آحاد قوة كبيرة: اختر خانة الدورة الصحيحة

حدد الرقم الذي تسأل عنه الورقة

يعرض MathWorld ضرب الأعداد بترديد محدد باستعمال باقي قسمة الحاصل. ^[1]

نستعمل هنا ترديد عشرة لفحص الخانة الأخيرة في أعدادنا. نبدأ بالعدد ثمانية، ثم نحسب ضربه في ثمانية مرة بعد مرة. سنحتفظ في الجدول بالرقم الأخير الذي حصلنا عليه، لا بكل الخانات السابقة. هذه مهمة محددة، لذلك لا نضع الرقم المفرد مكان العدد الكامل في مساواة.

في الرسم الرئيسي عمود للقوة وعمود لرقم الآحاد. البطاقة المكتوب عليها 8^48 وبجوارها ستة لا تقول إن العدد كله ستة. اقرأ عنوان العمود الثاني قبل نسخ النتيجة، ثم سم العملية التي تريدها إن انتقلت إلى ورقة أخرى.

وإذا تغير أساس البطاقة، نعيد حساب قائمته بدل نقل جدول الثمانية إليه. ترتيب القائمة يبدأ عند الأس واحد في هذا النموذج؛ لا نضيف قبله موضعًا غير مرسوم ثم نستعمل البواقي كما لو لم يتغير الترتيب.

ابن دورة الثمانية من ضربات ظاهرة

نحسب 8^1=8، ثم 8×8=64، فنكتب أربعة للخانة الأخيرة في القوة الثانية. بعدها 64×8=512، فنكتب اثنين للقوة الثالثة. ثم 512×8=4096، فتكون الخانة الأخيرة ستة للقوة الرابعة. قائمة المواضع الآن 8، 4، 2، 6، ونراجعها من نتائج الضرب الظاهرة.

لمتابعة الخانة وحدها نحسب 8×8=64، و 4×8=32، و 2×8=16، و 6×8=48. خانات النواتج الأخيرة هي 4، 2، 6، 8. عاد الرقم ثمانية بعد ستة، فعدنا إلى الموضع الأول من القائمة، مع بقاء عامل الضرب ثمانية في كل انتقال.

يمكن تفسير اختصارنا بكتابة عدد وسيط على صورة 10q+d، حيث d رقمه الأخير في الجدول. الضرب في ثمانية يعطي 80q+8d. الجزء 80q ينتهي بصفر، فنراجع الخانة الأخيرة في 8d من ضرباتنا القصيرة. بهذه الكتابة نربط الجدول بالحساب، بدل الاكتفاء بملاحظة تكرار في بعض الصفوف. ونختار q عددًا صحيحًا غير سالب في هذا التفكيك.

الأس يسجل عدد عوامل الثمانية في القوة، وليس عدد الخانات في الحاصل. لا نستبدل 8^48 بالعملية 8×48، ولا نضع الرقم 48 في عمود الآحاد لأنه مكتوب قرب الأساس. العمودان يحملان معلومات مختلفة عن البطاقة نفسها.

اختر الموضع عندما يكون الباقي صفرًا

لدورة الثمانية أربعة مواضع في ترتيبنا. الأس 48 يساوي 4×12؛ أي أن اثنتي عشرة دورة كاملة تنتهي عند الموضع الرابع. الرقم في ذلك الموضع ستة. نكتب آحاد 8^48 ستة، دون اختيار صفر لمجرد أن باقي قسمة 48 على أربعة صفر.

وللأس 49 نكتب 49=4×12+1. بعد الدورات الكاملة نتقدم إلى أول موضع في الدورة التالية، وهو ثمانية. الحسابان يختلفان بعامل إضافي واحد من الثمانية؛ ويمكن مراجعة الانتقال من الستة الأخيرة بضرب 6×8=48، فتعود الخانة الأخيرة ثمانية.

الرسم الداخلي يصل معادلة 48 بالرقم ستة، ومعادلة 49 بالرقم ثمانية. المسار سهم لا خط أعداد يقيس فرق القيمتين الكبيرتين. تتبع أولًا الأس المكتوب، ثم موضع القائمة الذي يشير إليه السهم، ثم انسخ الرقم الذي وجدته.

إذا جعل متدرب خيالي باقي صفر هو الموضع الأول، فقد يكتب ثمانية لبطاقة 48. نصحح قرار الموضع بالعودة إلى دورة واحدة: الأس الرابع نفسه باقيه صفر ويعطي 4096، وآحاده ستة. هذه مقارنة حسابية من ورقتنا، وليست نتيجة متابعة أداء شخص.

قارن قائمتين أقصر في أمثلتنا

لأساس أربعة نحسب 4^1=4 و 4^2=16. بعد ذلك 6×4=24، فتعود الخانة الأخيرة أربعة، ثم 4×4=16 يعيد الستة. نختار القائمة القصيرة 4، 6 بطول اثنين. الأس 31=2×15+1 يختار أولها، فآحاد 4^31 أربعة.

لا تقسّم 31 على أربعة ثم تحاول استعمال الباقي ثلاثة في قائمة لا تحتوي إلا موضعين. ستكون قد مزجت طولًا مع قائمة مختلفة عنه. يمكن كتابة قائمة أطول مكررة، لكننا نثبت في هذا المثال القائمة القصيرة التي سمينا مواضعها، ونستعمل طولها نفسه في الفحص.

وفي مثال خمسة، تبدأ الخانة بخمسة، وضرب 5×5=25 يبقيها خمسة. نتابع هذا الانتقال نفسه للأس 19، فتكون آحاد 5^19 خمسة. وفي مثال عشرة، نبدأ بصفر لخانته الأخيرة، ونراجع 0×10=0؛ آحاد 10^13 صفر. كلا الأسين موجب كما حددنا.

سم الباقيين بدل خلطهما في خانة واحدة

في بطاقة 8^48 توجد قسمتان بوظيفتين مختلفتين. قسمة الأس 48 على أربعة تعطي باقي صفر لتحديد موضع الدورة. أما الخانة الأخيرة في الحاصل المحسوب فتوافق باقيه على عشرة، وقد حددناها بستة. الصفر والستة ليسا جوابين متنافسين للسؤال نفسه.

ارسم في سجلنا خانة بعنوان «باقي الأس» وأخرى بعنوان «الآحاد». اكتب تحت الأولى القاسم أربعة، وتحت الثانية الأساس المختار ثمانية مع الرقم الناتج ستة. إذا نسخت صفرًا من الأولى إلى الثانية، ارجع إلى العنوان قبل إعادة أي ضرب.

ونراجع بطاقة 49 بالطريقة نفسها: باقي الأس على أربعة واحد، لكن الآحاد ثمانية. لذلك لا نسمي العدد الواحد خانة الآحاد ولا نكتب ثمانية بوصفها باقي قسمة 49 على أربعة. حساب الموضع خطوة وسيطة، والرقم الذي نقرأه من القائمة هو المطلوب.

حل البطاقات الجديدة ثم راجع السبب

في التمرين الأول 54=4×13+2، فنقرأ ثاني مواضع دورة الثمانية، وهو أربعة. إذن آحاد 8^54 أربعة. وفي الثاني 32=2×16، فنختار آخر موضعي قائمة الأربعة، وهو ستة؛ آحاد 4^32 ستة، وليس صفرًا.

للبطاقتين الباقيتين نستعمل الانتقالين اللذين حسبناهما: آحاد 5^20 خمسة، وآحاد 10^14 صفر. لا نحتاج صفًا جديدًا لكل قوة في الرسم؛ نحتاج التأكد أن الأس موجب وأن الأساس يطابق قائمة المثال الذي اخترناه.

اختم سجل كل بطاقة بثلاثة أشياء: طول القائمة، وباقي قسمة الأس عليه، والموضع المقروء. ثم اكتب رقم الآحاد في خانة منفصلة. إذا تغيرت القائمة أو بدأ ترقيمها من موضع آخر، أعد التتبع قبل نقل النتيجة، واحتفظ بالضربات القصيرة التي تفسر ترتيب أرقامك.

للمراجعة، غط عمود الآحاد في إحدى بطاقاتنا، واترك الأس والقائمة ظاهرين. احسب الباقي، ثم اكشف الرقم لتقارن اختيارك. إذا اختلفا، سجل الموضع الذي قرأته وطول القائمة، ولا تغير الأس لتجعل البطاقة توافق تخمينك. احتفظ بنسخة السجل قبل التصحيح.