحدد أو القيم الذاتية ثابتة بين أسرتين مختلفتين.
وفي السؤال الأصلي إذا قيل إن المصفوفة قطرية، فقد صارت العناصر خارج القطر صفرًا. مع الأثر خمسة والمحدد ستة تصبح قيمتا القطر اثنتين وثلاثًا، لكن ترتيبهما يمكن أن يكون(2,3) أو(3,2) ما لم يعط شرط يختار إحدى الخانتين. لذلك تزيل معلومة القطرية بعض الغموض، ولا تلغي تلقائيًا غموض التسمية أو ترتيب الأعمدة. كل معلومة إضافية تعمل على جزء معين من الاسترجاع، ونفحص ما بقي مجهولًا بعدها.
احتفظ بما يثبته الأثر والمحدد
في المصفوفة الحقيقية من صفين وعمودين، يحدد الأثر والمحدد معاملي كثير الحدود المميز بعد الحد الأعلىλ². لذلك ثبتت القيمتان الذاتيتان اثنان وثلاثة في مثال خمسة وستة. لكن المصفوفاتA0 وA4 وS أظهرت أن هذا لا يثبت العناصر أو المخرج على مدخل معلوم أو الاتجاهات الذاتية. والأسرةAt أظهرت أن طول مخرج مدخل وحدي قد يتجاوز ثلاثة ويبقى بلا سقف مشترك عند تركt حرًا.
المثال الصفري يبين أيضًا أن صفر الأثر وصفر المحدد لا يثبتان المصفوفة الصفرية أو انعدام المخرج على كل مدخل. أما معرفة مخرجي متجهي الأساس كاملين فتسترجع الأعمدة في الإطار نفسه، ومعرفة طول مخرج واحد تترك معلومات أخرى مجهولة. لا نعمم نتيجة كثير الحدود من هذا الحجم إلى جميع أحجام المصفوفات دون إعادة الاشتقاق، ولا نجعل الأسرة غير المتناظرة دليلًا على كل مسألة ذات قيود إضافية.
المصدر الأول يدعم معنى الأثر، والثاني يدعم تعريف القيمة الذاتية وشرط المعادلة المميزة. أما المصفوفات والمعاملات والأمثلة والجداول والمخرجات والرسوم فحسابات أصلية صرحنا بنطاقها. لم ننقل صور المصادر أو أمثلتها، ولم ندع وجود بيانات قياس أو تجربة تشغيل. جواب الاسترجاع يبقى واضحًا: العددان يعطيان معلومات محددة عن المصفوفة، لكن الوصول إلى عناصرها وفعلها الكامل يحتاج إلى معطيات تتجاوز هذين العددين.
المصادر ومتابعة القراءة
- ماث وورلد: تعريف أثر المصفوفة (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
- ماث وورلد: القيمة الذاتية والمعادلة المميزة (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.