مصفوفة الاثنتي عشرة نغمة: ابنِ صفوفها واقرأ اتجاهاتها

أمامك ورقة فيها اثنا عشر رقمًا؛ كيف تستخرج منها عائلة من التتابعات من دون أن تغيّر القاعدة في منتصف الحساب؟ سنبني شبكة كاملة، ثم نتعمد إفسادها بطريقة لا يكشفها عدّ الأرقام وحده. تحتاج قلمًا وورقة مربعات، ولا تحتاج إلى تشغيل برنامج أو امتلاك آلة موسيقية لإعادة المثال.

الخلاصة السريعة

• مدخلنا يبدأ بالأرقام 0، 2، 7، 5، ثم يكمل الاثني عشر رقمًا مرة واحدة.
• الخانة في الصف الثاني والعمود الثالث تساوي 5؛ سنعيد حسابها بطريقتين.
• صفنا P0 يبدأ بصفر، لكن R0 يبدأ بثلاثة وينتهي بصفر؛ الرمز لا يسمي البداية دائمًا.
• تبديل العمودين الثاني والثالث في الشبكة كلها يحفظ اكتمال الأرقام، لكنه يغيّر 24 خانة عن الشبكة المطلوبة.
• تحقق برنامج المثال من 144 خانة بطريقتين، ومن 48 صورة متميزة، ورفض 1584 تغييرًا مفردًا.

حدد معنى الرقم قبل ملء الشبكة

الصف الاثنا عشري ترتيب للفئات الصوتية الاثنتي عشرة، تظهر كل فئة فيه مرة واحدة. تتولد صوره بالنقل، وقلب اتجاه المسافات، وعكس الترتيب. وقد تتطابق بعض الصور في صفوف ذات خصائص خاصة. [1]

نختار هنا ترقيمًا ثابتًا: دو C تساوي 0، ودو دييز 1، وري 2، حتى سي B عند 11. الرجوع إلى دو في أوكتاف آخر يعيد الفئة 0؛ الأرقام لا تحدد الأوكتاف أو مدة الصوت. [1]

اكتب مدخلنا التالي كما هو، من اليسار إلى اليمين. ألّفنا هذا الترتيب للشرح، ولا ننسبه إلى مقطوعة منشورة:

أمام كل رقم من 0 إلى 11 ضع علامة عند العثور عليه. ستجد العلامات الاثنتي عشرة دون تكرار. لو استبدلت الرقم الأخير 3 بصفر، صار الصفر مرتين وغاب 3؛ أصلح المدخل قبل رسم أي جدول. لا يعالج تكبير الشبكة مدخلًا غير مطابق للشرط الذي اخترناه.

اصنع الحافتين ثم املأ الداخل

ضع الصف الأصلي أعلى المصفوفة من اليسار إلى اليمين، ومقلوبه في العمود الأيسر من أعلى إلى أسفل. أكمل كل صف بنقل الأصل إلى نقطة بدايته. [2]

لأن بدايتنا صفر، نحصل على العمود الأيسر بطرح كل رقم من صفر، ثم اختيار الباقي بين 0 و11. هكذا تصبح 2 هي 10، وتصبح 7 هي 5. العمود الكامل في مثالنا:

الصف الثاني يبدأ إذن بعشرة. أضف عشرة إلى كل رقم من صف البداية، وأعد النتائج إلى المجال من 0 إلى 11. أول ثلاث خانات: 10، ثم 12 التي تعود إلى 0، ثم 17 التي تعود إلى 5. يمكنك شطب اثني عشر من 17 لتحصل على خمسة؛ لا تضع 17 بوصفها فئة جديدة خارج القائمة.

إذا رمزنا إلى مدخلنا بالحرف p، ورقمنا المواضع من الصفر، تصبح الخانة (p[c] - p[r]) % 12. فعند الصف ذي الرقم 1 والعمود ذي الرقم 2 نحسب (7 - 2) % 12 = 5. هذه هي الخانة الثانية/الثالثة بلغة الترتيب العادي. الصفر في الترقيم البرمجي يفسر الفرق بين الاسمين.

اقرأ أربعة اتجاهات دون تغيير الأسماء

P وI يسميهما هنا رقم أول فئة. أما R وRI فيحملان رقم آخر فئة، كي يبقى اسم الصورة مرتبطًا بأصلها عند عكس القراءة. [1]

اقرأ السطر الأعلى من اليسار فتحصل على P0. ابدأ من يمينه هذه المرة: 3، 10، 6، 11، 4، 9، 1، 8، 5، 7، 2، 0. تلك R0، وليست R3. في الرسم الأول تستطيع مقابلة آخر صفر بأول صفر في الأصل، بدل تخمين الاسم من أول رقم وقع عليه نظرك.

اقرأ العمود الأيسر إلى أسفل لتحصل على I0، وإلى أعلى لتحصل على RI0 التي تبدأ 9، 2، 6 وتنتهي 5، 10، 0. جرّب عمودًا آخر: الثالث يبدأ 7، 5، 0، 2؛ اسمه I7 عند النزول، وRI7 عند الصعود. لا تغير علامة الاتجاه ثم تحتفظ بادعاء أن البداية بقيت نفسها.

ولتحديد P5 ابحث عن خمسة عند حافة الصفوف اليسرى. ستصل إلى الصف الثالث: 5، 7، 0، 10، 1، 6، 2، 9، 4، 11، 3، 8. احسب موضعه الرابع وحده: خمسة الأصلية مع خمسة النقل تعطي عشرة. تستطيع بهذه الخلية الصغيرة اختبار وصولك إلى الصف الصحيح قبل قراءة الاثنتي عشرة خانة.

القلب ليس قلب ترتيب الورقة

القلب يعكس اتجاه المسافات؛ العكس الزمني يقلب ترتيب الفئات. لذلك لا تنتج العملية الثانية بمجرد تبديل اسم الأولى. [1]

بداية الأصل 0 ثم 2 ثم 7. في العمود I0 نقرأ 0 ثم 10 ثم 5؛ الانتقالان، عند العد الصاعد الدائري، هما 10 ثم 7، مقابل 2 ثم 5 في الأصل. وفي R0 تبدأ القائمة 3 ثم 10 ثم 6. مجرد مقارنة الثلاثيات يبين أن العمليتين أعطتا قائمتين مختلفتين في مدخلنا.

لا تتعامل مع 10 هنا كمسافة عشر ثوان أو عشر ضربات. نحن نراجع أرقام الفئات تحت الاتفاق المحدد. إذا أردت كتابة أداء من هذه القائمة، فما زلت بحاجة إلى اختيارات زمنية وأوكتافات؛ لم يضع جدولنا تلك القرارات، ولم نختبر جمال ناتج مسموع أو نحكم عليه.

جدول يجتاز العد ويفشل في المهمة

انسخ الشبكة، ثم بدّل العمودين الثاني والثالث كاملين. سيبقى كل صف وكل عمود محتويًا على الأرقام الاثني عشر دون تكرار. لكن بداية السطر الأعلى صارت 0، 7، 2، 5 بدل 0، 2، 7، 5. تغيرت المسافات الأولى من 2، 5، 10 إلى 7، 7، 3 وفق الحساب الدائري نفسه.

تبدلت خانتان في كل واحد من اثني عشر صفًا، أي 24 خانة. لهذا نقارن الشبكة بالمدخل وعلاقاته، ولا نكتفي بشرط المجموعات. تلك إضافة ضرورية إلى فحص المربع اللاتيني: شروط ذلك اللغز وحدها لا تحدد أي صف موسيقي قصدناه هنا.

فحص يمكن إعادة تنفيذه

ولدنا الشبكة بالطرح، ثم حسبناها مستقلًا بطريقة تراكم الفروق المتجاورة. يبدأ السطر الثاني بعشرة؛ إضافة 2 تعطي 0 بعد الاختزال، ثم إضافة 5 تعطي 5، ثم إضافة 10 تعطي 3. تطابقت الخانات الـ144 بين الطريقتين. قارن البرنامج كذلك كل صورة بقائمة الأرقام المطلوبة.

عند توليد الأنواع الأربعة لكل من اثنتي عشرة بداية، وجدنا في هذا المدخل 48 قائمة مختلفة فعلًا. ليست العبارة افتراضًا بأن كل صف سيعطي العدد نفسه. ثم استبدلنا كل خانة بكل رقم آخر ممكن: 144 خانة مضروبة في 11 بديلًا تعطي 1584 اختبارًا، رفضها جميعًا فاحص المطابقة للمدخل. الحساب موثق محليًا؛ لا يمثل اختبارًا سمعيًا.

المصادر

1. Open Music Theory — Analyzing 12-tone music؛ اتفاق الترقيم
2. University of Puget Sound — Twelve-Tone Matrix

أُعد النص والصف العددي والرسومان وبرنامج الفحص بمساعدة الذكاء الاصطناعي. النتائج حسابية أُعيد تنفيذها، ولا ننسبها إلى أداء موسيقي أو مراجعة بشرية مستقلة.