حل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الرتبة الثانية: الجذور والشروط

الخلاصة السريعة

نحل المعادلة الخطية المتجانسة من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة باستعمال المعادلة المميزة. شكل الحل يتغير بحسب الجذور: جذران حقيقيان مختلفان، جذر حقيقي مكرر، أو جذران مركبان مترافقان. ^[1][2][3]

• المعادلة المميزة للنطاق المحدد هي ar² + br + c = 0؛ يلزم أن تكون المعاملات ثابتة و a غير صفر. ^[1]
• الجذر المكرر يحتاج حلًا ثانيًا فيه x؛ جمع نسختين من الدالة الأسية لا يعطي ثابتين مستقلين. ^[2]
• في المثال y″ + 6y′ + 9y = 0، الشرطان y(0) = 2 و y′(0) = −1 يعطيان (2 + 5x)e⁻³ˣ.
• الدالة 2e⁻³ˣ تحقق المعادلة والشرط الأول، لكنها تفشل في الثاني؛ مشتقتها عند الصفر −6.
• في المثال المركب y″ + 4y′ + 13y = 0، الجذران −2 ± 3i، والحل e⁻²ˣ(C₁cos 3x + C₂sin 3x).

من المعادلة إلى جذورها

نحدد النطاق أولًا: ay″ + by′ + cy = 0، حيث a,b,c أعداد حقيقية ثابتة و a ≠ 0. تجربة y = eʳˣ تعطي ar² + br + c = 0. ^[1] هذه هي المعادلة المميزة، وليست المعادلة التفاضلية نفسها.

للجذرين الحقيقيين المختلفين الحل C₁eʳ¹ˣ + C₂eʳ²ˣ. للجذر المكرر r نستخدم (C₁ + C₂x)eʳˣ. وللجذرين α ± βi، مع β ≠ 0، نستخدم eᵅˣ(C₁cos βx + C₂sin βx). ^[1][2][3]

اخترنا مثالين إضافيين للمقارنة: في y″ + y′ − 12y = 0 نحل (r−3)(r+4) = 0، فنكتب C₁e³ˣ + C₂e⁻⁴ˣ. وفي y″ + 4y′ + 13y = 0 نحصل على (r+2)² + 9 = 0، فيكون الحل e⁻²ˣ(C₁cos 3x + C₂sin 3x).

يمكن فحص الدوال بالتعويض في الطرف الأيسر. هذان مثالان اخترنا أعدادهما للحساب، وليسا بيانات لتجربة. لا تنقل هذه الصيغ تلقائيًا إلى معادلة غير خطية أو معاملات تتغير مع x.

مثال أصلي بجذر مكرر وشرطين

نختار y″ + 6y′ + 9y = 0، مع y(0) = 2 و y′(0) = −1. المعادلة المميزة (r+3)² = 0، إذن الجذر −3 مكرر.

نكتب y = (C₁ + C₂x)e⁻³ˣ. عند x = 0 نجد C₁ = 2. وباشتقاق الحل نحصل على y′ = [C₂ − 3(C₁ + C₂x)]e⁻³ˣ. لذلك C₂ − 6 = −1، ومنه C₂ = 5.

الحل المختار هو (2 + 5x)e⁻³ˣ. مشتقته y′ = (−1 − 15x)e⁻³ˣ، والثانية y″ = (−12 + 45x)e⁻³ˣ. التعويض يعطي −12 + 45x − 6 − 90x + 18 + 45x = 0 بعد إخراج العامل الأسي.

الدالة 2e⁻³ˣ تحقق المعادلة نفسها والشرط y(0) = 2، لكنها تعطي y′(0) = −6. لهذا يعرض الرسم دالتين مختلفتين: التشابه عند نقطة البدء لا يكفي لتحقيق الشرطين.

لماذا يظهر x في الحل الثاني؟

عند الجذر المكرر، تكرار الدالة الأسية لا ينتج حلين مستقلين؛ الحل الثاني يحتوي العامل x. ^[2] كتابة C₁e⁻³ˣ + C₂e⁻³ˣ تختزل إلى ثابت واحد مضروب في الدالة نفسها.

في مثالنا نستطيع رؤية السبب مباشرة. ضع y = u(x)e⁻³ˣ. بعد الاشتقاق والتعويض تلغى حدود u و u′، ويبقى u″e⁻³ˣ = 0. إذن u″ = 0، ثم u = C₁ + C₂x.

افصل في ورقة الحل بين ثلاث خطوات: تحديد المعادلة المميزة، ثم كتابة العائلة العامة، ثم تعيين الثابتين من الشروط. وأعد حساب المشتقة قبل التعويض؛ إشارة العامل −3 هي موضع سهل للخطأ.

هذا المثال يخص الرتبة الثانية والمعاملات الثابتة. المقصود بكلمة متجانسة هنا انعدام الطرف الخارجي، ويختلف السؤال عن معادلة رتبة أولى تدرس بدلالة النسبة y/x.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الرتبة الأولى.