نحدد منتصفي ضلعين، ثم نصل كل منتصف بالرأس المقابل؛ تقاطع المتوسطين هو المطلوب. [1][2] سنتحقق من الخطوط في مثال، ونقارنها بخطوط إنشاء المنتصف.
اعثر على المنتصف قبل رسم المتوسط
للقطعة، ارسم أقواسًا من طرفيها بالفتحة نفسها، أكبر من نصف طول القطعة، على الجهتين، ثم صل تقاطعيها لتكوين العمود المنصف. [3]
في تطبيقنا نأخذ لأقواس أ ب فتحة 8، أكبر من نصف طولها 6. دائرتا المركزين أ=(0،0) وب=(12،0) تحققان س²+ص²=64 و(س−12)²+ص²=64. بطرح المعادلتين نحصل على س=6؛ تقاطع الخط مع أ ب عند د=(6،0).
للضلع ب ج في مثالنا، نجد منتصفه هـ=((12+3)/2،(0+9)/2)=(7.5،4.5). نحتفظ بد وهـ مسجلتين قبل وصل الرؤوس بهما. عند بناء أقواس هذا الضلع على الورقة اختر فتحة تعطي تقاطعين واضحين؛ لا يلزم نسخ الرقم 8 المخصص لأ ب.
اكتب بجوار كل منتصف اسم ضلعه: د تخص أ ب، وهـ تخص ب ج. هذه قائمة مراجعة لأرقام المثال تمنع تبديل المنتصفين عند الانتقال من آثار الأقواس إلى حدود المثلث. أبق خطي الإنشاء رفيعين كي تتمكن من تمييزهما عن الوصلتين التاليتين.
صل كل منتصف بالرأس المقابل
صل د بج، وهـ بأ؛ الوصلتان متوسطان، وتقاطع المتوسطين م هو ملتقى المتوسطات. [1][2]
المتوسط قطعة من رأس إلى منتصف الضلع المقابل. [2]
في مثالنا ج د له الطرفان (3،9) و(6،0)، وأ هـ له الطرفان (0،0) و(7.5،4.5). لا نسمّي د هـ متوسطًا في هذه القائمة، لأن طرفيها منتصفان؛ ولا نكتفي بخط س=6 الذي استعملناه لإيجاد د.
راجع زوجي الوصل بصوت أو في سطر مستقل: «ج مع د، وأ مع هـ». ثم حدّد النقطة المشتركة بين هذين الخطين. سنكتب معادلتيهما حتى يمكن إعادة الفحص من الأرقام، دون الحكم على قرب خطوط متزاحمة في رسم صغير.
تقاطع عند (5،3) وفحص المتوسط الثالث
للخط ج د ميل (0−9)/(6−3)=−3، ومعادلته ص=−3س+18. وللخط أ هـ ميل 4.5/7.5=3/5، ومعادلته ص=(3/5)س. نساوي التعبيرين: (3/5)س=−3س+18، فنجد (18/5)س=18؛ إذن س=5 وص=3.
نراجع م=(5،3): على ج د تعطي −3×5+18=3، وعلى أ هـ تعطي (3/5)×5=3. من ج إلى د المتجه (3،−9)، ومن ج إلى م المتجه (2،−6)، وهو ثلثا الأول في هذا المثال. المسافة من ج إلى م √40، ومن م إلى د √10؛ الأولى ضعف الثانية.
يمكن رسم المتوسط الثالث للتحقق من مرور المتوسطات الثلاثة بالنقطة نفسها. [1] في أرقامنا منتصف أ ج هو ز=(1.5،4.5)، والخط ب ز معادلته ص=−(3/7)(س−12). عند س=5 يعطينا ص=3، فيمر بم كما حسبنا.
نضع علامة مرور عند م بعد فحص الخط الثالث. إن لم يمر به رسمك، راجع نقاط المنتصف وقائمة الأزواج قبل نقل م لتناسب الصورة. الحسابات خاصة بالمثلث الذي اخترناه؛ لا نحتاج إلى قياس المسافات على الشاشة لإثبات موضع النقطة.
التوقف عند خطي الإنشاء يعطي نقطة أخرى
في مثالنا عمود أ ب المنصف هو س=6. أما عمود ب ج المنصف فيمر بهـ=(7.5،4.5)، ومتجه ب ج=(−9،9) عمودي عليه. معادلته −9(س−7.5)+9(ص−4.5)=0، أي ص=س−3. يتقاطع الخطان عند و=(6،3).
و تختلف عن م=(5،3). لا تقع و على المتوسط أ هـ، إذ يعطي ذلك المتوسط ص=(3/5)×6=3.6 بدل 3؛ ولا تقع على ج د الذي يعطي ص=0 عند س=6. هذا يحدد أي مجموعة خطوط تقاطعنا بالفعل.
من و إلى أ مربع المسافة 6²+3²=45، وإلى ب (6−12)²+3²=45، وإلى ج (6−3)²+(3−9)²=45. يمكن أن تكون نقطة صحيحة لمسألة أخرى، لكنها لا تحقق معادلتي المتوسطين المطلوبين هنا.
للمقارنة، مربعات مسافات م إلى أ وب وج هي 34 و58 و40؛ ليست متساوية. لا نحرّك م لتساوي هذه المسافات، لأن فحصنا في هذه المهمة هو مرورها بالمتوسطات. أعد وصل الرأس بالمنتصف إذا توقفت عند خطي إنشاء المنتصفين، وأبق أسماء م وو مختلفة.
| الخطان في مثالنا | نقطة التقاطع | الفحص |
|---|---|---|
| ج د وأ هـ | م=(5،3) | يمر بها المتوسط الثالث |
| س=6 وص=س−3 | و=(6،3) | لا تحقق معادلتي المتوسطين |
للتوسع: الفرجار الهندسي واستخداماته.
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.