تقريب حجم الغلاف الكروي بمساحة السطح في السمك يقل عن الحجم الدقيق. نحدد نسبة النقص وشرط ألا تتجاوز 1%. [1][2]
الخلاصة السريعة
قارن الخطأ بالحجم الدقيق، وافحص نسبة السمك إلى نصف القطر. [1]
- نفترض غلافًا بين كرتين متحدتي المركز: نصف القطر الداخلي r>0، والخارجي r+t، وسمك شعاعي ثابت t>0. نستعمل وحدات طول موحدة. النموذج هندسي فقط؛ لا يحسب خسائر مادة أو انكماشها عند التجفيف. [1]
- حجم الغلاف الدقيق W=(4π/3)[(r+t)³−r³]؛ نطرح الحيز الداخلي من الخارجي. بتوسيع المكعب نحصل على W=4πr²t+4πrt²+(4π/3)t³. الوحدة مكعبة، وليست مساحة. [1]
- التقدير الخطي B=4πr²t يضرب مساحة السطح الداخلي في السمك. وهو تفاضل الحجم عند r، لا الحجم الدقيق. الباقي W−B=4πrt²+(4π/3)t³ موجب دائمًا عندما r,t موجبان؛ التقدير ينقص الحجم. [2]
- عرّف u=t/r وε=(W−B)/W. بالقسمة نجد W/B=1+u+u²/3، ولذلك ε=(u+u²/3)/(1+u+u²/3). النسبة تستخدم W في المقام؛ قسمتها على B أو على حجم الكرة الداخلية تجيب عن مقارنة أخرى. [2]
- عند r=20cm، للسماكات 0.1 و0.2 و1cm أخطاء نحو 0.50% و0.99% و4.84%، بالترتيب. الحجوم بالسم³، مقربة لمنزلتين. [1][2]
- لخطأ ε≤0.01 يلزم ويكفي u+u²/3≤1/99، أي 0<u≤(√(9+4/33)−3)/2≈0.010067227. عند r=20cm، الحد الدقيق للسمك 20(√(9+4/33)−3)/2 بالسنتيمتر، ونحو 2.013445mm. مثلًا u=0.01 يحقق الشرط. الحد خاص بالتقدير B والغلاف المفترض، وليس قاعدة لكل تقريب. [2]
ثبت نصف القطر والسمك
نفترض غلافًا بين كرتين متحدتي المركز: نصف القطر الداخلي r>0، والخارجي r+t، وسمك شعاعي ثابت t>0. نستعمل وحدات طول موحدة. النموذج هندسي فقط؛ لا يحسب خسائر مادة أو انكماشها عند التجفيف. [1]
اطرح حجمي الكرتين
حجم الغلاف الدقيق W=(4π/3)[(r+t)³−r³]؛ نطرح الحيز الداخلي من الخارجي. بتوسيع المكعب نحصل على W=4πr²t+4πrt²+(4π/3)t³. الوحدة مكعبة، وليست مساحة. [1]
فسر تقدير المساحة في السمك
التقدير الخطي B=4πr²t يضرب مساحة السطح الداخلي في السمك. وهو تفاضل الحجم عند r، لا الحجم الدقيق. الباقي W−B=4πrt²+(4π/3)t³ موجب دائمًا عندما r,t موجبان؛ التقدير ينقص الحجم. [2]
حدد مقام الخطأ النسبي
عرّف u=t/r وε=(W−B)/W. بالقسمة نجد W/B=1+u+u²/3، ولذلك ε=(u+u²/3)/(1+u+u²/3). النسبة تستخدم W في المقام؛ قسمتها على B أو على حجم الكرة الداخلية تجيب عن مقارنة أخرى. [2]
قارن ثلاث سماكات
عند r=20cm، للسماكات 0.1 و0.2 و1cm أخطاء نحو 0.50% و0.99% و4.84%، بالترتيب. الحجوم بالسم³، مقربة لمنزلتين. [1][2]
استخرج شرط الواحد بالمئة
لخطأ ε≤0.01 يلزم ويكفي u+u²/3≤1/99، أي 0<u≤(√(9+4/33)−3)/2≈0.010067227. عند r=20cm، الحد الدقيق للسمك 20(√(9+4/33)−3)/2 بالسنتيمتر، ونحو 2.013445mm. مثلًا u=0.01 يحقق الشرط. الحد خاص بالتقدير B والغلاف المفترض، وليس قاعدة لكل تقريب. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.