الكسر المستمر المنتهي: احسب من الداخل ولا تحذف الأقواس

الخلاصة السريعة

في مثالنا، 43/19 = [2;3,1,4] = 2 + 1/(3 + 1/(1 + 1/4)). احسب من الداخل: 5/4 ثم 19/5 ثم 43/19.

• نستخدم كسرًا مستمرًا منتظمًا: الحد الأول صحيح، والحدود اللاحقة أعداد صحيحة موجبة؛ بسط كل كسر متداخل 1. [1] ترميز القائمة يختصر هذا التداخل، لا جمع الكسور المنفصلة. [2]
• القسمة المتتابعة في مثال 43/19 تعطي خوارج 2 ثم 3 ثم 1 ثم 4؛ البواقي 5 ثم 4 ثم 1 ثم 0. لذلك نتوقف بعد 4.
• للتقييم ابدأ بآخر عدد 4: 1 + 1/4 = 5/4، ثم 3 + 1/(5/4) = 19/5، ثم 2 + 1/(19/5) = 43/19.
• حذف التداخل يغير القيمة: 2 + 1/3 + 1/1 + 1/4 = 43/12، وليس 43/19.
• القطع عند [2;3,1] يعطي 9/4؛ هو أقل من 43/19 بمقدار 1/76. هذا تقريب في مثالنا، لا مساواة دقيقة.
• نهاية أخرى تعطي القيمة نفسها: [2;3,1,3,1]؛ لأن 3 + 1/1 = 4. اختلاف طول القائمة لا يثبت اختلاف العدد.
• نقتصر على مثال موجب نسبي منتهٍ. لا تقلب باقيًا صفريًا بعد آخر خطوة. راجع الناتج بكسر دقيق، وفرق بين القائمة الكاملة والمقطوعة.

القائمة تصف مقامات متداخلة

في الكسر المستمر البسيط تكون البسوط المتداخلة 1، ويمكن اختصار المقامات الجزئية بقائمة تبدأ بالجزء الصحيح ثم فاصلة منقوطة. [2]

نكتب [2;3,1,4] اختصارًا للتعبير 2 + 1/(3 + 1/(1 + 1/4)). العدد 4 هو أعمق حد في هذا المثال، وتأتي 1 قبله، ثم 3، ثم 2 خارج الكسر. ليست الفواصل علامات جمع؛ الأقواس في التعبير المفصل تبين ما يدخل في كل مقام.

المنتظم هو النوع الذي حدّه الأول صحيح، وما بعده أعداد صحيحة موجبة. [1] لا نناقش أنواعًا أعم من الكسور المستمرة.

استخرج الخوارج، وتوقف عند الباقي صفر

نأخذ الجزء الصحيح، ثم مقلوب الباقي الكسري إن كان غير صفر، ونكرر أخذ الجزء الصحيح. [1]

في 43/19، الجزء الصحيح 2 والباقي الكسري 5/19؛ مقلوبه 19/5. جزؤه الصحيح 3 والباقي 4/5؛ مقلوبه 5/4. جزؤه الصحيح 1 والباقي 1/4؛ مقلوبه 4، وهو صحيح بلا باقي. نحصل بالترتيب على 2 ثم 3 ثم 1 ثم 4.

يعرض الجدول القسمة الصحيحة المقابلة. نقرأ عمود خارج القسمة من أعلى إلى أسفل. في آخر صف الباقي 0؛ لا نكتب مرحلة أخرى بمقام 0، لأن مقلوب الصفر غير معرف.

كل باقي قسمة في صفوفنا غير سالب وأصغر من المقسوم عليه. تبدأ القسمة التالية بالمقسوم عليه السابق والباقي السابق. هذه مراجعة عملية للأرقام المختارة، وليست مساواة الباقي الكسري بباقي القسمة الصحيح.

ارجع من آخر حد إلى أول حد

ابدأ 4. أضف مقلوبه إلى الحد السابق 1: 1 + 1/4 = 5/4. اقلب هذه القيمة كلها، لا بسطها وحده، وأضفها إلى 3: 3 + 1/(5/4) = 3 + 4/5 = 19/5. أخيرًا اقلب 19/5 وأضف المقلوب إلى 2: 2 + 1/(19/5) = 2 + 5/19 = 43/19.

الصورة الرئيسية تعرض مراحل الرجوع بالترتيب. المقلوب يخص القيمة المحسوبة داخل المقام كله. إذا كانت هناك آلة حاسبة، فأدخل الأقواس التي تحيط بكل مقام؛ لا تعتمد على ترتيب النظر إلى الكسور في السطر.

للمقارنة، جمع 2 مع 1/3 ثم 1/1 ثم 1/4 يساوي 43/12. فقد جعلنا الكسور منفصلة، وألغينا البنية الأصلية. القيمة 43/12 أكبر من 3، بينما 43/19 بين 2 و 3؛ يكشف هذا التقدير خطأ الأقواس قبل الحساب التفصيلي.

القطع يغير المساواة إلى تقريب

إذا وقفنا عند [2;3,1]، نبدأ بالحد الأخير 1، ثم نحسب 3 + 1/1 = 4، وبعدها 2 + 1/4 = 9/4. هذه القيمة 2.25؛ لا تساوي 43/19. الفرق الدقيق 43/19 − 9/4 = 1/76، وهو موجب، فيكون 9/4 أقل من العدد الأصلي.

الصورة الداخلية تقارن الرجوع في القائمة الكاملة والمقطوعة. لا نطرح 4 من نتيجة 43/19 عند القطع؛ نحذف آخر مستوى من البناء ونعيد تقييم ما بقي. ولذلك يتغير المقام الذي سيقلب في المستوى التالي.

نحسب خطأ هذا المثال فقط. لا ندعي هنا أن كل حذف يعطي تقريبًا من الأسفل، ولا نقارن جميع الكسور ذات المقامات الصغيرة. إذا كان المطلوب قيمة دقيقة فاستعمل القائمة الكاملة، وإذا كان المطلوب تقريبًا فاذكر القائمة التي قطعتها ومقدار الفرق.

قد تختلف النهاية وتبقى القيمة نفسها

في قائمة مثالنا، يمكن استبدال الحد الأخير 4 بالبناء 3 + 1/1. لهذا يعطي [2;3,1,3,1] العدد نفسه 43/19: احسب آخر مستويين أولًا فتعود إلى 4، ثم تتكرر مراحل الرجوع السابقة كما هي.

هذه الحالة تختلف عن القطع. في القطع عند [2;3,1] حذفنا مستوى وخرجنا بقيمة 9/4. أما الآن فكتبنا قيمة الحد الأخير بصورة مكافئة، فلم نغير المقام الداخلي. لا تقرر مساواة قائمتين أو اختلافهما من عدد الحدود وحده.

للمراجعة، حافظ على ترتيب 2 و 3 و 1 و 4 في القائمة الأصلية، وابدأ الحساب من آخرها. تحقق من أن الباقي الصفري أوقف القسمة، ثم قارن الكسر النهائي بالمدخل 43/19. تعمل هذه الخطوات على مثال موجب نسبي منتهٍ؛ لم نعالج كسورًا لا نهائية أو إدخالًا عشريًا مقربًا.