دائرة النقاط التسع: احسب المركز وافهم النقاط المتطابقة

الخلاصة السريعة

دائرة النقاط التسع لمثلث غير منحل تمر بمنتصفات أضلاعه، وأقدام ارتفاعاته على مستقيمات الأضلاع، ومنتصفات القطع الواصلة بين رؤوسه وملتقى الارتفاعات H. [1] مركزها N منتصف القطعة OH، حيث O مركز الدائرة المحيطة، ونصف قطرها نصف R، نصف قطر الدائرة المحيطة. [2] في مثالنا N=(5,3) ونصف القطر√10.

• للمثلث A=(0,0)، B=(12,0)، C=(4,8)، نجد O=(6,2) و H=(4,4). منتصفهما N=(5,3)، ومربع نصف قطر الدائرة المحيطة 40؛ لذا مربع نصف قطر دائرة النقاط التسع 10.
• منتصفات الأضلاع هي (8,4) و (2,4) و (6,0). أقدام الارتفاعات هي (6,6) و (12/5,24/5) و (4,0). منتصفات القطع إلى H هي (2,2) و (8,2) و (4,6). كلها تحقق (x−5)²+(y−3)²=10.
• إذا اخترنا O أصلًا للإحداثيات وسمينا متجهات الرؤوس a و b و c، فإن h=a+b+c و n=h/2. فرق كل منتصف مناسب عن n يساوي نصف متجه رأس، أو سالب نصفه، فيكون طوله R/2.
• في المثلث القائم A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6)، يطابق H الرأس A. المركز N=(2,3/2)، ونصف القطر 5/2. تتكرر بعض الأدوار التسعة عند A ومنتصفَي الضلعين القائمين، وتبقى خمسة مواضع متميزة.
• عندما C=(3,3) مع A=(0,0) و B=(12,0)، تصبح الزاوية عند C منفرجة. نحصل على H=(3,9) و N=(9/2,3)، وتظهر قدمان على امتدادي ضلعين. يبقى مربع نصف القطر 45/4.
• التكبير بعامل 2 يحول مركز المثال الأصلي إلى (10,6) ونصف قطره إلى 2√10. تتضاعف الإحداثيات، ومربع نصف القطر يصير 40. لا تطبق الحساب على ثلاثة رؤوس مستقيمة، ولا تستبدل القدم الخارجية بنهاية الضلع.

ابدأ بالمركز المحيط وملتقى الارتفاعات

نثبت A=(0,0)، B=(12,0)، C=(4,8). العمود المنصف للضلع AB هو x=6. إذا كتبنا O=(6,y)، فمساواة مربعَي OA و OC تعطينا 36+y²=4+(8−y)²؛ ومنها y=2. إذن O=(6,2)، ومربع نصف قطر الدائرة المحيطة 40.

الارتفاع من C رأسي ومعادلته x=4. اتجاه BC هو (−8,8)، لذلك يكون ارتفاع A على y=x. تقاطعهما H=(4,4). اتجاه AC هو (4,8)، واتجاه BH هو (−8,4)؛ حاصل ضربهما −32+32=0، فيمر الارتفاع الثالث بالنقطة نفسها.

منتصف OH هو N=(5,3). هذه طريقة إيجاد مركز دائرة النقاط التسع، بينما نصف قطرها R/2. [2] هنا R=2√10، فتصير المعادلة (x−5)²+(y−3)²=10. لا تجعل 40 مربع نصف قطر الدائرة الصغيرة؛ ذلك عدد يخص الدائرة المحيطة الأكبر.

احسب النقاط التسع وافحص مربع البعد

نسمي M_A منتصف BC، و M_B منتصف CA، و M_C منتصف AB، ونكتبها في الجدول MA و MB و MC. وبالمثل DA قدم الارتفاع من A على BC، و KA منتصف AH. يشير الحرف الأخير إلى الرأس المرتبط بالدور، وليس إلى ترتيب النقاط حول الدائرة.

المستقيم BC هو x+y=12، فتكون القدم من A هي DA=(6,6). أما AC فمعادلته y=2x؛ إسقاط B=(12,0) عليه يعطي DB=(12/5,24/5)، لأن معامل الإسقاط على المتجه (4,8) يساوي 48/80=3/5. والقدم من C على AB هي DC=(4,0).

لحساب المنتصف نجمع الإحداثيين المتناظرين ثم نقسم على 2. بهذه الطريقة نحصل على منتصفات الأضلاع الثلاثة، ومنتصفات AH و BH و CH. الجدول يجمع هذه النقاط مع الأقدام؛ العمود الأخير هو مربع البعد عن N=(5,3)، لا البعد نفسه.

مثلًا، عند DB يكون فرق الإحداثيات عن N هو (−13/5,9/5). مربع البعد (169+81)/25=10. وعند KA=(2,2) نجد (−3)²+(−1)²=10. تعويض بقية الصفوف يعيد 10 أيضًا، وكل المواضع التسعة هنا مختلفة.

لماذا تقع المجموعات الثلاث على دائرة واحدة؟

نعطي برهانًا يعمل لأي مثلث غير منحل، بما فيه المنفرج. انقل أصل الإحداثيات إلى O، وسمِّ متجهات الرؤوس a و b و c. أطوالها جميعًا R. النقطة ذات المتجه h=a+b+c تقع على ارتفاع A، لأن (h−a)·(b−c)=0: الطرف يساوي|b|²−|c|². يتكرر الحساب عند B و C؛ إذن h هو متجه H.

خذ n=h/2. منتصف BC له المتجه m=(b+c)/2، ولذلك m−n=−a/2. ومنتصف AH له المتجه k=(a+h)/2، ولذلك k−n=a/2. طول الفرقين R/2، ومتوسط النقطتين هو n. يتكرر ذلك للرأسين الآخرين، فنحصل على ستة أدوار على الدائرة.

تبقى قدم الارتفاع D من A على مستقيم BC. النقطتان M و K السابقتان طرفا قطر، و N منتصفهما. اتجاه DM على BC، واتجاه DK على ارتفاع A، فيكون حاصل الضرب (D−M)·(D−K)=0. بالتوسيع حول N ينتج ND²=MK²/4=R²/4. إذن D على الدائرة أيضًا.

إذا طابقت D إحدى النقطتين M أو K، يظل حاصل الضرب صفرًا، وتظل مساواة مربعات الأطوال صحيحة. لا يحتاج البرهان إلى رسم زاوية بين متجهين غير صفريين في هذه الحالة. هذا يفسر بقاء النتيجة عند تطابق النقاط، ويكمل الأدوار التسعة.

لماذا تظهر خمسة مواضع في المثال القائم؟

نغير المثال إلى A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6). هنا H=A، لأن الضلعين AB و AC يتعامدان، ويقع عليهما ارتفاعا B و C. مركز الدائرة المحيطة O=(4,3)، ونصف قطرها 5. ومن ثم N=(2,3/2)، ونصف قطر دائرة النقاط التسع 5/2.

أدوار منتصف AH وقدمي الارتفاعين من B و C تتطابق عند A=(0,0). منتصف BH يطابق منتصف AB عند (4,0)، ومنتصف CH يطابق منتصف AC عند (0,3). منتصف الوتر BC هو (4,3).

القدم من A على BC هي (72/25,96/25). إنها موضع خامس يختلف عن الأربعة السابقة. يمكن فحصها على 3x+4y=24، ثم على دائرة المركز (2,3/2) ومربع نصف القطر 25/4. لذلك نستعمل في الصورة خمسة علامات فعلية ونوضح الأدوار المتطابقة في التعليق.

هذه نتيجة لهذا المثلث القائم المختلف الساقين؛ لا تعمم العدد 5 على كل مثلث قائم. إذا أخذت B=(6,0) و C=(0,6)، طابقت قدم A منتصف الوتر (3,3)، فبقيت أربعة مواضع متميزة فقط. اسم الدائرة لا يضمن ظهور تسع علامات منفصلة.

الامتداد في المثلث المنفرج يحفظ قدم العمود

نبقي A=(0,0) و B=(12,0)، لكن نأخذ C=(3,3). حاصل ضرب CA=(−3,−3) في CB=(9,−3) يساوي −18، لذلك الزاوية عند C منفرجة. من تساوي المسافات إلى الرؤوس نجد O=(6,−3) ومربع نصف قطر الدائرة المحيطة 45.

ارتفاع C هو x=3، وارتفاع A هو y=3x؛ تقاطعهما H=(3,9). يصبح N=(9/2,3) ومربع نصف قطر دائرة النقاط التسع 45/4. قدما A و B هما (6/5,18/5) و (6,6)، وتقعان خارج القطعتين BC و AC، بينما قدم C هي (3,0).

في تمثيل القدم من A بالصورة B+t(C−B)، نجد t=6/5، فتقع بعد C. وفي القدم من B على A+t(C−A)، نجد t=2، فتقع بعد C أيضًا. مثلًا، فرق (6,6) عن N هو (3/2,3)، ومربع البعد 9/4+9=45/4. استبدال أي قدم خارجية بـ C لا يعطي قدمًا عمودية صحيحة.

يلخص الجدول المراكز ومربعات أنصاف الأقطار وأعداد المواضع المتميزة في الأمثلة الثلاثة. اختلاف موضع H أو خروج القدم عن القطعة لا يلغي دائرة النقاط التسع. الشرط الذي لا نتجاوز عنه هو عدم استقامة الرؤوس.

التكبير والمراجعة قبل رسم الدائرة

نضرب إحداثيات المثال الأصلي في 2: يصبح B=(24,0) و C=(8,16)، و O=(12,4)، و H=(8,8)، و N=(10,6). الدائرة الصغيرة تصبح (x−10)²+(y−6)²=40، ونصف قطرها 2√10. كل موضع في الجدول الأصلي يتضاعف، وتظل الأدوار التسعة متميزة.

للمراجعة العملية، احسب O من تساوي المسافات إلى الرؤوس، واحسب H من ارتفاعين ثم اختبر الثالث. بعد ذلك خذ منتصف OH ونصف R. افحص على الأقل منتصف ضلع وقدم ارتفاع ومنتصف قطعة إلى H في المعادلة نفسها؛ ولا تخلط O و N أو R ونصفه.

في رسمك استعمل المقياس نفسه للمحورين، ومد مستقيم الضلع عند الحاجة. إذا كانت A و B و C مستقيمة، تفشل خطوة إيجاد مركز محيط وحيد؛ فلا تعتبر تعطل الحساب خطأ تقريبًا. أما تطابق الأدوار في المثلث القائم فحالة صحيحة، وتحتاج إلى تسمية المواضع المتكررة بوضوح.