الاعتماد بعد طرح متوسط العينة ينشأ من اشتراك القيم في متوسط عشوائي واحد. [1]
الخلاصة السريعة
المشاهدات المستقلة لا تعطي بواقي مستقلة بعد هذا الطرح. [1]
- نفترض n≥2 مشاهدات مستقلة متطابقة التوزيع، بمتوسط μ وتباين مشترك σ² منتهٍ وموجب، وبوحدة واحدة. لا نحتاج توزيعًا طبيعيًا. [2]
- نعرّف X̄=ΣXi/n وei=Xi−X̄. دائمًا Σei=0؛ فالباقي الأخير تحدده البقية. وتوقع كل باقٍ صفر، لأن E(X̄)=μ. [2]
- باستقلال الأصل وخطية التغاير: Cov(Xi,X̄)=σ²/n وVar(X̄)=σ²/n. لموضعين مختلفين، Cov(ei,ej)=0−σ²/n−σ²/n+σ²/n=−σ²/n. [1][2]
- تباين كل باقٍ Var(ei)=σ²−2σ²/n+σ²/n=σ²(1−1/n). بقسمة التغاير على الانحرافين، ρ(ei,ej)=−1/(n−1) للموضعين المختلفين؛ وعند n=2 يكون −1. [1]
- مثال مؤلف: ثلاث مشاهدات، كل منها −3 أو 3 بفرصة 1/2 وباستقلال؛ σ²=9. الحالات الثماني متساوية الاحتمال؛ بواقيها تعطي Var(e1)=6 وCov(e1,e2)=−3، ومنهما ρ=−1/2. [1][2]
- طرح المتوسط المعروف الثابت μ من كل Xi يحفظ الاستقلال. هنا الارتباط بين موضعين عبر تكرار العينات، وليس معاملًا محسوبًا من صفوف سجل واحد؛ اعتماد البواقي لا ينقض فرض استقلال الأصل. [1]
ثبت فرض الاستقلال الأصلي
نفترض n≥2 مشاهدات مستقلة متطابقة التوزيع، بمتوسط μ وتباين مشترك σ² منتهٍ وموجب، وبوحدة واحدة. لا نحتاج توزيعًا طبيعيًا. [2]
اطرح المتوسط المشترك
نعرّف X̄=ΣXi/n وei=Xi−X̄. دائمًا Σei=0؛ فالباقي الأخير تحدده البقية. وتوقع كل باقٍ صفر، لأن E(X̄)=μ. [2]
احسب التغاير بين موضعين
باستقلال الأصل وخطية التغاير: Cov(Xi,X̄)=σ²/n وVar(X̄)=σ²/n. لموضعين مختلفين، Cov(ei,ej)=0−σ²/n−σ²/n+σ²/n=−σ²/n. [1][2]
احسب معامل الارتباط
تباين كل باقٍ Var(ei)=σ²−2σ²/n+σ²/n=σ²(1−1/n). بقسمة التغاير على الانحرافين، ρ(ei,ej)=−1/(n−1) للموضعين المختلفين؛ وعند n=2 يكون −1. [1]
عدد الحالات الثماني
مثال مؤلف: ثلاث مشاهدات، كل منها −3 أو 3 بفرصة 1/2 وباستقلال؛ σ²=9. الحالات الثماني متساوية الاحتمال؛ بواقيها تعطي Var(e1)=6 وCov(e1,e2)=−3، ومنهما ρ=−1/2. [1][2]
ميز المتوسط الثابت
طرح المتوسط المعروف الثابت μ من كل Xi يحفظ الاستقلال. هنا الارتباط بين موضعين عبر تكرار العينات، وليس معاملًا محسوبًا من صفوف سجل واحد؛ اعتماد البواقي لا ينقض فرض استقلال الأصل. [1]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.