خط سيمسون: متى تصطف أقدام ثلاثة أعمدة؟

الخلاصة السريعة

في مثلث غير منحل، تصطف أقدام الأعمدة من نقطة P على مستقيمات الأضلاع الثلاثة إذا وفقط إذا كانت P على الدائرة المحيطة بالمثلث؛ عندها يسمى المستقيم خط سيمسون. [1] تشمل المساقط امتدادات الأضلاع، وفي مثالنا معادلته x+y=7.

• نثبت A=(0,0) و B=(8,0) و C=(0,6). دائرة المثلث هي (x−4)²+(y−3)²=25، مركزها O=(4,3) ونصف قطرها 5. النقطة P=(7,7) عليها لأن 3²+4²=25.
• مساقط P على AB و AC و BC هي D=(7,0) و E=(0,7) و F=(4,3). تقع E بعد C على امتداد AC؛ معاملها 7/6 أكبر من 1. وبما أن BC معادلته 3x+4y=24، فإن PF يتعامد معه.
• تُحقق الأقدام الثلاثة x+y=7. النقطة P نفسها لا تقع على هذا الخط، لأن 7+7=14. في مثلث قائم عام A=(0,0)، B=(a,0)، C=(0,b)، محدد الأقدام يساوي abW/(a²+b²)، حيث W=x²+y²−ax−by.
• نغير النقطة إلى Q=(7,6): مربع بعدها عن O هو 18، فلا تقع على الدائرة. مساقطها (7,0) و (0,6) و (112/25,66/25) لا تصطف؛ محددها −84/25 ومساحة مثلثها 42/25.
• النقطة المقابلة P′=(1,−1) تعطي خطًا y=x−1، عموديًا على خط P في هذا المثال. وإذا كانت نقطة الإسقاط A، تطابق قدمان عند A والثالث (72/25,96/25)؛ الخط y=4x/3 هو ارتفاع A.
• التكبير بعامل 2 يجعل خط المثال x+y=14 ومساقطه (14,0) و (0,14) و (8,6). مساحة مثلث مساقط Q تتغير من 42/25 إلى 168/25. يلزم مثلث غير منحل وإسقاط على المستقيم الكامل، لا اختيار أقرب طرف للقطعة.

النقطة على الدائرة، والأقدام على المستقيمات

نأخذ مثلثًا رؤوسه غير واقعة على مستقيم واحد. من P نسقط عمودًا على مستقيم كل ضلع، ونسمّي الأقدام D و E و F. قد تقع القدم على القطعة أو على امتدادها؛ هذا الإسقاط على المستقيم الكامل. نظرية سيمسون تشمل الاتجاهين: الاصطفاف يكافئ وقوع P على الدائرة المحيطة. [1]

في مثالنا A=(0,0) و B=(8,0) و C=(0,6). الزاوية عند A قائمة، وطول BC يساوي√(8²+6²)=10. منتصف BC هو O=(4,3)، وتبعد الرؤوس الثلاثة عنه 5؛ إذن الدائرة المحيطة (x−4)²+(y−3)²=25.

نختار P=(7,7). فرق الإحداثيين عن O هو (3,4)، ومربع البعد 25، فتقع P على المحيط. وجودها خارج منطقة المثلث لا يمنع استعمال النظرية؛ الشرط يتعلق بالدائرة المحيطة، وليس بداخل المثلث.

احسب الأقدام وافحص التعامد

المستقيم AB أفقي ومعادلته y=0؛ لذلك قدم العمود الرأسي من P هي D=(7,0). والمستقيم AC رأسي ومعادلته x=0؛ لذلك قدم العمود الأفقي E=(0,7). لكن AC تنتهي عند C=(0,6)، فتقع E فوق C بمقدار وحدة.

للمستقيم BC متجه اتجاه (−8,6)، ومعادلته 3x+4y=24. نبحث عن قدم عمود يكون اتجاهه موازيًا (3,4). عند P قيمة 3x+4y تساوي 49؛ الفرق عن 24 هو 25. وبما أن 3²+4²=25، فإن طرح المتجه (3,4) من P يعطينا F=(4,3).

تحقق: 3×4+4×3=24، إذن F على BC. واتجاه PF هو (−3,−4)، وحاصل ضربه في (−8,6) يساوي 24−24=0؛ التعامد صحيح. نكتب أي قدم على مستقيم UV بالصورة U+t(V−U): المعامل بين 0 و 1 يضعها على القطعة، وخارج هذا المجال يضعها على الامتداد.

اختبار الخط وبرهان إحداثي للمثلث القائم

مجموع إحداثيي D يساوي 7، وكذلك E و F. إذن الأقدام تقع على x+y=7. هذا الخط لا يمر بالنقطة الأصلية P=(7,7)، لأن مجموع إحداثييها 14. اسم «خط P» يشير إلى النقطة التي أنتجت المساقط، ولا يفرض مرور الخط بها.

نعمم الحساب داخل عائلة المثلثات القائمة فقط. نأخذ A=(0,0)، B=(a,0)، C=(0,b)، مع a و b موجبتين، ونقطة X=(x,y). الدائرة المحيطة تكتب W=0، حيث W=x²+y²−ax−by؛ يأتي ذلك من المركز (a/2,b/2) ونصف القطر√(a²+b²)/2.

عرّف q=(bx+ay−ab)/(a²+b²). قدما الإسقاط على المحورين هما D=(x,0) و E=(0,y)، والقدم على BC هي F=(x−bq,y−aq). طرح q(b,a) يجعل bx+ay=ab، ومتجه (b,a) عمودي على اتجاه الضلع (−a,b).

بالتوسيع، إذا K=det(E−D,F−D)، فإن K=abW/(a²+b²). الأقدام تصطف عندما K=0. ولأن a و b موجبتان، يكافئ ذلك W=0، أي وقوع X على الدائرة. هذا برهان للمثلث القائم؛ النظرية العامة لبقية المثلثات واردة في المرجع. [1]

تحريك النقطة يكشف شرط الدائرة

ننقل النقطة إلى Q=(7,6)، مع بقاء المثلث. مربع QO يساوي 3²+3²=18، وهو أصغر من 25؛ إذن Q داخل الدائرة ولا تقع على محيطها. قدماها على المحورين هما (7,0) و (0,6).

على BC تصبح قيمة 3x+4y عند Q مساوية 45، والفرق عن 24 هو 21. نطرح (21/25)(3,4) فنحصل على القدم (112/25,66/25). تعويضها يعطي 3×112/25+4×66/25=24، وحاصل ضرب متجه العمود في اتجاه BC صفر.

نحسب محدد متجهي القدمين من الأولى: det((−7,6),(−63/25,66/25))=−84/25. إنه غير صفري، فتشكل الأقدام مثلثًا مساحته 42/25. الصيغة العامة تعيد القيمة نفسها: W=−7، ومنه K=(48/100)(−7)=−84/25.

في الجدول «فرق مربع البعد» يعني مربع البعد عن O ناقص 25، والمساحة هي مساحة مثلث الأقدام. كون الأعمدة الثلاثة صحيحة لا يكفي لجعلها على خط؛ شرط موقع نقطة الإسقاط لم يعد محققًا.

النقطة المقابلة وحالة الرأس

النقطة المقابلة P′ على الدائرة هي 2O−P=(1,−1). مساقطها (1,0) و (0,−1) و (4,3) تقع على y=x−1. ميل هذا الخط 1، وميل x+y=7 هو −1؛ الخطان متعامدان، ويتقاطعان عند (4,3) في مثالنا.

إذا اخترنا A نفسها نقطة للإسقاط، فقدمَاها على AB و AC يطابقان A=(0,0). القدم على BC هي (72/25,96/25)، وهي مختلفة عن A. النقطتان المتميزتان تحددان y=4x/3، أي خط ارتفاع A إلى BC. خط سيمسون عند رأس المثلث هو ارتفاع ذلك الرأس. [1]

لا تعد تطابق قدمين خطأ في الإنشاء، ولا تطلب ثلاث نقاط متميزة في حالة الرأس. أما إذا كانت الرؤوس A و B و C مستقيمة، فلا توجد دائرة محيطة وحيدة بالمثلث، ولا تنطبق الفرضية التي بدأنا بها.

التكبير وتمييز المستقيم عن القطعة

نضرب الإحداثيات في 2. يصبح المثلث A=(0,0)، B=(16,0)، C=(0,12)، والنقطة P=(14,14). الأقدام (14,0) و (0,14) و (8,6) تحقق x+y=14. تبقى القدم الثانية على امتداد الضلع، لأن معامل 7/6 لم يتغير.

المثال غير المصطف يتكبر أيضًا: Q تصبح (14,12)، ومساحة مثلث مساقطها 168/25، أي أربعة أمثال 42/25. الأطوال تتضاعف، والمساحات تتضاعف أربع مرات، بينما الاصطفاف والتعامد يظلان محفوظين.

في الرسم أو الحساب، مد مستقيم الضلع عند الحاجة، وافحص قدم العمود بالتعامد والانتماء إلى المستقيم. استبدال القدم الخارجية بأقرب رأس يغير المسألة، حتى لو أعطى شكلًا أكثر ملاءمة لحدود الورقة. ولا تحكم على الاصطفاف من صورة صغيرة إذا كان لديك محدد دقيق.