دوران غيفنز: صفّر مركبتين دون أن تعيد الصفر الأول

اختر زوجًا واتفاقية إشارة

نكتب المتجهات أعمدة حقيقية، ونطبّق R=[[c,s],[−s,c]]. عندما r=√(a²+b²)>0، نأخذ c=a/r وs=b/r. [1]

عندئذ c²+s²=1، وR(a,b)=((a²+b²)/r,(−ba+ab)/r)=(r,0). أما الزوج الصفري فلا نقسم طوله؛ يكفي اختيار c=1 وs=0. [1][2]

تكساس يطبّق Gᵀ؛ ونسمي الكتلة المطبقة R. DLARTG يربط إشارة r بالمركبة الأولى غير الصفرية؛ هنا r>0. [1][2]

مثلًا للزوج(−9,12)، اختيارنا c=−3/5 وs=4/5 يعطي(15,0). اتفاقية DLARTG لهذه الحالة تعطي c=3/5 وs=−4/5 وr=−15. كلا الناتجين طوله15 ويصفّر المركبة الثانية. [2]

صفّر الثانية ثم الثالثة

نبدأ بـx=(9,12,20)، وطوله الإقليدي √(9²+12²+20²)=√625=25. تعريف الطول هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات. [3]

الزوج الأول(9,12) طوله15، فيكون c=3/5 وs=4/5. نضم الكتلة إلى R₁₂=[[3/5,4/5,0],[−4/5,3/5,0],[0,0,1]].

يعطي الصف الأول27/5+48/5=15، والثاني−36/5+36/5=0، والثالث20. إذن y=R₁₂x=(15,0,20).

الزوج الجديد بين1 و3 هو(15,20)، وطوله25؛ فالمعاملان3/5 و4/5 أيضًا. نأخذ R₁₃=[[3/5,0,4/5],[0,1,0],[−4/5,0,3/5]].

نجد R₁₃y=(9+16,0,−12+12)=(25,0,0). الثاني يبقى صفرًا لأن الصف الثاني يعيده كما هو، ولا يخلطه بالزوج الجديد. لم نمسح أي مركبة يدويًا.

اختبر الترتيب الثابت

المسار السابق يعني R₁₃R₁₂x: المصفوفة اليمنى تعمل أولًا. لنبدّل ترتيب المصفوفتين اللتين حسبناهما بالفعل، دون إعادة اختيار معامليهما.

أولًا R₁₃x=(27/5+80/5,12,−36/5+60/5)=(107/5,12,24/5). ثم نطبق R₁₂ على هذا المتجه.

الأولى تصبح321/25+48/5=561/25، والثانية−428/25+36/5=−248/25، والثالثة24/5. ظهر عنصر ثانٍ غير صفري، وما زالت الثالثة غير صفرية.

مع ذلك الطول محفوظ: (561²+248²+120²)/625=390625/625=625، وجذره25. حفظ الطول وحده لا يثبت أن المركبات المطلوبة صارت أصفارًا.

هذه مقارنة للترتيب مع المصفوفتين نفسيهما؛ إعادة بناء دورانات جديدة للترتيب الآخر مسألة مختلفة، ولا تختبرها الأرقام السابقة.

ارجع بالمنقول وافحص النتيجة

من c²+s²=1 نجد RᵀR=I وdet(R)=1. لذلك R⁻¹=Rᵀ، ويحفظ الدوران الطول لأي مدخل. [1]

للرجوع من(25,0,0)، نطبق R₁₃ᵀ أولًا فنحصل على(15,0,20)، ثم R₁₂ᵀ فنحصل على(9,12,20). ترتيب الرجوع R₁₂ᵀR₁₃ᵀ، وهو منقول حاصل الضرب السابق.

لا تكرر الدوران نفسه ظنًا أنه يعيد المدخل: R₁₂(15,0,20)=(9,−12,20)، بينما R₁₂ᵀ(15,0,20)=(9,12,20). الفرق في إشارة المركبة الثانية ظاهر دون تقريب.

راجع ثلاثة أشياء: موضع الصفر، وبقاء المركبات التي لا تدخل في الدوران، ثم الطول والعودة بالمنقول. الأعداد هنا حسابات دقيقة مفترضة، وليست تجربة لبرنامج فاصلة عائمة.