تكرار أي نتيجة: احسب عدم التكرار أولًا

الخلاصة السريعة

احتمال وجود تكرار واحد على الأقل بين الاختيارات الأربع هو 13/18. توجد 1296 متتابعة مرتبة متساوية الإمكانية، منها 360 بلا تكرار و 936 فيها تكرار. لذلك 936/1296 = 13/18. هذه فرصة أكبر من النصف، لكنها ليست يقينًا:ABCD نتيجة ممكنة بلا تكرار.

• لنتائج مستقلة من بدائل متساوية الإمكانية، يمكن حساب احتمال وجود تكرار بطرح احتمال اختلاف النتائج جميعًا من 1. نحدد الحدث بأنه تطابق نتيجتين على الأقل، لا تكرار رمز بعينه. [1]
• النموذج أربع اختيارات مرتبة من A إلى F؛ فرصة كل رمز 1/6 في كل اختيار، والاستقلال مفترض. توجد 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 متتابعة، لأن الرمز السابق لا يخرج من الخيارات المتاحة.
• المتتابعات بلا تكرار عددها 6 × 5 × 4 × 3 = 360؛ الخيارات تقل فقط داخل عد هذا الحدث. الباقي 1296 − 360 = 936 متتابعة فيها تكرار، واحتمالها 13/18.
• عند اختيارين احتمال التكرار 1/6، وعند ثلاثة 4/9، وعند أربعة 13/18. أربعة هي أول كمية تتجاوز النصف في نموذجنا. لا يزال عدم التكرار ممكنًا حتى ستة اختيارات؛ ومع سبعة يستحيل اختلافها كلها.
• لا نجمع احتمالات الأزواج الستة مباشرة:6 × 1/6 = 1 لا يعطي احتمال الحدث، لأن متتابعة مثل AAAA تحقق عدة تطابقات معًا. الحدث يحسب المتتابعة مرة واحدة، ويشمل ABCA و AABB و AAAA.
• ABCD بلا تكرار، و ABCB فيه تكرار B رغم عدم عودة A. لذلك سؤال أي تكرار يختلف عن سؤال تكرار النتيجة الأولى. دون إرجاع رموز فريدة، لا يحدث تكرار في أول أربعة؛ وإذا اختلت الفرص أو الاستقلال فلا نستعمل 936/1296 تلقائيًا.

نعد متتابعات مرتبة تحت شروط محددة

في نموذجنا ستة رموز مختلفة، ولكل واحد منها فرصة 1/6 في كل اختيار. نفترض استقلال الاختيارات: معرفة النتائج السابقة لا تغير فرص الرمز في الاختيار التالي. هذا وصف حسابي مفترض، وليس نتيجة اختبار جهاز أو قرعة فعلية.

المتتابعة ABCA تعني A أولًا، ثم B، ثم C، ثم A. فيها تكرار لأن الموضعين الأول والرابع يحملان الرمز نفسه. أما ABCD فنتائجها مختلفة. الصورة الرئيسية تقارن هاتين المتتابعتين فقط، ولا تمثل جميع النواتج الممكنة.

نحتفظ بالترتيب عند العد:ABCD و BACD نتيجتان مختلفتان للاختيارات الأربع. لكل موضع ستة بدائل، فيكون عدد المتتابعات 6 × 6 × 6 × 6 = 1296. وبالاستقلال وتساوي الفرص، تتساوى إمكانات هذه المتتابعات.

نريد الحدث «يوجد رمز يتكرر على الأقل مرتين». يقبله ABCA، ويقبله AAAA، كما يقبله AABB الذي يكرر رمزين. لا نقصر السؤال على زوج وحيد أو رمز معين، ولا نعد متتابعة AAAA أكثر من مرة في الحدث.

عد الاختلاف الكامل ثم خذ الباقي

فكرة حساب المتمم في مسألة التكرار هي عد النتائج المختلفة جميعًا أولًا، ثم طرح احتمالها من 1 للحصول على احتمال وجود تطابق. [1]

للموضع الأول ستة اختيارات. لكي تبقى النتائج مختلفة، يتبقى للثاني خمسة رموز غير الأول، وللثالث أربعة غير السابقين، وللرابع ثلاثة غير الثلاثة السابقة. لهذا عدد المتتابعات بلا تكرار 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

لا نقول إن الرمز المسجل أزيل فعلًا من التجربة. ما زالت ستة رموز متاحة في كل اختيار. نحن نقيد الرموز المقبولة داخل الحدث الذي نعده فقط؛ اختيار رمز سابق يظل ممكنًا لكنه يخرج المتتابعة من فئة «بلا تكرار».

كل متتابعة إما بلا تكرار أو فيها تكرار، ولا تجمع الوصفين. من 1296 نطرح 360 فنجد 1296 − 360 = 936. احتمال عدم التكرار 360/1296 = 5/18، واحتمال التكرار 936/1296 = 13/18؛ ومجموع الكسرين 1.

الصورة الداخلية تقسم شريطًا إلى 18 جزءًا متساويًا:5 لعدم التكرار و 13 لوجوده. الأجزاء تمثل احتمالات محسوبة تحت النموذج، لا نتائج 18 تجربة أجريناها، ولا متتابعات بعينها من القائمة الكاملة.

تجاوز النصف لا يعني استحالة عدم التكرار

بنتيجة واحدة لا يمكن تكرار رمز، فالاحتمال 0. عند اختيارين توجد 36 متتابعة، منها 30 مختلفة و 6 متطابقة، مثل AA و BB؛ الاحتمال 6/36 = 1/6. لا يهم أي رمز هو المتكرر.

عند ثلاثة، الكل 6 × 6 × 6 = 216، والمختلفة 6 × 5 × 4 = 120. المتتابعات التي فيها تكرار 96، فيكون 96/216 = 4/9، وهو أقل من النصف. عند أربعة 13/18 أكبر من النصف؛ لذلك أربعة أول كمية تتجاوزه هنا.

الجدول يغير عدد الاختيارات، ويحتفظ بالرموز الستة وبالفرص المتساوية والاستقلال. أعمدة الكل والمختلفة والمتكررة أعداد متتابعات؛ العمود الأخير احتمال حدث التكرار. لا تجمع أعداد صفوف ذات أطوال مختلفة كأنها تجربة واحدة.

يبقى عدم التكرار ممكنًا عند ستة، مثل ABCDEF. وعند سبعة لا توجد سبعة رموز مختلفة للاختيار منها؛ لو لم يتكرر شيء لاحتجنا رمزًا سابعًا مختلفًا. لذلك وجود التكرار مؤكد في سبعة اختيارات، بخلاف أربعة التي قد تعطي ABCD.

لماذا يعطي جمع الأزواج نتيجة مضللة؟

بين أربعة مواضع توجد ست مقارنات: الأول مع الثاني والثالث والرابع، والثاني مع الثالث والرابع، والثالث مع الرابع. لكل زوج معين احتمال تطابق 1/6 تحت نموذجنا، لأن الرمز الثاني في المقارنة له فرصة 1/6 في مساواة الأول.

لو جمعنا هذه الاحتمالات حصلنا على 6 × 1/6 = 1. لكن الحدث الذي يطابق فيه الأول الثاني قد يحدث مع تطابق الأول الثالث أيضًا. المتتابعة AAAA تحقق المقارنات الست كلها، بينما نريد إدراجها مرة واحدة ضمن «يوجد تكرار».

وجود متتابعة ABCD الممكنة يكفي لنفي أن يكون احتمال التكرار 1 في النموذج المحدود المتساوي الإمكانية. والحساب الكامل أعطى 13/18. لا يصلح جمع الأزواج مباشرة عندما تتداخل المتتابعات التي تحقق تطابقاتها.

وفي ABCB يتكرر B، دون تكرار النتيجة الأولى A. تقبلها مسألتنا، لكن سؤال «هل تعود النتيجة الأولى في المواضع الثلاثة التالية؟» لا يقبلها. تحديد أي رمز أو أي زوج مسبقًا يغير الحدث، فلا ننقل 13/18 إليه.

الإرجاع والفرص والاستقلال جزء من الحساب

يمكن تصور الرموز مكتوبة على ست بطاقات فريدة، مع إعادة البطاقة وخلط مناسب واختيار متساوٍ مستقل في كل مرة. أما إذا سحبنا أربع بطاقات دون إرجاع، فلن يتكرر الرمز، لأن لكل رمز بطاقة واحدة وقد وضعت جانبًا بعد سحبها. هذا نموذج مختلف عن حسابنا.

حتى مع وجود ستة رموز، لا تكفي معرفة عددها لاعتبار المتتابعات 1296 متساوية الإمكانية. إذا كانت فرص الرموز مختلفة، أو تأثر الاختيار التالي بالسابق، تتغير أوزان المتتابعات. عندئذ لا نحصل على الاحتمال بقسمة 936 على 1296 دون مراجعة القاعدة.

تعرض المسألة احتمال حدث تحت نموذج مفترض، ولا تتنبأ بنتيجة المجموعة التالية. قد نحصل على ABCD بلا تكرار، رغم أن فرصة التكرار أكبر من النصف. إذا نفذنا مجموعات فعلية، فلا يلزم أن يقع التكرار في 13 من كل 18 مجموعة بالضبط.

هذه رموز مجردة وليست أيام ميلاد فعلية أو بصمات ملفات حقيقية. استخدمنا طريقة حساب التكرار في فضاء صغير يمكن فحصه كاملًا. قبل نقلها إلى سياق آخر، حدد البدائل وفرصها والاستقلال ومعنى التطابق، ثم أعد الحساب لذلك النموذج.