نحدد منتصفي ضلعين ونصلهما لتكوين القطعة المتوسطة. [1][2] سنفحص مثالًا تعطي فيه وصلة أخرى الطول نفسه، لكنها لا تصل المنتصفين.
أنشئ منتصف الضلع الأول
من طرفي الضلع ارسم أقواسًا بالفتحة نفسها، أكبر من نصف طوله، على الجهتين. صل تقاطعيها؛ يحدد تقاطع الخط مع الضلع منتصفه. [1]
نختار أ=(0،0) وب=(12،0) وج=(4،8)، والإحداثيات بالسم. للضلع أ ب فتحة الأقواس 8 سم، أكبر من نصف طوله 6 سم. دائرتا المركزين أ وب تحققان س²+ص²=64 و(س−12)²+ص²=64. بطرح المعادلتين نجد −24س+144=0، أي س=6.
تقاطعَا الدائرتين في هذا المثال هما (6،√28) و(6،−√28). الوصلة بينهما هي س=6؛ تقطع أ ب عند م=(6،0). سمينا نقطة المنتصف م، ونكتب إحداثييها بين قوسين. أما س وص في المعادلات فهما الإحداثيان السيني والصادي.
نراجع أ م=6 سم وم ب=6 سم. لا نضع ت على ب ج بعد التخمين من موقع م؛ سنبني منتصف ب ج مستقلًا في الخطوة التالية. أبق آثار أقواس أ ب رفيعة، ثم ضع اسم م بجانب نقطة التقاطع على الضلع حتى لا تختلط بنقطتي تقاطع الأقواس خارجه.
أنشئ المنتصف الثاني ثم صل النقطتين
كرر إنشاء المنتصف للضلع الثاني، ثم صل المنتصفين لتكوين القطعة المتوسطة. [1][2]
في مثالنا ب ج متجهه (−8،8)، وطوله √128=8√2 سم. نصفه 4√2 سم، أي نحو 5.657 سم؛ نختار للأقواس فتحة 7 سم. دائرتا المركزين ب وج تحققان (س−12)²+ص²=49 و(س−4)²+(ص−8)²=49. الفرق بين الطرفين يعطي −16س+16ص+64=0، أي ص=س−4.
منتصف ب ج هو ت=((12+4)/2،(0+8)/2)=(8،4). تقاطعا دائرتي الأقواس هما ت زائد أو ناقص المتجه (√34/2،√34/2). تقعان على ص=س−4، والمسافة من كل منهما إلى كل من ب وج تساوي 7 سم؛ لأن مربعها 32+17=49.
نصل م=(6،0) بت=(8،4). ت تقع في منتصف الضلع الثاني لأن المتجه ب ت=(−4،4) يساوي ت ج=(−4،4). الآن أسماء النقطتين مقترنة بضلعين مختلفين؛ أما الوصل بين أحد تقاطعي الأقواس ونقطة على الضلع فلا يعطي الوصلة التي سجلنا طرفيها.
فحص التوازي ونصف الطول
القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين توازي الثالث وتساوي نصف طوله. ويمكن اختيار ثلاثة أزواج من أضلاع المثلث. [3]
في مثالنا متجه م ت=(8−6،4−0)=(2،4)، وهو نصف أ ج=(4،8). لذلك ميل م ت=4/2=2 يساوي ميل أ ج=8/4=2. مربع طول م ت=2²+4²=20، فيكون طوله √20=2√5 سم. ومربع أ ج=4²+8²=80، فيكون طوله 4√5 سم.
يمكن فحص السبب بالإحداثيات بدل الاقتصار على صورة المثلث: إذا كانت م=(أ+ب)/2 وت=(ب+ج)/2، فإن ت−م=(ج−أ)/2، لأن إحداثيي ب يُحذفان عند الطرح. هذه معادلة متجهات؛ أي نطبق الجمع والطرح على الإحداثي السيني والصادي كلٍّ على حدة. إن كان أ وج متميزين، فالناتج نصف متجه أ ج في الاتجاه نفسه.
للزوجين الآخرين في مثالنا، منتصف أ ج هو ع=(2،4). ع م متجهه (4،−4)، وهو نصف ج ب=(8،−8)، وع ت متجهه (6،0)، وهو نصف أ ب=(12،0). هكذا تتحدد القطع الثلاث م ت وع م وع ت باختيار المنتصفين، ولا نفترض أن كل وصلة طولها مناسب بين الضلعين تحقق التعريف.
وصلة أخرى بالطول نفسه لا تصل المنتصفين
على ب ج نختار ت′=ب+(1/4)(ج−ب)=(12،0)+(−2،2)=(10،2). هذه النقطة تقع على الضلع، لكنها ليست منتصفه: ب ت′=2√2 سم، وت′ ج=6√2 سم، والمسافتان غير متساويتين. م لا تزال منتصف أ ب كما أنشأناها.
المتجه م ت′=(4،2)، ومربع طوله 4²+2²=20؛ لذلك طولها 2√5 سم، يساوي طول القطعة الصحيحة م ت. لكن ميلها 2/4=1/2، بينما ميل أ ج=2. نجحت مقارنة الطول وفشلت مقارنة الاتجاه والمنتصف الثاني. هذا مثال محدد على نقص فحص الطول وحده.
ولنعرف كيف حصلنا على البديل، نضع نقطة عامة على ب ج بالشكل ن=(12−8ك،8ك)، حيث 0≤ك≤1. شرط أن يكون مربع م ن=20 يعطي (6−8ك)²+(8ك)²=20؛ أي 8ك²−6ك+1=0. تحليله (4ك−1)(2ك−1)=0، فينتج ك=1/4 أو ك=1/2. الأولى تعطي ت′، والثانية تعطي ت.
قبل اعتماد الرسم سجل فحصَي المنتصف: أ م=م ب، وب ت=ت ج. ثم قارن م ت مع أ ج من حيث الاتجاه والطول. لا تحرك ت إلى ت′ كي يطابق قياسًا واحدًا؛ القياسان متساويان في مثالنا أصلًا، والفارق الذي يكشف الخطأ هو موضع الطرف الثاني.
| الوصلة في مثالنا | طولها | الفحص |
|---|---|---|
| م ت | 2√5 سم | منتصفان؛ الميل 2 |
| م ت′ | 2√5 سم | الطرف الثاني عند ربع ب ج؛ الميل 1/2 |
للتوسع: الفرجار الهندسي واستخداماته.
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.