ضع خمس بطاقات مختلفة في خمسة مواضع محددة، ثم أعد ترتيبها. هل يكفي أن يختلف الصف الجديد عن الصف القديم كي تكون كل بطاقة قد انتقلت؟ نعد الترتيبات التي تحقق شرطًا أدق: لا تعود أي بطاقة إلى موضعها الأصلي.
الخلاصة السريعة
لخمس بطاقات متميزة، توجد 44 ترتيبًا لا يبقي أي بطاقة في موضعها الأصلي، من أصل 120 ترتيبًا ممكنًا.
- التبديل الخالي من النقاط الثابتة، Derangement، لا يترك أي عنصر في موضعه الأصلي. [1]
- مواضعنا مرقمة من 1 إلى 5 من اليسار إلى اليمين، وترتيب البداية K → M → P → R → T. البطاقات متميزة، وكل بطاقة تظهر مرة واحدة.
- إجمالي الترتيبات 5! = 120. بعد استبعاد أي ترتيب له موضع ثابت، يبقى 44؛ لكل خيار صحيح للبطاقة الأولى 11 ترتيبًا.
- العد بالشمول والاستبعاد في مثالنا يعطي 120 − 120 + 60 − 20 + 5 − 1 = 44؛ تبديل الإشارات يعالج تكرار العد.
- الصف M → P → R → T → K يحقق الشرط، لكن عكس البداية إلى T → R → P → M → K يترك P في الموضع 3، فلا يحققه.
- إذا كانت الترتيبات الـ 120 متساوية الاحتمال، فاحتمال عدم عودة أي بطاقة هو 44/120 = 11/30، واحتمال وجود بطاقة ثابتة واحدة على الأقل 76/120 = 19/30. اختلاف الصف كله وحده لا يكفي، ولا نثبت عدالة طريقة خلط معينة.
ثبت البداية والمواضع قبل المقارنة
نسمي بقاء عنصر في موضعه الأصلي نقطة ثابتة. غياب جميع النقاط الثابتة هو شرط هذا النوع من التبديلات. [1]
في نموذجنا، الموضع 1 يخص K في البداية، ثم M في الموضع 2، وP في 3، وR في 4، وT في 5. الأسماء للتمييز فقط. يقرأ كل صف من اليسار إلى اليمين، ولا نغير أرقام المواضع عندما نحرك البطاقات.
جرب M → K → P → R → T. الصف اختلف، لكن P وR وT بقيت في المواضع 3 و 4 و 5. لذلك نقارن بطاقة كل موضع مع بطاقة البداية في ذلك الموضع، بدل سؤال «هل تغير الصف؟». الصورة الرئيسية تعرض هذا الفرق.
عد جميع الترتيبات ثم افحص الشرط
لملء الموضع الأول توجد خمسة اختيارات. بعد اختياره تبقى أربعة للثاني، ثم ثلاثة، ثم اثنان، ثم واحدة. إذن 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. لا نسمح بحذف بطاقة أو تكرارها، ولا نعد المواضع دائرة يمكن تدويرها دون تغيير الترتيب.
أعددنا الترتيبات الممكنة كلها، ثم احتفظنا فقط بما تختلف فيه البطاقات الخمس عن بطاقات البداية في مواضعها. بقي 44 ترتيبًا. الجدول يجمعها حسب البطاقة الأولى؛ K ممنوعة في الموضع 1، وكل واحدة من M وP وR وT تبدأ 11 ترتيبًا مقبولًا.
الأمثلة في الجدول ليست كل الترتيبات الأربعة والأربعين. كل صف يعرض مثالًا واحدًا للمجموعة التي يعدها؛ اقرأ بطاقاته الخمس وقارنها بالبداية قبل قبول المثال.
| البطاقة الأولى | عدد الترتيبات المقبولة | مثال من المجموعة |
|---|---|---|
| M | 11 | M → K → R → T → P |
| P | 11 | P → K → M → T → R |
| R | 11 | R → K → M → T → P |
| T | 11 | T → K → M → P → R |
لماذا نطرح ثم نعيد بعض الترتيبات؟
يمكن عد التبديلات الخالية من النقاط الثابتة بمبدأ الشمول والاستبعاد. [1]
في بطاقاتنا الخمس، إذا ثبتنا بطاقة محددة في موضعها، بقيت أربع بطاقات يمكن ترتيبها في 4! = 24 طريقة. توجد خمس بطاقات نختار منها البطاقة الثابتة، فنطرح 5 × 24 = 120 من الإجمالي. لكن ترتيبًا له بطاقتان ثابتتان دخل في الطرح مرتين، لا مرة واحدة.
نعيد تقاطعات الأزواج: نختار زوجًا من خمس بطاقات في 10 طرق، وتترتب البطاقات الثلاث الباقية في 6 طرق، فنضيف 60. ثم نطرح تقاطعات الثلاثيات:10 اختيارات، ولكل منها ترتيبان للباقي، فنطرح 20. بعد ذلك نضيف تقاطعات الرباعيات الخمسة، ولكل منها ترتيب واحد؛ ثم نطرح تقاطع الخمس، وهو البداية نفسها مرة واحدة.
النتيجة 120 − 120 + 60 − 20 + 5 − 1 = 44. هذه أعداد تقاطعات الشروط، لا أعداد ترتيبات لها بالضبط بطاقة واحدة أو بطاقتان ثابتتان. مثلًا البداية لها خمس نقاط ثابتة، وتدخل في كل مجموعات التقاطع. الصورة الداخلية تفصل الإشارات والقيم حتى لا نخلطها.
إزاحة واحدة تصلح، والعكس لا يصلح هنا
خذ M → P → R → T → K. انتقلت M إلى 1، وP إلى 2، وR إلى 3، وT إلى 4، وK إلى 5. لا تطابق أي بطاقة بطاقة البداية في موضعها، فيحقق هذا الصف شرطنا.
أما T → R → P → M → K، فهو يعكس البداية لكنه يبقي P في الموضع 3. لذلك ليس من الترتيبات الأربعة والأربعين المقبولة. الرسم يلون هذا الموضع ليوضح سبب الرفض؛ تغيير أربع بطاقات لا يحقق شرط تغيير الخمس.
تقبل المسألة أيضًا K في أي موضع آخر غير 1. ليس المطلوب منع بطاقة من العودة إلى مكان مرت به أثناء التحريك؛ المقارنة بين موضع البداية والموضع النهائي فقط، ولا نسجل مسار الحركة.
الاحتمال يحتاج تساوي فرص الترتيبات
من بين 120 ترتيبًا، يحقق 44 الشرط. إذا اخترنا ترتيبًا بحيث تكون هذه الترتيبات كلها متساوية الاحتمال، فاحتمال النجاح 44/120 = 11/30، واحتمال وجود بطاقة ثابتة واحدة على الأقل 76/120 = 19/30. العد وحده لا يضمن أن أيدينا أو برنامج خلط معين يختار كل ترتيب بالفرصة نفسها.
لاحظ كلمة «على الأقل»: من الترتيبات الستة والسبعين غير المقبولة ما له أكثر من نقطة ثابتة، ومنها البداية ذات النقاط الخمس. لا تسم هذه الستة والسبعين ترتيبات ذات نقطة ثابتة واحدة بالضبط.
راجع ثلاثة شروط في أي جواب: البطاقات الخمس متميزة؛ المواضع ثابتة؛ وكل بطاقة تظهر مرة واحدة. ثم اختبر غياب التطابق في المواضع الخمسة. إذا كانت البطاقات متطابقة أو أضيفت قيود أخرى، فلا تنقل العدد 44 إلى المسألة الجديدة دون عدها.
اقرأ أيضًا: نظرية ذات الحدين: القانون والحد العام مع مثال محلول
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.