الكسور المصرية بالطريقة الجشعة: اختيار صحيح لا يضمن أقصر مجموع

الخلاصة السريعة

الطريقة الجشعة تعطي في مثالنا 9/20 = 1/3 + 1/9 + 1/180؛ هذا صحيح، لكن 9/20 = 1/4 + 1/5 أقصر، بحدين بدل ثلاثة.

• نستخدم كسور وحدة موجبة بسطها 1، بمقامات صحيحة موجبة مختلفة؛ هذا هو شكل الكسور المصرية المقصود هنا. [2]
• للكسر الموجب الأقل من 1، اختر أكبر كسر وحدة لا يتجاوز المتبقي، ثم اطرحه وكرر؛ مقامه d = ⌈b/a⌉ عندما يكون المتبقي a/b. [1]
• في مثال 9/20 نختار المقامات 3 ثم 9 ثم 180؛ البواقي 7/60 ثم 1/180 ثم 0. نتوقف عند الصفر.
• المراجعة الدقيقة: 1/3 + 1/9 + 1/180 = 81/180 = 9/20. لا نعتمد على تقريب عشري لإثبات المساواة.
• الكتابة الأخرى 1/4 + 1/5 = 9/20 أقصر، وبحدين وهو الأدنى هنا لأن 9/20 ليس كسر وحدة. اختيار المقام 2 أولًا خطأ: 1/2 أكبر من 9/20، فيعطي باقيًا −1/20.
• الطريقة المعتادة تنتهي لكسر نسبي موجب، وتنتج مقامات متزايدة. [1] نقتصر على كسور أقل من 1؛ بعد التوقف راجع المجموع وإيجابية الحدود واختلاف المقامات.

ما الذي يجعل المجموع مصريًا؟

كسر الوحدة بسطه 1. في الكتابة المصرية التي نستخدمها نجمع كسور وحدة موجبة مختلفة، فلا نكرر الحد نفسه. [2]

في المثال، الحدود 1/3 و 1/9 و 1/180 كلها كسور وحدة ومقاماتها مختلفة. وجود علامة الجمع أساسي؛ لا نضرب هذه الكسور، ولا نجمع المقامات فنكتب 3 + 9 + 180 مقامًا للناتج. المطلوب أن يساوي المجموع قيمة 9/20 بالضبط.

لماذا نقرب المقلوب إلى الأعلى؟

تختار الطريقة الجشعة أكبر كسر وحدة لا يزيد على المتبقي، ثم تعمل على الفرق. للموجب a/b الأقل من 1، نأخذ d = ⌈b/a⌉ ونطرح 1/d. الرمز ⌈ ⌉ يعني أصغر عدد صحيح لا يقل عن القيمة. [1]

في البداية المقلوب 20/9 يقع بين 2 و 3، فنختار 3. لو أخذنا 2، لطرحنا 1/2، وهي 10/20؛ تزيد على 9/20. الفرق سيكون −1/20، فيخالف شرط أن نمثل المتبقي بحدود موجبة. أما 1/3 فلا يتجاوز 9/20، لذلك يصلح للخطوة الأولى.

في الخطوة الأخيرة يصبح المتبقي 1/180، وهو كسر وحدة بالفعل. نأخذه كما هو، فيصير المتبقي 0 وننهي العمل. لا نبحث عن كسر أصغر منه لمجرد كلمة «جشعة».

تتبع الباقي بعد كل طرح

نبدأ 9/20. بعد طرح 1/3 نوحد المقام إلى 60: 27/60 − 20/60 = 7/60. مقلوب هذا الباقي 60/7 بين 8 و 9، فيكون المقام التالي 9.

عند طرح 1/9 من 7/60، نوحد المقام إلى 180: 21/180 − 20/180 = 1/180. نطرح هذا الحد الأخير، فيبقى 0. الصورة الرئيسية والجدول يعرضان المراحل الثلاث؛ كل صف يبدأ بالباقي الذي انتهى إليه الصف السابق.

نحسب المقام الجديد من الباقي الحالي، لا من 9/20 مرة ثانية. وإلا كررنا 1/3 ولم نطبق الطريقة المقصودة. نحتفظ بالقيم ككسور دقيقة حتى يظهر الصفر في آخر خطوة بوضوح.

أعد جمع الحدود للتحقق

نكتب 1/3 على صورة 60/180، ونكتب 1/9 على صورة 20/180، ويبقى 1/180 كما هو. إذن مجموع البسوط 60 + 20 + 1 = 81، والمجموع 81/180. باختزال البسط والمقام بالقسمة على 9 يعود 9/20.

الصورة الداخلية تعرض وحدة مقسمة إلى 180 جزءًا متساويًا: يأخذ المجموع 81 جزءًا، وتبقى 99 جزءًا غير مأخوذة. الشريطان يمثلان الوحدة نفسها، فلا نعتمد على تشابه أسماء الكسور وحده للحكم على تساوي القيم.

إذا أدخلت القيم تقريبًا عشريًا، فقد ترى فرقًا صغيرًا بسبب التقريب. في هذا المثال لدينا برهان مباشر بتوحيد المقام؛ لا نغير حد 1/180 إلى عدد عشري قصير ثم نسمي الجمع الدقيق خطأ.

مجموع صحيح بثلاثة حدود، وآخر بحدين

من حساب مستقل،1/4 + 1/5 يساوي 5/20 + 4/20، أي 9/20. المقامان 4 و 5 مختلفان، والحدان موجبان وبسط كل منهما 1، فيحقق هذا أيضًا شكل الكتابة المصرية. وعلى مقام 180 يأخذ الحد الأول 45 جزءًا والثاني 36 جزءًا؛ مجموعهما 81، كما في الشريط الأول.

الطريقة الجشعة تبدأ 1/3 لأنه أكبر حد لا يتجاوز 9/20، بينما يبدأ المجموع الآخر 1/4. الاختيار الأكبر الآن لا يضمن قلة الحدود في النهاية؛ مثالنا يعطي ثلاثة حدود بالطريقة الجشعة وحدين بالاختيار الآخر. إذن صحة الناتج لا تعني أنه أقصر تمثيل.

في مثالنا لا يكفي حد واحد: لو كان 9/20 = 1/d، لكان 9d = 20؛ لا يوجد d صحيح يحقق ذلك. وبما أننا وجدنا حدين، فهما العدد الأدنى للحدود وفق شروط هذا المثال. هذا الاستدلال خاص بالقيمة المختارة، ولا يقدم خوارزمية لإيجاد أقصر مجموع لأي كسر.

لماذا تنتهي الخطوات، وماذا تراجع؟

تنتهي الطريقة المعتادة على الكسور النسبية الموجبة، وتكون المقامات الناتجة متزايدة. [1]

يمكن رؤية سبب التوقف في نطاقنا: إذا كان الباقي a/b واخترنا d = ⌈b/a⌉، يصبح الفرق (ad − b)/(bd). البسط الجديد غير سالب وأصغر من a؛ وبعد الاختزال لا يزداد. ما دام غير صفر فهو عدد صحيح موجب يتناقص، فلا تستمر الخطوات بلا نهاية. [1]

نقتصر هنا على كسر موجب أقل من 1؛ لم نعرض معالجة جزء صحيح أو كسر سالب. عند النهاية افحص أن كل حد موجب وبسطه 1، وأن المقامات لا تتكرر، وأن المجموع يساوي الأصل. إذا طلب السؤال أقصر مجموع، فلا تكفي عبارة «استخدمت الطريقة الجشعة» لإثبات ذلك.