تحليل القيم المفردة: اتجاه يتمدد سبع مرات وآخر مرة واحدة

احسب الجذرين من AᵀA

القيم المفردة هي الجذور غير السالبة للقيم الذاتية في AᵀA. في الحالة غير المنفردة نأخذ المتجهات الذاتية موحّدة الطول أعمدةً في V، ثم نحسب U=AVΣ⁻¹. [2]

نختار A=[[3,4],[−4,−3]]؛ الفواصل بين المجموعات تفصل الصفوف. حاصل AᵀA=[[9+16,12+12],[12+12,16+9]]=[[25,24],[24,25]].

الضرب في(1,1) يعطي(49,49)، والضرب في(1,−1) يعطي(1,−1). الاتجاهان متعامدان، وطول كل متجه√2؛ إذن v₁=(1,1)/√2 وv₂=(1,−1)/√2.

القيمتان الذاتيتان لـAᵀA هما49 و1، لذلك σ₁=7 وσ₂=1. لا نكتب49 و1 على قطر Σ؛ فهما مربعا عاملي التمدد. هذه طريقة اشتقاق دقيقة للمثال، وليست توصية بخوارزمية حساب عشري.

للمصفوفة الأصلية det(λI−A)=λ²+7؛ فلا توجد قيمة ذاتية حقيقية لها، رغم أن قيمتيها المفردتين7 و1 حقيقيتان. لذلك لا نخلط القيم الذاتية لـA مع جذور قيم AᵀA.

أعد بناء العاملين والاتجاهات

في SVD، العلاقة Avᵢ=σᵢuᵢ تربط الاتجاه الأيمن بصورته اليسرى. [1]

هنا Av₁=(7,−7)/√2، فنأخذ u₁=(1,−1)/√2. كما أن Av₂=(−1,−1)/√2، فنأخذ u₂=(−1,−1)/√2. طول كل u هو1، وضربهما الداخلي(−1+1)/2=0.

إذن V=(1/√2)[[1,1],[1,−1]]، وU=(1/√2)[[1,−1],[−1,−1]]، وΣ=[[7,0],[0,1]]. في هذا المثال منقول V يساوي V؛ هذا اتفاق خاص بأرقام المثال.

نفحص حاصل الضرب: UΣVᵀ=(1/2)[[7,−1],[−7,−1]][[1,1],[1,−1]]=(1/2)[[6,8],[−8,−6]]=A.

U وV تحفظان الطول، وΣ تضرب المركبتين بالعاملين7 و1. [1] لا يشترط uᵢ=vᵢ.

ما الذي يحدث لأي اتجاه؟

الطول هنا إقليدي: ||x||₂=√(x₁²+x₂²). معيار المصفوفة الثنائي هو أكبر نسبة ||Ax||₂/||x||₂ بين المتجهات غير الصفرية، أو أكبر طول للصورة على دائرة الوحدة. [3]

لأن v₁ وv₂ أساس متعامد بطول واحد، نكتب كل x=αv₁+βv₂، حيث α=v₁ᵀx وβ=v₂ᵀx. عندئذ ||x||²=α²+β²، وAx=7αu₁+βu₂.

وبتعامد u₁ وu₂، يكون ||Ax||²=49α²+β². إذا ||x||=1، فهذا يساوي1+48α²، فيقع بين1 و49. الطول الأدنى1 عند x=±v₂، والأقصى7 عند x=±v₁.

أما x=(1,0)، فهو(1/√2)v₁+(1/√2)v₂، وصورته(3,−4) بطول5. ليس كل متجه وحدة يتمدد7 مرات؛ الرقم7 أقصى عامل في هذا المثال.

احذف اتجاهًا وافحص أقل خطأ

إبقاء أكبر القيم المفردة يعطي أفضل تقريب منخفض الرتبة في المعيار الثنائي. [1] سنثبت حالة الرتبة1 لمثالنا مباشرة. الرتبة هي عدد الاتجاهات المستقلة في صورة التحويل.

نكتب A=7u₁v₁ᵀ+u₂v₂ᵀ. نحتفظ بالأول: A₁=7u₁v₁ᵀ=(7/2)[[1,1],[−1,−1]]. أعمدته غير صفرية وعلى اتجاه واحد، فرتبته1.

الباقي E=A−A₁=(1/2)[[−1,1],[−1,1]]=u₂v₂ᵀ. لأي x=αv₁+βv₂، نجد Ex=βu₂، لذا أكبر طول له على دائرة الوحدة هو1، ويحدث عند x=±v₂. إذن ||E||₂=1.

خذ أي مصفوفة B بحجم2×2 ورتبة1 أو أقل. يوجد متجه وحدة z في نواتها، أي Bz=0. لذلك ||(A−B)z||=||Az||≥1 من حد الطول السابق، فيكون ||A−B||₂≥1. هذا الحد يخص كل B المسموح بها، لا عينات اخترناها فقط.

وصلت A₁ إلى الحد1، فهي تحقق أقل خطأ ممكن بهذا المقياس. لو احتفظنا بالأضعف u₂v₂ᵀ بدل الأقوى، صار الباقي7u₁v₁ᵀ وخطؤه7. حذف حد واحد ليس كافيًا؛ اختيار الحد يؤثر في الخطأ.

التقريب A₁ ليس مساويًا لـA: ‏A₁v₂=0 بينما Av₂=u₂. مقدار الخطأ1 لا يعني أن المعلومات في الاتجاه الأضعف غير مهمة في كل استعمال.