دوائر فورد: متى تتماس دائرتا كسرين؟

الخلاصة السريعة

للكسر المختصر p/q، دائرة فورد فوق المحور مركزها (p/q,1/(2q²)) ونصفها 1/(2q²). لدائرتي كسرين مختلفين p/q و r/s، التماس الخارجي يكافئ|ps−rq|=1. [1]

• نكتب المقام موجبًا ونختصر الكسر أولًا. [1] في مثالنا مركز دائرة 1/2 هو A=(1/2,1/8)، ومركز دائرة 2/3 هو B=(2/3,1/18). ارتفاع المركز يساوي نصف القطر، فكل دائرة تمس y=0 تحت مركزها.
• للكسرين المختلفين المختصرين،Δ=ps−rq عدد صحيح غير صفري. الفرق d²−(R₁+R₂)²=(Δ²−1)/(q²s²) غير سالب، ويساوي صفرًا عند|Δ|=1 فقط. [1] الدوائر تتماس أو تنفصل، ولا تتداخل مناطقها الداخلية.
• في مثال 1/2 و 2/3، مربع بعد المركزين 169/5184، ومربع مجموع النصفين مثله. نقطة التماس T=(8/13,1/13) تقع على الدائرتين. أما 1/3 و 2/3 فبين دائرتيهما فصل: فرق المربعين 8/81.
• الكسر الوسيط (1+2)/(2+3)=3/5 يعطي دائرة تمس الاثنتين. [2] مركزها M=(3/5,1/50)، وتماساها عند U=(17/29,1/29) و V=(21/34,1/34). الوسيط ليس الجمع 1/2+2/3=7/6.
• استعمال المقام 4 في 2/4 يعطي نصفًا خاطئًا 1/32 بدل 1/8. الدائرة الناتجة داخل دائرة 1/2 وتلتقيها عند المحور؛ هي ليست دائرة فورد ثانية للكسر نفسه. اختصار القيمة يمنع هذا الخطأ.
• الإزاحة الأفقية بمقدار 1 ترسل الكسر p/q إلى (p+q)/q وتبقي النصف والتماس؛ ينتقل T إلى (21/13,1/13). نستبعد المقام صفرًا وتكرار الكسر، ونستعمل دوائر جهة واحدة فوق المحور.

اختصر الكسر ثم احسب المركز ونصف القطر

نستعمل دائرة فورد للكسر في أبسط صورة، فوق المحور الأفقي، وبمقام موجب. ارتفاع مركزها ونصف قطرها كلاهما 1/(2q²). [1]

للكسر 1/2 نجد q=2، ومنه 1/(2×2²)=1/8. إذن A=(1/2,1/8) مركز الدائرة ونصفها 1/8. وللكسر 2/3 نجد q=3، فتكون B=(2/3,1/18) ونصفها 1/18. نرمز للمركزين بالحرفين A و B لتمييزهما من نقاط التماس.

القيمة 1/2 تحدد الموضع الأفقي، أما المقام 2 فيحدد الارتفاع والحجم. لا نجعل نصف القطر 1/2 لمجرد أن قيمة الكسر نصف. ويمكن كتابة الدائرة الأولى بالصورة (x−1/2)²+(y−1/8)²=1/64.

عند y=0 تصبح معادلة الأولى (x−1/2)²=0. نقطة التقاطع الوحيدة (1/2,0)، وأسفل المركز مباشرة. وتماس الثانية مع المحور عند (2/3,0). تساوي ارتفاع المركز ونصف القطر يفسر هذا الموضع في الرسم.

اختبر التماس بعدد صحيح واحد

للكسرين p/q و r/s نضعΔ=ps−rq. مع نصفي القطر R₁ و R₂، وبُعد المركزين d، تعطينا الصيغ d²−(R₁+R₂)²=(Δ²−1)/(q²s²). لأن الكسرين مختلفان،Δ غير صفري؛ وبما أنه صحيح،Δ²≥1. [1]

إذن d≥R₁+R₂؛ عند|Δ|=1 يحصل التماس الخارجي، وعند|Δ|>1 تنفصل الدائرتان. [1] لا تتداخل المنطقتان.

في الزوج 1/2 و 2/3 نحسبΔ=1×3−2×2=−1، فتكون القيمة المطلقة 1. وفي الزوج 1/3 و 2/3 نحسبΔ=1×3−2×3=−3. الحسابان يميزان الحالة قبل استخراج أي جذر من مربع مسافة.

لا يكفي أن تكون قيمتا الكسرين متقاربتين في الكتابة العشرية. المقياس هنا يتضمن المقامين أيضًا: كل مقام أكبر يصنع دائرة أصغر. نحتفظ بالبسط والمقام المختصرين، ثم نحسب الضربين المتقاطعين دون تقريب.

احسب نقطة التماس وافحص دائرة منفصلة

للزوج A و B، الفرق الأفقي 1/6 والفرق الرأسي −5/72. مربع المسافة 1/36+25/5184=169/5184. مجموع نصفي القطر 1/8+1/18=13/72، ومربعه 169/5184 أيضًا؛ هذه مراجعة عددية مباشرة لشرط التماس.

تقع نقطة التماس على قطعة المركزين. إذا نصف دائرة A هو R₁ ونصف دائرة B هو R₂، نكتب T=(R₂A+R₁B)/(R₁+R₂). وزن المركز A هو نصف الدائرة الأخرى R₂. بهذه الأوزان تكون المسافتان من T إلى A و B هما R₁ و R₂ عندما d=R₁+R₂.

نعوض R₁=1/8 و R₂=1/18: الإحداثي الأفقي (1/36+1/12)/(13/72)=8/13، والرأسي (1/144+1/144)/(13/72)=1/13. إذن T=(8/13,1/13). مربع بعدها عن A هو 1/64، وعن B هو 1/324؛ فتقع على الدائرتين.

أما دائرة 1/3 فمركزها L=(1/3,1/18)، ونصفها 1/18 مثل دائرة B. بعد المركزين 1/3، بينما مجموع النصفين 1/9. مربع الفرق الحسابي 1/9−1/81=8/81 موجب؛ المقصود فرق المربعين، لا طول الفجوة نفسه.

أدخل دائرة الكسر الوسيط بين الدائرتين

إذا تماس الزوج، فدائرة الكسر الوسيط (p+r)/(q+s) تمس كلًا منهما. [2] هذا البناء يجمع البسطين والمقامين، ولا يحسب مجموع قيمتي الكسرين.

في المثال يكون الوسيط 3/5، بين 1/2 و 2/3 لأن 1/2<3/5<2/3. نصف قطر دائرته 1/(2×5²)=1/50، ومركزها M=(3/5,1/50). أما الجمع الصحيح في المثال فهو 1/2+2/3=7/6، قيمة أكبر من الكسرين.

نراجع الضربين المتقاطعين: 1×5−3×2=−1، و 3×3−2×5=−1. لذلك تمس دائرة M دائرة A ودائرة B. باستعمال أوزان المركزين نجد U=(17/29,1/29) للزوج AM، و V=(21/34,1/34) للزوج MB؛ المربعات الدقيقة توافق أنصاف الأقطار.

سبب النتيجة العامة هو p(q+s)−q(p+r)=ps−qr، وكذلك (p+r)s−(q+s)r=ps−qr. كلاهما±1 للزوج المتماس. وأي قاسم مشترك للبسط p+r والمقام q+s يقسم هذا الفرق، فلا يكون أكبر من 1؛ إذن الوسيط مختصر أيضًا. [2]

تلامس الدوائر الثلاث بعضها بعضًا عند T و U و V، وهي ثلاث نقاط مختلفة. لا نجعل نقطة التماس مع المحور نقطة التماس بين دائرتين، ولا نجعل M نقطة على محيط دائرته؛ M هو المركز.

لماذا لا نرسم دائرة جديدة من 2/4؟

الكسر 2/4 يساوي 1/2. إذا تجاهلنا الاختصار ووضعنا q=4 في صيغة النصف، حصلنا على 1/32، ومركز W=(1/2,1/32). هذه دائرة صغيرة مختلفة عن دائرة A ذات نصف 1/8؛ لذلك لا تمثل القاعدة الصحيحة للكسر.

المركزان على الخط الرأسي نفسه. بعدهما 1/8−1/32=3/32، وهو فرق نصفي القطرين. تقع الدائرة الصغيرة داخل الكبيرة، مع تماس داخلي عند (1/2,0). مناطقهما الداخلية تتداخل، بخلاف الدوائر الصحيحة للكسرين المختلفين المختصرين.

مربع المسافة 9/1024، ومربع مجموع النصفين 25/1024. الفرق −1/64 سالب؛ تطبيق الاستنتاجΔ²≥1 هنا خطأ، لأن 2×2−1×4=0 والقيمتان ليستا مختلفتين. يجب فحص شروط القاعدة قبل استعمال نتيجتها.

نعيد 2/4 إلى 1/2، ثم نستخدم المقام 2 ونصف 1/8، فنعيد الدائرة A نفسها. لا نضيف نسخة أخرى إلى عدد الدوائر. توحيد قيمة الكسر وحده لا يضمن الحجم الصحيح إذا بقي مقام غير مختصر في الحساب.

الإزاحة وحدود استعمال الصيغة

يمكن أن يكون البسط سالبًا أو صفرًا مع مقام موجب واختصار صحيح. مثلًا 0/1 يعطي مركزًا (0,1/2) ونصفًا 1/2. لا نستخدم مقامًا صفرًا، لأن p/0 ليس قيمة لهذه الصيغة. ونقصر الرسم على الجهة فوق المحور.

نزيح المثال وحدة واحدة إلى اليمين. يتحول 1/2 إلى 3/2، و 2/3 إلى 5/3، و 3/5 إلى 8/5. المقامات لا تتغير، فتظل الأنصاف 1/8 و 1/18 و 1/50. مراكز الدوائر ونقاط التماس تتحرك بالمقدار الأفقي نفسه.

تنتقل T=(8/13,1/13) إلى (21/13,1/13). ويظل المحدد 3×3−5×2=−1. عمومًا (p+q)s−(r+s)q=ps−rq؛ الإزاحة بمقدار 1 تحفظ الشرط وتبقي الكسر مختصرًا، لأن إضافة المقام لا تغير القاسم المشترك.

هذه المقالة تحسب دوائر كسور بعينها وشرط تماسها؛ لا تبني متتالية فاري كاملة، ولا تقدم قواعد للكرات في ثلاثة أبعاد. للمراجعة: اختصر، وحد المقام الموجب، احسب المركز والنصف، ثم اختبرΔ وراجع نقطة التماس إن احتجتها.