اللولب الزائدي: لماذا يقترب من خط لا يمر به؟

الخلاصة السريعة

لأن y=2sinθ/θ＜2 لكل θ＞0، لا يمر اللولب المختار بالخط y=2. مع ذلك، عندما θ→0⁺ تصبح x→+∞ وy→2، فيكون الخط مقاربًا عند الطرف البعيد؛ الاقتراب الحدي لا يجعل نقطة من الخط نقطة من المنحنى.

• ندرس r=2/θ عند θ＞0، والزاوية بالراديان من المحور الأفقي الموجب عكس عقارب الساعة. الإحداثيان x=2cosθ/θ وy=2sinθ/θ؛ القيمة θ=0 مستبعدة، والمعامل زاوية لا زمن.
• عندما θ→0⁺ يكبر r بلا حد، وتتجه x إلى+∞ وy إلى2. المسافة العمودية إلى y=2 تؤول إلى صفر عند هذا الطرف؛ لا نبحث عن المقارب بوضع θ=0 في مقام.
• الفرق θ−sinθ موجب لكل θ＞0، لأن مشتقته1−cosθ غير سالبة ولا تبقى صفرًا على فترة كاملة. لذلك يظل y＜2، وتُرفض W=(2,2) رغم وجودها على المقارب.
• عند θ=π/2 نجد P=(0,4/π)، وعند θ=π نجد Q=(−2/π,0). مماس P هو y−4/π=(2/π)x؛ يختلف عن المقارب. عند θ=0.8 تكون H≈(1.741767,1.793390)، والفرق إلى إسقاطها J على y=2 نحو0.206610 وحدة.
• عندما θ→∞ يصبح r→0 عبر عدد غير محدود من الدورات، لكن r موجب عند كل θ محدودة؛ O=(0,0) نقطة حد وليست نقطة من الفرع. لا يستقر خط مماس واحد عند هذا الحد.
• مقدار المشتقة2√(1+θ²)/θ² أكبر من2/θ. طول الجزء بين A وT، حيث T＞A＞0 زاويتان، أكبر من2ln(T/A)، فيزداد بلا حد عندما T→∞. الاقتراب من الأصل لا يعني طولًا داخليًا محدودًا أو وقت وصول معلومًا.

ثبت الفرع ومعنى المعامل

معادلة اللولب الزائدي المرجعية هي r=a/θ. [1][2] نضع a=2، ونختار θ＞0. بذلك يكون r موجبًا، وهو البعد عن القطب O=(0,0). لا ندرس هنا الفرع ذي الزوايا السالبة.

المحور القطبي هو الاتجاه الأفقي الموجب، والزاوية θ مقاسة بالراديان عكس عقارب الساعة. نستعمل الإحداثيات القطبية في مستوى، ثم نحولها بالعلاقتين x=r cosθ وy=r sinθ.

بعد التعويض نحصل على x=2cosθ/θ وy=2sinθ/θ. مربع المسافة إلى الأصل هو x²+y²=4/θ²، فيؤكد r=2/θ على المجال الموجب. المتغير θ ليس الإحداثي الأفقي ولا زمن حركة جسم.

كلما ازدادت θ نقص r، لكن اتجاه الشعاع يستمر في الدوران. إضافة2π تعيد الاتجاه نفسه مع نصف قطر أصغر؛ لا تعيد النقطة نفسها. لذلك لا نختزل الزاوية إلى دورة واحدة عند استعمال المعادلة.

الصورة الرئيسية تعرض0.3≤θ≤4π فقط، وتستخدم وحدة طول واحدة على المحورين. حدود الجزء المرسوم لا تعني أن اللولب يبدأ أو ينتهي عندهما؛ طرفاه النظريان يحتاجان إلى دراسة حدين مختلفين.

ابحث عن الخط عند الطرف البعيد

نأخذ θ→0⁺، أي زوايا موجبة تقترب من الصفر. لأن r=2/θ، يزداد البعد عن الأصل بلا حد. وفي الإحداثي الأفقي يقترب cosθ من1، فتكون x=2cosθ/θ→+∞.

أما الإحداثي الرأسي فهو y=2sinθ/θ. الحد sinθ/θ→1 يعطي y→2. لدينا نقطة تبتعد أفقيًا مع ارتفاع يقترب من عدد ثابت، ولذلك يكون y=2 خطًا مقاربًا لهذا الطرف من الفرع.

المسافة العمودية إلى الخط هي |2−y|، وتؤول إلى صفر في هذا الحد. لا يكفي أن يبقى y محدودًا؛ المطلوب اقترابه من ارتفاع الخط نفسه بينما يمتد المنحنى نحو اللانهاية.

لا نضع θ=0 في الصيغة ثم نكتب نقطة عندها. مقام r صفر، والإحداثي x غير محدود في الحد؛ لا توجد نقطة نهائية محدودة من الشكل(∞,2) نعوضها في الرسم أو الجدول.

المقارب الأحمر في الرسم خط مرجعي يمتد خارج الجزء المرئي أيضًا. قد تضيق الفجوة عند الطرف الأيمن حتى يصعب تمييزها في صورة صغيرة؛ هذا لا يثبت وجود تقاطع، وسنحسمه من المتباينة.

أثبت بقاء المنحنى تحت الخط

لنعرّف g(θ)=θ−sinθ. لدينا g(0)=0، ومشتقتها g′(θ)=1−cosθ≥0. لذلك لا تتناقص g عندما نتحرك من الصفر إلى زاوية موجبة.

نحتاج إلى موجب لا غير سالب فقط. يمكن كتابة g(θ) تكامل1−cosu من0 إلىθ. الدالة تحت التكامل غير سالبة، وموجبة في جزء من أي فترة0＜u＜θ؛ لذا يكون g(θ)＞0 لكل θ＞0.

إذن sinθ＜θ على المجال كله، حتى عندما يصبح الجيب سالبًا أو يعود إلى الصفر. وبالقسمة على θ الموجبة وضرب النتيجة في2 نجد y=2sinθ/θ＜2. هذه نتيجة عامة، وليست فحصًا لزوايا مختارة فقط.

الفجوة إلى المقارب تكتب δ=2−2sinθ/θ، وهي موجبة لكل نقطة من الفرع. لكنها تتجه إلى صفر عندما θ→0⁺؛ الإشارة الصارمة والحد الصفري يجتمعان دون تناقض.

نختار W=(2,2) على الخط الأحمر. لا يمكن أن تأتي من أي θ موجبة، لأن إحداثيها الرأسي2 يخالف y＜2. وجودها على المقارب لا يجعلها نقطة من اللولب، مهما بدا الخط قريبًا من المسار.

راجع نقطة ومماسًا وفجوة موجبة

عند θ=π/2 يكون cosθ=0 وsinθ=1، فنجد P=(0,4/π). وعند θ=π يكون cosθ=−1 وsinθ=0، فنجد Q=(−2/π,0). المسافتان إلى O هما4/π و2/π، كما تعطي المعادلة القطبية.

نضع D=(0,2)، وهي الإسقاط العمودي لـP على المقارب. الفرق DP=2−4/π≈0.726760 وحدة. D نقطة مرجعية على الخط، أما P فعلى اللولب؛ لا نبدل دورهما لأن إحداثيهما الأفقي متساوٍ.

نشتق بالنسبة إلى θ: x′=2(−cosθ−θsinθ)/θ²، وy′=2(−sinθ+θcosθ)/θ². عند P تكون المشتقة(−4/π,−8/π²)، وميل المماس2/π.

خط المماس هو y−4/π=(2/π)x. يمر بـP وله اتجاه المشتقة عندها، بينما المقارب y=2 أفقي ولا يمر بـP. المماس علاقة محلية عند نقطة صالحة، والمقارب علاقة حدية عند طرف غير محدود.

نختار أيضًا θ=0.8 راديان. نحصل على H=(2cos0.8/0.8,2sin0.8/0.8)، أي H≈(1.741767,1.793390). إسقاطها على الخط هو J=(1.741767,2) بالتقريب نفسه، فتكون HJ≈0.206610 وحدة.

يعرض الجدول O وP وQ وD وW، مع أن بعضها مراجع وليست نقاطًا من المنحنى. الصورة الداخلية تكبر جزءًا محدودًا حول H وتعرض J والقطعة العمودية؛ لا نقدر الفرق من البكسلات بدل الحساب.

حد آخر يقود إلى الأصل

عندما θ→∞ يصبح r=2/θ→0. لأن |x|≤r و|y|≤r، يتجه الإحداثيان إلى صفر، فتقترب النقاط من O عبر دورات متتابعة إلى الداخل.

لكن لكل θ موجبة ومحدودة يبقى r＞0. لا يوجد معامل صالح يعطي O، ولا يضيف تقريب عدد صغير إلى صفر نقطة جديدة إلى المنحنى. يمكن ضم O إلى إغلاق مجموعة النقاط لوصف حدها.

هذا الحد يختلف عن θ→0⁺: هناك تتجه النقطة إلى اللانهاية قرب y=2، وهنا تتجه إلى الأصل مع ازدياد الزاوية. القيمة المستبعدة0 ليست نقطة الأصل؛ الاتجاه الذي تتخذه في الحد هو الحاسم.

حتى بعد ضم الأصل بوصفه نقطة حد، لا يستقر خط مماس واحد عنده. عند θ=2πn، مع n عدد صحيح موجب، يكون ميل المماس−θ، فيقترب خطه من الرأسي مع n→∞. وعند θ=π/2+2πn يكون الميل1/θ، فيقترب من الأفقي.

في السلسلتين تقترب النقاط من O، لكن الاتجاهين الحديين مختلفان. لذلك لا نرسم مماسًا منفردًا للأصل اعتمادًا على آخر قطعة ظهرت في شاشة محدودة، ولا نسميه رأسًا مدببًا ذا اتجاه حدي واحد.

كما لا يعاد تتبع نقطة غير الأصل: لو تساوت نقطتان لتساوى بعداهما2/θ، وهذا يفرض تساوي الزاويتين الموجبتين. ازدياد عدد اللفات لا يعني تقاطعها في نقطة واحدة قبل الحد.

الاقتراب لا يضمن طولًا محدودًا

نجمع مربعي المشتقتين. تلغى الحدود المختلطة، فنحصل على x′²+y′²=4(1+θ²)/θ⁴. مقدار المشتقة إذن2√(1+θ²)/θ²، وهو موجب عند كل θ صالحة.

لزاويتين T＞A＞0، نحسب طول القوس من A إلىT بتكامل هذا المقدار. هنا A وT قيمتان للزاوية وليستا اسمي نقطتين في الجدول؛ نستخدم وحدة طول المقال بعد التكامل.

لأن √(1+θ²)＞θ عندما θ＞0، يكون مقدار المشتقة أكبر من2/θ. لذلك طول القوس أكبر من تكامل2/θ من A إلىT، أي أكبر من2ln(T/A). الرمز ln هو اللوغاريتم الطبيعي.

عندما نثبت A ونزيد T بلا حد، تزداد2ln(T/A) بلا حد أيضًا. لذلك طول الذيل الذي يلتف إلى الداخل نحو O غير محدود، رغم أن بعد كل نقطة عن O يتناقص إلى صفر.

لا نستنتج تقارب الطول من احتواء الذيل في قرص صغير. نصف القطر يقيس المسافة المباشرة إلى المركز، بينما طول القوس يجمع مسارًا ذا عدد غير محدود من الدورات؛ يحتاج كل منهما حسابه.

الزاوية ليست زمنًا في هذا المثال. لم نحدد قانون حركة أو سرعة زمنية، لذلك لا نستخرج وقت وصول أو تجربة مادية من هذه الحدود. المقال يميز خطًا مقاربًا ونقطة حد وطولًا هندسيًا من معادلة واحدة معلنة.