جدول الفروق الثانية: لماذا يحتاج الحد التالي إلى شرط؟

الخلاصة السريعة

استخدم جدول الفروق للحساب، ثم صرّح بالشرط الذي يسمح لك بتمديد النمط؛ الأعداد القليلة وحدها لا تحدد جوابًا وحيدًا.

• في نموذجنا المواضع 1 و 2 و 3 و 4 متتالية، وقيمها 5 و 12 و 25 و 44. نطرح القيمة السابقة من التالية.
• الفروق الأولى 7 و 13 و 19، والثانية 6 و 6. هما فرقان ثانيان محسوبان من القيم الأربع المعطاة.
• إذا استمر الفرق الثاني 6 في الانتقال التالي، فالفرق الأول الجديد 25، والحد الخامس 69. هذا جواب مشروط.
• القاعدة A(n) = 3n² − 2n + 4 تعطي قيمنا، وفرقها الأول 6n + 1؛ لذلك فرقها الثاني 6 لكل موضع صحيح موجب.
• القاعدة B(n) = A(n) + (n−1)(n−2)(n−3)(n−4) توافق القيم الأربع، لكنها تعطي 93 في الموضع 5؛ إذن الاتفاق السابق لا يفرض 69.
• تحقق من مواضع الحدود، واتجاه الطرح، والقاعدة المعلنة. إذا أخذت المواضع 1 و 2 و 4 و 5، فلا تعاملها كأربع مواضع متتالية بخطوة واحدة.

حدد المواضع واتجاه الطرح

الفرق الأمامي هو قيمة الموضع التالي ناقص قيمة الموضع الحالي؛ ثم نحسب فروق هذه النتائج للحصول على الفروق الثانية. [1]

نستخدم قيمًا حسابية أعددناها: 5 و 12 و 25 و 44 عند المواضع 1 و 2 و 3 و 4 على الترتيب. الخطوة بين كل موضعين هنا 1. اكتب المواضع مع القيم حتى لا تختلط قيمة الحد برقمه. ترتيب 5 ثم 12 لا يعني أن فرق الموضعين 7؛ هذه نتيجة طرح القيم.

سنتعامل مع أعداد دقيقة، لا قياسات تقريبية. لا نضيف وحدات أو تواريخ إلى الجدول؛ المثال مسألة رياضية عن قيم في مواضع صحيحة موجبة.

ابنِ صفين من الفروق

اطرح القيم المتجاورة: 12 − 5 = 7، ثم 25 − 12 = 13، ثم 44 − 25 = 19. من أربع قيم تحصل على ثلاثة فروق أولى. لا تضع 5 نفسها في بداية صف الفروق؛ فهي قيمة حد وليست فرقًا.

اطرح فروق الصف الجديد: 13 − 7 = 6، ثم 19 − 13 = 6. يتبقى فرقان ثانيان. هذان العددان متساويان في الجزء الذي حسبناه، لكن الجدول لم يحسب بعد فرقًا يخص الانتقال إلى حد خامس غير معطى.

الرسم الرئيسي يربط كل فرق بالقيمتين اللتين استُخدمتا في حسابه. عدد القيم في الصف يقل بواحد في كل مرة، فلا تعوض المكان الفارغ بصفر أو تكرر آخر قيمة دون شرط.

احسب الحد الخامس بشرط واضح

نفترض الآن أن الفرق الثاني التالي يظل 6. نضيفه إلى آخر فرق أول: 19 + 6 = 25. ثم نضيف الفرق الأول الجديد إلى آخر قيمة: 44 + 25 = 69. يجب تنفيذ الإضافتين بهذا الترتيب؛ إضافة 6 مباشرة إلى 44 تعطي 50، ولا تنفذ فرضنا.

اكتب النتيجة مع سببها: «تحت شرط استمرار الفرق الثاني 6، تكون قيمة الحد الخامس 69». إذا كان السؤال لم يذكر هذا الشرط أو قاعدة مكافئة له، يبقى العدد استمرارًا مقترحًا، لا نتيجة مفروضة من القيم الأربع وحدها.

افحص قاعدة تعطي هذا الاستمرار

نعرف القاعدة A(n) = 3n² − 2n + 4 لكل عدد صحيح موجب n. بالتعويض في المواضع 1 إلى 4 نحصل على 5 و 12 و 25 و 44؛ وعند الموضع 5 نحصل على 3×25 − 10 + 4 = 69. القاعدة مكتوبة من إعدادنا، وليست تجربة قياس.

نحسب فرقها رمزيًا: A(n+1) − A(n) = 6n + 1. إذا عوضنا n+1 في تعبير الفرق ثم طرحنا التعبير عند n، نجد 6. هذه خطوة حسابية تفسر استمرار الفرق الثاني للقاعدة المعلنة، بدل الاكتفاء برؤية العدد 6 مرتين.

يعرض مرجع الفروق المنتهية بناء الجداول تحت افتراض قاعدة كثيرة حدود. [1]

قاعدة أخرى توافق البداية وتغير الحد الخامس

كوّن القاعدة B(n) = A(n) + (n−1)(n−2)(n−3)(n−4). عند n=1 أو 2 أو 3 أو 4 يصبح أحد العوامل صفرًا؛ لذلك المقدار المضاف صفر، وتعطي B القيم الأربع نفسها التي تعطيها A.

عند n=5 يكون المقدار المضاف 4×3×2×1 = 24. لذلك B(5) = 69 + 24 = 93. كلتا القاعدتين محددة حسابيًا، لكن خامسهما مختلف. وجود قاعدة توافق البداية لا يثبت أنها القاعدة الوحيدة.

مع خامس B تصبح الفروق الأولى 7 و 13 و 19 و 49؛ والفروق الثانية 6 و 6 و 30. الجدول السابق لا يحتوي خطأ: كانت القيم الأربع متطابقة فعلًا. الذي فشل هو افتراض استمرار الفرق الثاني 6 لهذه القاعدة البديلة.

راجع مواضع البيانات قبل تطبيق الطريقة

لو أخذت من A القيم عند المواضع 1 و 2 و 4 و 5، تحصل على 5 و 12 و 44 و 69. فروق القيم المكتوبة متجاورة في قائمتك هي 7 و 32 و 25، والفروق التالية 25 و−7. هذه ليست حالة الفحص السابقة؛ مواضعها تقفز مرة بمقدار 2، فلا تعامل ترتيب القائمة على أنه تباعد متساوٍ في n.

للمراجعة، سجل المواضع والقيم، ثم راجع كل عملية طرح. افصل النتيجة المحسوبة من القيم المتاحة عن الشرط المستخدم لتوليد قيمة جديدة. إذا أعطى السؤال قاعدة، اختبر التعويض فيها؛ وإذا أعطى أعدادًا فقط، احتفظ بعبارة توضح افتراضك.

لا يقول المثال إن 69 خاطئ؛ هو صحيح للقاعدة A ولشرط استمرار الفرق الثاني 6. ويقول إن 93 ممكن لقاعدة أخرى توافق القيم الأربع؛ لذلك يحتاج سؤال الحد التالي إلى سياق يحدد القاعدة أو الشرط.